備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-正、余弦定理

專題6.5正、余弦定理

日題型目錄

題型一利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形

題型二判斷三角形解的個(gè)數(shù)

題型三二角形面積及其應(yīng)用

題型四判斷三角形的形狀

題型五利用正弦定理求外接圓半徑

題型六利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化

題型七解三角形的實(shí)際應(yīng)用

才

題型一利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形

例1.（2022春?福建.高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一ABC的內(nèi)角A&C,所對(duì)的邊分別為。,6,c,且a=Rb=EB=?

則A的值為（）

例2.（2023春?上海黃浦?高三格致中學(xué)?？计谥校┰?ABe中，”=2,6=3,若該三角形為鈍角三角形，則邊。的

取值范圍是.

舉一反三

練習(xí)1.（2023春?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在ABC中，已知。=0,6=百，8=60,則A角的度數(shù)為（）

A.30B.45C.45或135°D.60

練習(xí)2.（2023春?北京?高三北京市第五十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在,.ASC中，八8=6收=26及=2巫，點(diǎn)、口在

邊8c上，且ZAOC=60.

⑴求cos3；

（2）求線段AD的長(zhǎng).

練習(xí)3.（2023春?廣東深圳?高三翠園中學(xué)?？计谥校┰贏BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且滿足

（a+b）2-c2=3ab.

⑴求tanC的值；

⑵若。為邊BC所在線段上一點(diǎn)，且AD=12,BD=8,AB=16,求6的值；

練習(xí)4.（2023?河南關(guān)B州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)），ABC中，AB=4,BC=5,CA=6,1ABC平分線與AC交于點(diǎn)。，則3D=

TT

練習(xí)5.（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD中，AC與相交于點(diǎn)。，AC平分ZABC=~,

AB=3BC=3,則sinZDAB的值______.

題型二判斷三角形解的個(gè)數(shù)

例3.（2022春.高三課時(shí)練習(xí)）已知在ABC中，A=60°,AC=6,BC=m,若一ABC有兩解，則正數(shù)機(jī)的取值范圍

為.

例4.（2023春?江蘇南通?高三江蘇省通州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰贏ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,

且a=VLA=60,若三角形有且只有一解，則b的取值范圍為.

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?安徽馬鞍山?高三馬鞍山二中?？计谥校ǘ噙x）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c

若a=6,2=30。，則使此三角形只有唯一解的。的值可以是（)

A.20B.3C.5D.572

練習(xí)7.（2021春?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谥校〢BC中,A=30*=2,a=&.則滿足這樣的三角形的個(gè)數(shù)為

A.唯——個(gè)B.兩個(gè)C.不存在D.有無數(shù)個(gè)

練習(xí)8.（2023春?福建?高三校聯(lián)考期中）（多選）在「ABC中,4=60，角A所對(duì)的邊。=石，下列結(jié)論正確的為

A.若0<bW2,A5c有一個(gè)解B.若b〉2,45c無解

C.若若<6<2,ASC有兩個(gè)解D.若0<6W白，ABC有一個(gè)解

練習(xí)9.（2023春?陜西西安?高三西安市第八十三中學(xué)校考期中）在「ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的

邊，A=],b=20若，山C有兩解，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的4的值:

練習(xí)10.（2023春?廣東深圳?高一校考期中）在△ABC中，a=x,b=s/3,B=6Q,若三角形有兩解，則x的取值范圍

是(

A.2<x<2A/2B.5/2<x<2

C.A/3<x<2D.2Vx<2—

題型三利用正弦定理求外接圓半徑

例5.（北京市東城區(qū)2023屆高三綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試卷）在ABC中，a=2正,b=2c,cosA=-；,貝ijS.

例6.（2023?北京?高一專題練習(xí)）在ABC中，瘋?=2加inA.

⑴求々;

(2)若b=V7,c=3,求2ABe的面積.

舉一反三

TT1

練習(xí)n.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在」1BC中，A=-,A8邊上的高為丁A8,則8sC=()

44

A.—B.--C.—D.

5555

產(chǎn),序—2

練習(xí)僅⑵22秋?河南焦作?高二統(tǒng)考期末）在ABC中'其三邊分別為。，",且三角形的面積

則角C=.

練習(xí)13.（2023春?河南信陽?高三校聯(lián)考期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”,

后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△ABC,若EF=2,

49K

,D.

