2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市市北高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市市北高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.下列判斷正確的是（）

A.圓錐的側(cè)面展開圖可以是一個圓面

B.底面是等邊三角形，三個側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

C.一個西瓜切3刀最多可切成8塊

D.過球面上任意兩不同點的大圓有且只有一個

【正確答案】C

【分析】由圓錐的母線一定比底面半徑大可判斷A；由正三棱錐的側(cè)棱長相等可判斷B；類

比一個正方體被三個平面切割可判斷C；取兩個點為極點可判斷D

【詳解】選項A,由圓錐的母線一定比底面半徑大，可得圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角不

超過2%的扇形，A錯誤；

選項B,底面是等邊三角形，三個側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐的側(cè)棱長不一定相等，故不

一定是正三棱錐，B錯誤；

一個西瓜切3刀等價于一個正方體被三個平面切割，按照如圖的方法切割可得最多塊數(shù)，故

C正確；

當(dāng)兩個點為球的兩個極點，則過兩點的大圓有無數(shù)個，故D錯誤.

故選：C

-1-2/

2.已知復(fù)數(shù)z=77-,則復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)彳=（)

(1+Z)

A.-24/13.

B.---1--zD.

4444

-l+-z

2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)z,再根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念可求得結(jié)果.

-1-2/_i_?/_1_/1

【詳解】因為z=「^=------=一一1=--l=-l+-z,

(1+z)2/2i2i22

所以彳=

2

故選：C.

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算，考查了共規(guī)復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知等邊三角形ABC的邊長為1,設(shè)BC—a,CA—b，AB=c，那么a-5+"c+c-a

()

33

A.3B.-3C.-D.——

22

【正確答案】D

【分析】結(jié)合等邊三角形的特點和向量的夾角公式計算即可.

【詳解】在等邊三角形N3C中，

--3

a-b+b-c+c-a=1x1xcos120°+1x1xcos120°+1x1xcos120°=——.

2

故選：D.

4.在Z8C中，a=3,b=幣,c=2,那么B等于()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【正確答案】C

【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值就可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)余弦定理得cosB=」+儲"二"二7=」

lac2x3x22

???Be(0,〃)

B=60°

故選：C.

5.已知的外接圓圓心為O,且2前=方+/,|言|二|翔I，則向量瓦i在向量而

上的投影向量為()

A.-BCB.—BC

44

C.——BCD.-^BC

44

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，由向量加法的性質(zhì)可得。為BC的中點，又由|而|=|布|,分析可得

/8O為正三角形，則有|詼|=；|反結(jié)合投影向量的計算公式計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，若2亞=荔+撫，則。為6C的中點，故8c邊為圓。的直徑，

又由|六|=|而貝ij28。為正三角形，則有|說|=!|元

一1—

則向量瓦i在向量芯上的投影向量IBA\cos60°X而有=-5C,

故選：A.

_Q+b+c

6.在中，若N4=60。，h=l,其面積為百，則----------------=()

sin力+sinB+sinC

h2739266口屈

A.57JD.-----L.-----1_J.----

'332

【正確答案】B

【分析】先由面積公式求出c,再由余弦定理求出。，最后利用正弦定理可得出答案.

【詳解】由面積公式SABC=；bcsin/=6=bc=4=c=4,

由余弦定理有a2=b2+c2-2hccosA=h2+c2—4=>a=V13>

a_a+b+c_V15_2-V39

由正弦定理有sinNsin/+sin8+sinCJi3-

V

故選：B.

7.已知四面體P—的外接球的球心。在上，且POJ_平面2AC=6AB，

3

若四面體尸-N3C的體積為5,求球的表面積()

A.8萬B.127C.兀D.

12岳

【正確答案】B

【分析】依據(jù)題意作出圖形，設(shè)四面體尸-/8C的外接球的半徑為R,由題可得：AB為

球的直徑，即可求得：AB=2R，AC<R，BC=R，利用四面體尸—/8C的體積

3

為］列方程即可求得及，再利用球的面積公式計算得解.