練習(xí)14.（2023春?河南信陽?高三校聯(lián)考期中）如圖，在二至。中，A為鈍角，AC=y/2,8是—ACS的平分線,

8交A8于點(diǎn)。，且CZ）=百，ZADC=：.

⑴求A的大小;

（2）求△3CD的面積.

練習(xí)15.（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）ABC的內(nèi)角A,8,C所對(duì)邊分別為。，b,c,若。=3,/?=2c,

A=p貝UA5c的面積為.

題型四三角形面積及其應(yīng)用

例7.（2023春?安徽六安?高三六安二中校考期中）若在ABC中，2a-cosB=c,則三角形的形狀一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

r

例8.（2023春?浙江?高三期中）已知。,仇。分別是45c三內(nèi)角4民。的對(duì)邊，且滿足asinC+24cos?耳=a+6+c,

則一ABC的是_________三角形.（填三角形的形狀特征）

舉一反三

練習(xí)16.（2023春?河南商丘?高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在AA8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

Ac—卜

c,且sirr—=------,貝?。軦ABC是（）

22c

A.直角三角形B.銳角三角形C.等邊三角形D.4=30。的三角形

練習(xí)17.（2023春?河南商丘?高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）己知在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分

別為a,b,c,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若sinA>sinB,貝！JcosA<cos3

B.若及42。是銳角三角形，則不等式sinA<cos8恒成立

C.^acosB=bcosA,貝（JAABC必是等邊三角形

D.若A=］，a2=bc,貝是等邊三角形

練習(xí)18.（2023?上海?高三專題練習(xí)）在ABC中，已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

⑴求A；

（2）若sinB+sinC=l,判斷ABC的形狀.

3

練習(xí)19.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）在一ABC中，a2+b2=c2+ab,且sinAsinB=；,試判斷J山C的形狀.

練習(xí)20.（2023春?江西贛州?高三校考期中）已知AABC內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,面積為S,若

2S=y/3AB-AC,a2=bc,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

題型五判斷三角形的形狀

例9.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓。為，ABC的外接圓，Zfi4c=60。，BC=2G,則QB-OC=（）

A.2B.-2C.4D.-4

例10.（2023?河南?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，AB=3,4cosAsinfi=l,若8C在A3上的投

影長(zhǎng)等于.ABC的外接圓半徑R,則R=.

舉一m

練習(xí)21.（2023春?河北?高三校聯(lián)考期中）在ABC中，A+C=2B,4。=4后，則ABC外接圓的半徑為（）

A.2B.242C.26D.4

練習(xí)22.（2023春?河南?高三校聯(lián)考期中）已知二外接圓的周長(zhǎng)為4萬，ZBAC=-,則8C=（）

6

A.4B.2C.473D.2A

練習(xí)23.（2023春?廣東東莞?高三東莞高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

且c^sinB-'j3cosBj+A/3<7=0.

⑴求角C的大??；

（2）若［ABC的外接圓半徑尺=近，6=4,求ABC的面積.

練習(xí)24.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由

相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長(zhǎng)

邊為10cm,較短邊為5cm,如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)AB,C都在圓周上，角

A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足c=4j5cm

⑴求sinC；

⑵若的面積為8cm、且〃>c,求ABC的周長(zhǎng)

練習(xí)25.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）在銳角鉆C中，45=3,4cosAsinB=l,若BC在A3上的投影長(zhǎng)等于

的外接圓半徑R,則R=（）

A.4B.2C.1D.1

題型六利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化

例11.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）己知在11ABe中，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,6,c,若

3sinCcosA=sinB,a2-c2=1,則6=.

例12.（2023春?河南商丘?高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,

c,My/3asinB+bcosA=c.

⑴求&

（2）設(shè)〃=限，b=2,求ABC的面積.

舉I一鳳三

練習(xí)26.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

2sinAsinCcosB+cosB=3sin2B—cos（A—C）.

⑴證明：a+c=2Z?；

（2）若2=2,cosB=—,求△ABC的面積.

練習(xí)27.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在ASC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b=2c,4sinC+cosB=l,則

sinA

()

sin5

.2V21-3?2A/21-3

A.----------D.-----------

105

C2而+3D2歷+3

--10---5

練習(xí)28.（2023?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知一ABC中角4民C的對(duì)邊分別為。，仇。，

acosC+yfiasinC-b-c=0?

⑴求A；

（2）若。=而，且.MC的面積為3#，求周長(zhǎng).

練習(xí)29.（2023?天津河西?天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在ABC中，角4瓦。所對(duì)的邊分別為。涉，c.已知

2cosc（flcosB+6cosA）=c.

⑴求角C；

⑵若cosA=半，求cos（2A+C）的值；

練習(xí)30.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）―ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,

且2QCOS3=CCOS5+COSC,b=l,則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

A.3==B.ac<l

3

C.tzcosC+ccosA-fecosB=1D.ABC周長(zhǎng)的最大值為3

題型七解三角形的實(shí)際應(yīng)用

例13.（2023春?福建南平?高一福建省南平市高級(jí)中學(xué)校考期中）在路邊安裝路燈，燈柱A3與地面垂直（滿足

ZR4D=90°）,燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直，且/ABC=120。，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖

中陰影部分所示，已知NACD=60。，路寬AD=12m.設(shè)燈柱高=ZACB=3（30°<0<45°）.

⑴求燈柱的高〃（用。表示）；

（2）若燈桿3C與燈柱A3所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為S,求S關(guān)于。的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值.

例14.（2023春?河南洛陽?高三統(tǒng)考期中）（多選）一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75方向上，距離

為12后海里，燈塔C在A的北偏西30。方向上，距離為6后海里，該輪船從A處沿正北方向繼續(xù)航行到。處時(shí)再

看燈塔8在其南偏東60方向上，下面結(jié)論正確的有（）

A.AD=12后海里B.CQ=6&海里

C.ZCDA=60^4ZCDA=120D.燈塔C在。的南偏西60方向上

舉一

練習(xí)31.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問題（如圖1）：今

有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰,

與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一

個(gè)問題，如圖2,要測(cè)量海島上一座山峰的高度立兩根高48丈的標(biāo)桿和DE,兩竿相距80=800步，D,

B,〃三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)8退行100步到點(diǎn)F,止匕時(shí)A,C,F三點(diǎn)共線，從點(diǎn)。退行120步到點(diǎn)G,

此時(shí)A,E,G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度步.（古制單位:180丈=300步）

練習(xí)32.（2023春?浙江?高三校聯(lián)考期中）位于某港口A的小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小

艇出發(fā)時(shí)，海輪位于港口A北偏東30。且與該港口相距30海里的B處，并正以20海里/時(shí)的速度沿正西方向勻速行

駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與海輪相遇.

（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇的航行速度應(yīng)為多少？

（2）若經(jīng)過2小時(shí)小艇與海輪相遇，則小艇的航行速度應(yīng)為多少？

（3）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到10而海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得

小艇能以最短時(shí)間與海輪相遇，并求出其相遇時(shí)間.

練習(xí)33.（2023春?廣東廣州?高三西關(guān)外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，某中學(xué)校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為

了測(cè)量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部C在同一水平面的A、8兩點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得紅豆樹根部C在西偏北30。的

方向上，沿正西方向步行40米到B處，測(cè)得樹根部C在西偏北75。的方向上，樹梢。的仰角為30。，則紅豆樹的高

C.邛米D學(xué)米

練習(xí)34.（2023春?云南曲靖?高三曲靖一中校考階段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國(guó)書法的藝

術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資

料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150。等特

殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了AABD,測(cè)得A8=5,BD=6,

AC=4,AD=3,若點(diǎn)C恰好在邊3。上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin/AC。的值（）

.平

練習(xí)35.（2023春?上海寶山?高二上海交大附中校考期中）某校學(xué)生利用解三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).A處

有一棟大樓，某學(xué)生選（與A在同一水平面的）3、C兩處作為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得的距離為50m,ZABC=45°,

ZBCA=105°,在C處測(cè)得大樓樓頂O的仰角a為75。.

⑴求A,C兩點(diǎn)間的距離；

(2)求大樓的高度.(第(2)問不計(jì)測(cè)量?jī)x的高度，計(jì)算結(jié)果精確到hn)

專題6.5正、余弦定理

日題型目錄

題型一利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形

題型二判斷三角形解的個(gè)數(shù)

題型三二角形面積及其應(yīng)用

題型四判斷三角形的形狀

題型五利用正弦定理求外接圓半徑

題型六利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化

題型七解三角形的實(shí)際應(yīng)用

才

題型一利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形

例1.（2022春?福建.高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一ABC的內(nèi)角A&C,所對(duì)的邊分別為。,6,c,且a=Rb=EB=?