【詳解】依據(jù)題意作出圖形如下：

設(shè)四面體尸-Z6C的外接球的半徑為A,

因為球心。在上，所以Z6為球的直徑，

所以Z6=2H,且/C18C

由2ZC=6ZS可得：AC=6R，BC=R

所以四面體?！?8。的體積為/=-%81/>0=-/一乂6/?乂火又火=一

3322

解得：R=y/3

所以球的表面積S=47TR2=12萬

故選B

本題主要考查了錐體體積公式及方程思想，還考查了球的表面積公式及計算能力，考查了空

間思維能力，屬于中檔題.

巧UUTULRT巧

8.在/8C中，5VABC=—AB-AC=—9smB=cosAsinC尸為段力8上的動點，且

62

麗=8g-+歹-2-,則4+且的最小值為（）

\CA\\CB\xy

A也R-46J3

A.2+---------D.]+---------L.24U.

333

2

3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)sinB=cos4sinC,利用兩角和的正弦公式得到sinZcosC=0,進(jìn)而得到

C=三,然后由S，Bc=Lz8ZC,sinZ=@N》?祝，解得力=J，進(jìn)而求得

2ABC266

l—CACB_____

AC=?AB=2,BC八再根據(jù)6-商+卜南，得到尸4pB共線，進(jìn)而解得

xy,

耳+j=l,然后利用基本不等式求解.

【詳解】sin6=cosylsinC=>sinAcosC+sinCcosA=cosAsinC,即sinAcosC=0,

丁sin4>0,

7C

:.cosC=0,：.C=—

2

又：S.-AB-AC-sinA=—AB-AC=—AB-AC-cosA,

266

.“n人烏

3

,71

.*?A=—

6

又：S」曲/。5吊4="加配V3

ABC26T5

/n冗ACV3

所以=tanZ-B-tan—

3/82

所以/C=Vi,Z8=2,8C=l，

CACB.Y..

又?.?麗=x——Fy—―,即CP-—尸CA+yCB,

\CA\7\CB\V3

所以P為段48上的動點，即？4PB共線,

又因為刀=5_刀=(1_宕

CA-yCB,PB=CB-CP^-^=CA+(l-y)CB,

所以.京

(10_田=晉即卡+；=L

.?」+立=（_L+且）（4+1）=；+百+生+上？迪+2.

xyxyGlGyx3

當(dāng)且僅當(dāng)》=丁等號成立

故選：A

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知平面向量1=（3,—4）,3=（x,3）,則正確的有（）

_9

A.若。//B，則x=一：

4

B.與方共線的單位向量是（|,-6

C.若萬人B，則3在35+4B方向上的投影向量是（3,0）

D.若石與萬+2B的夾角為鈍角，則X的取值范圍為（—8,-3

6

【正確答案】AC

【分析】對于A選項，利用平面向量平行的坐標(biāo)表示計算即可;

對于B選項，利用公式土三即可求出；

1?1

展（32+4$）35+46

對于C選項，根據(jù)公式「——------丁計算即可；

\3a+4h|\3a+4b\

對于D選項，由鼠（萬+2B）<0且萬與1+2B不平行求解即可.

9

【詳解】對于A選項，若萬/區(qū)，貝13x3—（—4）xx=0,解得x=--，故A正確;

4

對于B選項，與。共線的單位向量是±高=±（（3,-4）=±（|,-1）,故B不正確；

對于C選項，因為alb，所以M-B=3X-12=0，得

x=4,30+45=(9,-12)+(16,12)=(25,0)，

_a-(3a+4b)3a+4h75*(25,0)

則)在31+46方向上的投影向量是」——------丁=(3,0),故C

|35+4/)||35+46|2525

正確;

對于D選項，因為萬與Q+2B的夾角為鈍角，所以無（1+24<0且1與1+2B不平行,

3?(5+2?)=(3,-4>(3+2x,2)=9+6x-8=6x+1<0,所以x<，

9Q91

若萬與萬+23平行，則3x2—(—4)-(3+2x)=0,》=一‘，所以》e(_oo,__)U(—二,一一)，

4446

故D錯誤；

故選：AC.

10.已知4=2+3i,z2=m-i(meR),則下列說法正確的有()

z.2

A.若一為實數(shù)，則機=一一；

Z23

B.z「Z2的共朝復(fù)數(shù)是(2機+3)+(3加一2)，；

C.|z|-Z21的最小值是4；

D.滿足|z-zj=l的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點z的集合是以(-2,-3)為圓心，以1為半徑

的圓.