則A的值為（）

71一兀一兀一3兀

A.—B.—C.—D.—

6434

【答案】B

【分析】應(yīng)用正弦定理、三角形內(nèi)角性質(zhì)求A的值.

【詳解】由正弦定理知：三=三,貝上；“4_asin8_3_應(yīng)，Ae（0,7t）,

sinAsinBsinA=---==—

所以4=丁或4=亨，又4+3<兀，故A=J.

444

故選：B

例2.（2023春?上海黃浦?高三格致中學(xué)?？计谥校┰?ABC中，a=2,6=3,若該三角形為鈍角三角形，則邊c的

取值范圍是.

【答案】（1,6）。（屈,5）

【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)可得l<c<5,分類討論，結(jié)合題意列式求解即可.

\ob-a=1

【詳解】由三角形可得，,，解得l<c<5,

若該三角形為鈍角三角形，注意到a<6,

則角8為鈍角或角C為鈍角，可得/+一/<?；?+62一/<。,

即4+02-9<0或4+9-c?<0,解得l<c<君或而<。<5，

故邊c的取值范圍是（1,0）。（而,5）.

故答案為：（1,右”（瓦,5）.

舉一反三

練習(xí)1.（2023春?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在ABC中，已知°=也,6=百，3=60,則A角的度數(shù)為（）

A.30B.45C.45或135°D.60

【答案】B

【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角得到角A<3,利用正弦定理求得sinA,結(jié)合角A的范圍求得角A的度數(shù).

【詳解】由.=應(yīng)，b=6得a〈b,于是A<5,

行x國(guó)r

由正弦定理得公4asinBJ*2及,

b也2

：.A=45。，

故選：B.

練習(xí)2.（2023春?北京?高三北京市第五十中學(xué)校考期中）如圖，在，ABC中，AB=6,AC=2若,BC=2?,點(diǎn)。在

邊8C上，且NAOC=60.

⑴求cos8；

（2）求線段AD的長(zhǎng).

【答案】⑴cos8=；

3

（2）45=4.

【分析】（1）在一ABC中利用余弦定理求解即可；

（2）先利用同角關(guān)系求sinB,在△ABQ中利用正弦定理即可求解.

【詳解】（1）在ABC中，由余弦定理可得cos5=—+叱二

2ABBC

又AB=6,AC=2A/3,BC=2>/6,

62+（2研-（26匚?

cosB=

2x6x2m3

（2）因?yàn)?<3<兀，所以sin3>0,

sinB=^1-cos2B=二目

一W

由NADC=60,可得NAZ)8=120。,

ADAB

在△ABD中根據(jù)正弦定理得:

sinBsinZADB

XsinB=—,AB=6,ZADB=120°f

3

…AB-sinB，

所以AO=---------=4.

sinZADB

練習(xí)3.（2023春?廣東深圳?高三翠園中學(xué)校考期中）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且滿足

(。+/?)2_。2=3ab.

⑴求tanC的值;

⑵若。為邊BC所在線段上一點(diǎn)，且AD=12,BD=8,AB=16,求6的值;

【答案】⑴6

(2)675

【分析】（1）由余弦定理求出C,進(jìn)而得tanC；

（2）在中，由余弦定理得cosNADB,進(jìn)而求得sinNADC,在△ADC中，由正弦定理求得6.

【詳解】(1)由(〃+份2一/=3“b,a2+/?2-c2=ab,

J,又0<C<7T,則C=5,

于是得cosC=

lab2

所以tanC=5/3；

(2)在△ABD中，AD=12,30=8,43=16,

由余弦定理得cosZADB=空費(fèi)泮=T，所以sin/AO3二^

4

貝IsinZADC=sin(7i-NADB)=sinZADB=孚

b12

ACAD

在zwc中，由正弦定理有,即K一正,解得6=64.

sinZADCsinZC

42

練習(xí)4.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）.ABC中，AB=4,BC=5,CA=6,—ABC平分線與AC交于點(diǎn)。，則3D=

【答案】y

【分析】首先利用余弦定理求出cosC、osZABC,即可得到N/RC=2C,再由正弦定理計(jì)算可得.