【正確答案】AC

【分析】由復(fù)數(shù)的運算判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的運算結(jié)合共帆復(fù)數(shù)的定義判斷B；由復(fù)數(shù)模長公

式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C；設(shè)z=x+yi,x,yeR結(jié)合模長公式進(jìn)而判斷D.

“__z,_2+3z_(2+3Z)(/M+z)_2m+(2+3m)i-3_(2m-3)+(2+3m)i

［詳解］—=r=二=23=2~~i

z2tn-i("?-/)(加+，)m-im+1

42

為實數(shù)，...2+3〃z=0,m=——,故A正確；

Z23

zl-z2=(2+3i)(m-i)=(2m+3)+(3m-2)z,其共輾復(fù)數(shù)為(2加+3)-(3加一2",故B

錯誤；

h-22卜|(2-加)+4i|表示點(2-機,4)到原點的距離,

??.|z「zLn=Q(2_/)2+］6),當(dāng)掰=2時,取最小值為4,故C正確；

^z=x+yi,x,yeR,由=1得|(x-2)+(y—3舛=1,即(x-2)2+3-3)?=F,

，對應(yīng)點Z的集合是以(2,3)為圓心，以1為半徑的圓，故D錯誤；

故選：AC

11.如圖所示，圓錐S。的底面半徑r=百，高SO=1,Z8是底面圓周的一條直徑，M

為底面圓周上與8不重合的一點，則下列命題正確的是()

s

M

A.圓錐SO的體積為〃

B.圓錐SO的表面積為（273+3>

C.SB"的面積的最大值是百

D.有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點力爬行到點8,則螞蟻爬行的最短距離為百乃

【正確答案】AB

【分析】由圓錐的底面半徑和高，求出母線長，對于AB,代圓錐的體積公式和表面積公式

計算可得；對于C,先求出軸截面的頂角，再代三角形面積公式計算；對于D,根據(jù)側(cè)面展

開圖計算可得.

【詳解】圓錐5。的底面半徑尸=君，高SO=1,所以母線長為2：

對于A.圓錐SO的體積為P==乂兀乂厲x\=兀,所以A正確：

3

對于B.圓錐S。的表面積為S”x疔+乃xjjx2=（2百+3）萬，所以B正確；

對于C.由軸截面為等腰三角形且頂角為乙空運=2485。=2乂60。=120。，

當(dāng)?shù)妊黃8M的頂角為90°時，的面積取得最大值為：S,“s8=gx2x2xsin9（）o=2,

所以C錯誤；

對于D.圓錐的底面圓周長為2也萬，所以側(cè)面展開圖的圓心角為a='=也乃，所以圓錐

r

側(cè)面展開圖中圓弧48=叵、2=JJ%，螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點工爬行到點8,則螞蟻爬

2

行的最短距離為線段Z3,且AB〈IAB=“兀，所以D錯誤：

故選：AB.

12.在銳角N8C＞中，角48,C所對的邊分別為。，4c,且c-b=2bcosZ,則下列結(jié)論

正確的有()

A.A=2BB.8的取值范圍為

C.￡的取值范圍為(J5,2)D.—5------—+2sin4的取值范圍

tanBtanA

【正確答案】AD

【分析】先利用正弦定理從條件c-6=26cos4中求出Z=28，得到選項A正確.選項B

利用力8C為銳角三角形求解；選項C先用二倍角公式化簡，再結(jié)合角8的范圍求解；選

項D先對式子化簡，再換元利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求范圍.

【詳解】在48C中，由正弦定理可將式子。-6=26cosZ化為

sinC-sin8=2sinBcosA,

把sinC=sin(4+8)=sin/cosB+cosAsinB代入整理得,

sin(Z-8)=sin8,

解得A-B=B或A-B+B=九,即Z=28或/=)(舍去).

所以力=28.

選項A正確.

選項B：因為48。為銳角三角形，A=2B,所以C=〃—38.

兀

0<B<~,

2

由<0<26《解得Be你?)

故選項B錯誤.

71

0<7U-3B<-

2

3工Qsin4sin28八八

選項C：—=-----=------=2cosB，

bsinBsinB

因為匹你"所以―母閽

2cos3G(忘,G),

即1的取值范圍(V2,V3).故選項C錯誤.

選項D：

11r?,sin(4—8)1c.,

+2sinA=——人+2sinA=----+2sinA.

tanBtanJ----------sinJsin-----------sinJ

J31

☆f=sinN,te—,1,則/(f)=2r+：.

由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)/(。=2，+7在5-,1上單調(diào)遞增.

又/圖考，"1)=3,所以/⑴4竽,3)

即」一二+2sin/的取值范圍為絲,3.故選項D正確.

tanBtanJI3I

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

ab1+z-1

13.定義一種運算如下：，=ad-bc則復(fù)數(shù)c、的共輒復(fù)數(shù)是

cd23z

【正確答案】-l-3i

【分析】直接利用定義的運算求復(fù)數(shù)，再求其共粗復(fù)數(shù).

【詳解】由題得復(fù)數(shù)z=(1+i)3i+2=3i-3+2=-l+3i,所以它的共癰復(fù)數(shù)為-l-3i.

故答案為-l-3i.

(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和共規(guī)復(fù)數(shù)，考查新定義，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水

平和運用新定義解答問題的能力.(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,be&)的共軌復(fù)數(shù)z=a-bi.

14.如圖，矩形O'48'C'是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖，其中

0A'=4,O'C=1,則原圖形周長是.

【分析】根據(jù)直觀圖還原該平面圖形，然后可得答案.

在直觀圖中，設(shè)。與8'C'交于點P,則C'P=1,P'B'=3,O'P'=6,

所以原圖形周長是2X(4+3)=14

故14

15.今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)、早隔離.現(xiàn)某地

發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的圓。的內(nèi)接四邊形區(qū)域Z8CD,沿著四邊形邊界

用固定高度的板材圍成一個封閉的隔離區(qū).其中46=100,BC=300,CD=DA^200,

(單位：米)，則NN=；四邊形Z6c。的面積為(平方米).

A

【正確答案】①.一##120°②.2000073?

3

【分析】空1：連接3。，由題意可得/+。=兀，利用誘導(dǎo)公式，余弦定理可得

AB2+DA2-BD2BC2+CD2-BD2

，解得BD?的值，進(jìn)而可求/N和/C：空2：再

2AB?D4IBCCD

根據(jù)三角形的面積公式即可求解四邊形ABCD的面積.

【詳解】空1：如圖，連接80，由題意可得Z+C=7t，可得cosZ=-cosC,

AB2+DA2-BD2BC2+CD2-BD2

由余弦定理可得即

2AB?DA_2BC-CD

100?+ZOO?-BD?

BD2=70000，

2x100x200

AB?+DA?-BD?1002+ZOO?一7000Q_i2兀

所以cosZ=p且Ze（0,2,所以//=半.

2AB,DA2x100x200

兀

所以NC=—,

3

1271171

空2：所以四邊形力88的面積S='.o+dBCD=~ABDA-sin—+-BC-CD-sin-

=-xl00x200x—+lx300x200x—

2222

=200006（平方米）.

16.對任意兩個非零的平面向量￡和彳，定義￡和彳之間的新運算③.￡二方=旗若非

零的平面向量4,行滿足：°③刃和石③〃都在集合＜x\x=-^-,ncZ＞中，且,上忖?設(shè)Q

與］的夾角6c仁,；)，則僅加卜in6=.

2

【正確答案】§

一一\a\-cos0JT--B-cos。

【分析】化簡a?b=^-Tr,-=三院,=_,則

\b\3M

(a?h)-(h?a)=cos23=2,因此依據(jù)。的范圍即可求出左的范圍，進(jìn)而確定其值,

求出(aOl)sin。.

\a\-b

一一ci,b?cos6?cos。.R

【詳解】a?b=^-^J

b-bb

?cos014

7…一h-aa?cos。.R

b?a==^了L=+?(4eZ),

a-a亂問H3

2

(a?by(b?a)=cos0=2，

71711339

???。￡2

?*'?COS0G(—,—)k}k2G(—,—),

**k\,k>￡Z,?,.左向=2,cos20——,sin0=，

33

VpZ|>1^1k}>上2,即可=2,無2=1,

二.(a區(qū)刃卜吊6=I，

故答案為:;2.