【詳解】由余弦定理c°sC=史瑟”52+62-52_3

2x5x6~4

BC2+AB2-AC252+42-62_1

cosZABC=

2BC-AB2x5x4-8

所以cos2c=2cos2C-l=1,所以/ABC=2C,

8

因?yàn)?。為,ASC的平分線，所以/DFC=C,

所以sinZ.BDC=sin（兀-2C）=sin2C,

BCBD

在△BCD中由正弦定理

sinNBDCsinC

5BD510

即,所以50=

sin2CsinC2cosC3

故答案為：￡

jr

練習(xí)5.（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD中，AC與3D相交于點(diǎn)O,AC平分NZMB,ZABC=-,

AB=3BC=3,則sinZ.DAB的值

【答案】巫

1414

【分析】由余弦定理求出4。=近，再由正弦定理求出sin/B4C=立L即得解;

14

TT

【詳解】在.A6C中，^ABC=-,AB=3,BC=1,

由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC

=32+l2-2x3xlx-=7,

2

所以AC="

BCAC

由正弦定理得

sinZBAC~sinZABC

BCsmZABCT"即cos/A4C="

SHINnAC=----------------------------=—j==---------iA

ACa1414

cn

又因?yàn)锳C平分NDAB，所以sin/ZMB=IsinZBACcosZBAC=—.

14

故答案為：亞

14

題型二判斷三角形解的個(gè)數(shù)

例3.（2022春?高三課時(shí)練習(xí)）已知在ABC中，A=60°,AC=6,BC=m,若.MC有兩解，則正數(shù)"?的取值范圍

為____________

【答案]3布<m<6

【分析】利用正弦定理得到sinB=里的=｝叵，由題意則60°<3<120°,且2/900求解.

am

【詳解】解：由正弦定理得：sin2="@a=2?,

am

要使三角形有兩解，貝IJ60°<2<120°,且2x90°,

即<sinB<1,解得：3下<m<6-

2

故答案為：3A/3<m<6

例4.（2023春?江蘇南通?高三江蘇省通州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰贏ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,

且°=百，A=60,若三角形有且只有一解，則》的取值范圍為.

【答案】｛2｝J（0,我

【分析】由正弦定理得sin8=刎上=與，依題意得0<8460或2=90,進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

a2

■、45.Edrab/日.bsinAbsin60b

【詳解】因?yàn)椤?近，A=60,由正弦定理^―—-<sinB=--------=-----『—=-，

sinAsinna，32

要使三角形有唯一解，則0<5460或3=90,

所以0<sin3W走或sin5=1,即0<空立或鳥=1,

解得0<匕（君或6=2,則Z?的取值范圍為｛2卜8我.

故答案為：｛2｝（0,0].

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?安徽馬鞍山?高三馬鞍山二中校考期中）（多選）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

若a=6,2=30。，則使此三角形只有唯一解的。的值可以是（）

A.2A/2B.3C.5D.572

【答案】BD

【分析】由題意sinA=""=g,則角A只有一個(gè)解，有sinA=l或sinA<l且轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系即可.

bb

【詳解】由正弦定理得，sinA="fg=],要使此三角形只有唯一解，此三角形時(shí)有且只有唯一解，則A只有一

bb

個(gè)，

則？3=1或3；<1且

bb

所以6=3或826,選項(xiàng)BD符合.

故選：BD.

練習(xí)7.（2021春.廣東深圳.高三紅嶺中學(xué)校考期中）ABC中，A=30力=2,0.則滿足這樣的三角形的個(gè)數(shù)為

（）

A.唯一一個(gè)B.兩個(gè)C.不存在D.有無數(shù)個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行求解即可

【詳解】已知A=30/=2,。=&，

由正弦定理^~~~=-；—，sinB="s/ZsinA=,

sinAsinB2

又b>a,則3>A,0<A<180,

.?.3=45或135,滿足條件的三角形有2個(gè)三角形.

故選：B.

練習(xí)8.（2023春?福建?高三校聯(lián)考期中）（多選）在一ABC中，A=60,角A所對(duì)的邊a=VL下列結(jié)論正確的為

（）

A.若。<642,ABC有一個(gè)解B.若b>2,ABC無解

C.若b<6<2,抽。有兩個(gè)解D.若0<64石，ABC有一個(gè)解

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理求得$m2=刎H=當(dāng)，結(jié)合選項(xiàng)中匕的取值范圍，分類討論，即可求解.

a2

【詳解】因?yàn)?=60且a=JL由正弦定理二=芻，即sinB=%4=§,

sinAsmBa2

當(dāng)b=2時(shí)，可得sin3=l,所以8=90,此時(shí)ABC有一個(gè)解，故A不正確；

當(dāng)匕>2時(shí)，可得sin3>l,不成立（舍去），此時(shí),.ABC無解，故B正確；

當(dāng)6<6<2時(shí)，即則3>A,由sin3>走，此時(shí)B有兩解，即MC有兩解，故C正確；

2

當(dāng)即bw。，則844=60,由sinBV立，此時(shí)B只有一解，故D正確.