本題以新定義為背景考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,結(jié)合了三角函數(shù)的相關(guān)知識，需要學(xué)生有一定的

分析計算能力.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.已知平面向量2=(1,3),b=(2x-eZ).

irJ-

⑴若24+b與垂直?求x；

(2)若向量1=(7,-1),若篙力與力工共線,求

【正確答案】(1)-1；(2)J溝.

【分析】

y1rJ-

(1)由題意求出21+b與1—26的坐標(biāo)，由垂直得數(shù)量積為0可得結(jié)果；

(2)由題意求出才+力與，一3由共線求出x的值，代入模長公式求得結(jié)果.

【詳解】⑴因為2=(1,3),i=(2x-l,-x).

p-LpJ-

所以2Q+b=(2x+1,6-x)，a-2b=(3-4x,3+2x).

因為21+力與三一2。垂直,

整理得lox?-1lx-21=0，

解得x=-l或》=—(舍去)

10.

IP

(2)因為2=(1,3),b=(2x-l,-x),c=(7,-1),

PiiP

所以〃+b=(2x,3-x),b-c=(2x-8,l-x).

因為E+b與b-E共線,

故》+6=4(b-1)(4￡R),

2x=A(2x-8),x=2,

所以《解得

3—x=丸(1—x),A=-1.

所以3=(3,-2),三―力=(1,3)-(3,-2)=(—2,5),

22

所以a-b=A/(-2)+5=V29.

方法點睛：兩向量：=(X”M),1=&,%)的位置關(guān)系求參數(shù)的常見方法:

(1)由力)，得再々+1》2=0；

C2)由1//5,得和2—=0?

18.在①22或=10(?！?)@復(fù)平面上表示?的點在直線X+2丁=0上速4(。一。＞0這

Z2

三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答：

已知復(fù)數(shù)4=l+i,Z2=a+3i；(i為虛數(shù)單位)，滿足.

11

(1)若2=—+一，求復(fù)數(shù)z以及|z|；

Z|z2

(2)若Z2是實系數(shù)一元二次方程/+〃a+4—3m=0的根，求實數(shù)”的值

34

【正確答案】(l)z=1—不用=1；

(2)m=-2

【分析】選條件①，根據(jù)2222=/+9=10求出。的值;

選條件②，求出五在復(fù)平面上表示點的坐標(biāo)，代入直線方程求出。的值；

Z2

選條件③，計算Z](〃—i),根據(jù)Z](a—i)>0求出。的值；

⑴計算Z和|z|的值；

(2)根據(jù)Z2是實系數(shù)一元二次方程的根，點也是方程的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值.

【詳解】選條件①.z2z^=10(a>0)

因為Z1=l+i,z2=a+3i,所以z?Z2=/+9=10,

解得〃2=1，又4>0,所以4=1;

Z.

選條件②：復(fù)平面上表示」的點在直線X+2夕=0上.

Z2

因為4=1+i,z2=67+3i,

Z[1+ia+3a—3.,,____,cf+3a_3

所以」=----r=-i1—si其表示的點為(F----------),

Z2a+3i<7+9a~+9a-+9tr+9

“+3

有+2x上―=0,解得a=l；

a2+9a2+9

選條件③：Z](a-i)〉0

因為4=l+i,所以Z|(a_i)=(l+i)(aT)=(a+l)+(a_l)i>0,

a+1>0

所以《,解得a=l.

<2-1=0

—+：-IT，|z|=槨2+(T=l；

（2”2是實系數(shù)一元二次方程1+蛆+4一3加=0的根，

則［也是該方程的根，所以m=-02+］尸—（l+3i+l-3D=-2.

19.如圖，在四棱錐尸一Z8C。中，P4工平面/BCD,4B//CD,CD=2AB,ABLAD,

民尸分別是CO和PC的中點，

（1）證明：ABLPD-.

（2）證明：平面BEf//平面.

【正確答案】（1）見證明；（2）見證明

【分析】（1）由于P/J?平面NBC。，ABVPA,又48，可得ZB_L平面，

進(jìn)而命題得證；

（2）由已知得是平行四邊形，仄而AD//BE,由三角形中位線定理得跖//尸。，

由此能證明平面EE//平面PAD.

【詳解】（1）證明：平面/BCD,平面46C0

AB1PA

又/.AB±AD,PAnAD=A

：.AB1平面PAD

???尸。=平面

AB±PD

（2）vCD=2AB,E為CO的中點A8=Z）E

又AB//BE

二四邊形ABCD為平行四邊形

AD11BE

■：E,E分別是CD和PC的中點EF11PD

?：EFnBE=E,PDnAD=D

???平面BEb//平面

本題考查線面垂直、線線垂直，以及面面平行的判斷的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間

中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用.

20.某農(nóng)場有一塊底角為30°的等腰三角形的空地/BC，其中邊3C的長度為400米，為

迎接“五一”觀光游，欲在邊界8C上選擇一點尸，修建觀賞小徑PAI,PN,其中M,N

分別在邊界Z8，/C上，小徑PM,PN與邊界8C的夾角都是60'，區(qū)域和區(qū)域

尸NC內(nèi)種植郁金香，區(qū)域4WPN內(nèi)種植月季花.

（1）探究“觀賞小徑PM,PN的長度之和是否為定值？請說明理由

（2）為深度體驗觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑A/N,當(dāng)點尸在何處時，三條小徑

兒W）的長度之和最小？并求出最小值.

【正確答案】（1）是定值，理由見解析

（2）當(dāng)點尸是BC的中點時，三條小徑（尸尸N,MV）的長度之和最小為300米.

【分析】（1）根據(jù)條件可知，△出加和△CPN為直角三角形，由此得到尸加=,尸6,

2

PN=-PC,根據(jù)8C=400即可求解；

2

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，以及基本不等式，即可求解.

【小問1詳解】

在中，￡）8河。=180°-30°-60"=90°，

因為8=30°，所以尸尸8,同理可得尸N=，PC,

22

故PA/+PN=Lpg+4PC=L8C=200（米），為定值.

222

【小問2詳解】

在PMN中,DMPN=1800-2x600=60.

由余弦定理可得MN~=PM2+PN2-2PM-PN?cos600

,,PM+PN?

=（PM+PN）2-3PM-PN>2002-3X（——-~~）2=10000,

當(dāng)且僅當(dāng)尸A/=PN=100（米）時，等號成立，

則MN2100,即MN的最小值為100（米），

此時尸5=PC=200（米），

所以當(dāng)點尸是的中點時，三條小徑（PM,RV,兒W）的長度之和最小為300米.

21.重慶、武漢、南京并稱為三大“火爐”城市，而重慶比武漢、南京更厲害，堪稱三大“火

爐”之首.某人在歌樂山修建了一座避暑山莊。（如圖）.為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條夾

TT

角為一（即NZ08）的小路之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感,

6

已知弓形花園的弦長M同=2G且點A,8落在小路上，記弓形花園的頂點為且

（1）將用含有e的關(guān)系式表示出來；

（2）該山莊準(zhǔn)備在切點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何規(guī)劃花園（即OZ,

08長度），才使得噴泉M與山莊。距離即值最大?

【正確答案】⑴04=46Sin。；O5=4Gsin(e+^；⑵當(dāng)OB=OA=娓+3C

時，|。加|取最大值.

【分析】

（1）在OZ8中，利用正弦定理即可將。4,08用含有6的關(guān)系式表示出來：

（2）在△0M8中，由余弦定理得出。I/?=-i6jJsin[2e+1）+28,結(jié)合三角函數(shù)

的性質(zhì)，即可得出10A7|的最大值，再求出。4。8的長度即可.

OAAB

【詳解】（1）在Z8C中，由正弦定理可知嬴萬=.乃，

sin——

6

則3=4氐in。；

OBAB

同理由正弦定理可得sinAOAB—.兀，

sin—

6

則OB=4百sinNOAB=473sin3+

(2)陽=2百，NMAB=NMBA=71

~6

，AM=BM=2,

在△OMB中，由余弦定理可知

0M2=OB2+BM2-2OBBMcos^6+^

=48sin2(6++4-1673sin(6+cos]。2

=241-cos?+2