2

故選：BCD.

練習(xí)9.（2023春?陜西西安?高三西安市第八十三中學(xué)?？计谥校┰?，ABC中，“，b,c分別是角A,B,C所對(duì)的

邊，A=b=2y[2,若，ABC有兩解，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的。的值：.

【答案】逑（答案不唯一）

3

【分析】取0=延，根據(jù)正弦定理得到sinB=立，確定三角形有兩解，得到答案.

32

46

【詳解】取。=迪，貝4三=名,即章=31

sinB=—,

3sinAsinBV2sinB2

V

j,8=]或2=亨，驗(yàn)證滿足，故有兩個(gè)解，滿足.

故答案為：。=巫（答案不唯一）

3

練習(xí)10.（2023春?廣東深圳?高一?？计谥校┰凇鰽BC中，a=x,b=&B=60,若三角形有兩解，則x的取值范圍

是（）

A.2<x<2>/2B.5/2〈尤<2

C.也<x<2D.2<x<273

【答案】C

【分析】過C作CDLAB于。，根據(jù)BC,CD,AC的長(zhǎng)度大小關(guān)系判斷三角形個(gè)數(shù)，即可確定參數(shù)范圍.

【詳解】由題設(shè)，過C作CDL4?于。，如下圖示，

CD=尤sin600<有

則廠可得百<x<2時(shí)，三角形有兩解.

x>V3

當(dāng)xsin60。>石，即x>2時(shí)，三角形不存在;

當(dāng)x=6或2時(shí)，AABC分別對(duì)應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個(gè)三角形;

當(dāng)了<君時(shí)，在射線3。方向上有一個(gè)△ABC,而在射線D3方向上不存在，故此時(shí)僅有一個(gè)三角形;

A

D,

6

故選：C

題型三利用正弦定理求外接圓半徑

例5.（北京市東城區(qū)2023屆高三綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試卷）在，ABC中，a=2娓,b=2c,cosA=~,則S

【答案】V15

【分析】由余弦定理求解瓦。，由同角函數(shù)基本關(guān)系求出sinA,代入面積公式求解即可.

【詳解】由余弦定理/=/+-26CCOSA可得24=4c2+c2-4c2x（-1）=6c2,

解得c=2,則b=2c=4,

又sinA=V1-cos2A=，

4

所以S.RC=UcsinA=L4x2x2^=5/f^.

.224

故答案為：V15

例6.（2023?北京?高一專題練習(xí)）在...ABC中，瘋z=26sinA.

⑴求23；

（2）若》=?,c=3,求3ABe的面積.

【答案】（1）（或三

⑵更或還

24

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得。，再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)?a=26sinA,由正弦定理可得，

^3sinA=2sinBsinA,

因?yàn)閟inA>。，所以sin3=走，

2

且3?0,兀），所以3=g或4.

（2）由（1）可知8=彳或三，且6=S,c=3,b<c,所以3<C

33

即B1,由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB,

即7=a?+9—2QX3X—,解得a=l或〃=2,

2

當(dāng)C_1,\2_3百

=

當(dāng)a—1RJ,SARC-〃csinB=—x1x3x—=-------,

ABC2224

士〃0H#c_1._1c

3a—，nj，SADC~—acsinDR=-x2x3x—=-------，

ABC2222

所以一ABC的面積為述或述.

24

舉一m

1

練習(xí)11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在—ABC中，A=-K,AB邊上的高為-4B,則ssC=（）

44

A.—B.一更「2不?2^/5

lxa---------JLz.--------------

5555

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的面積公式求得＜:=2回，利用余弦定理求得〃=其，再結(jié)合余弦定理，即可求得cos。的值,

即可求解.

【詳解】解：在ABC中，設(shè)AB邊上的高為心

則SMRC=—bcsinA=—bcx—^=—ch=—cx—c，所以°=2夜/?，

△的222224

由余弦定理得a1=b2+c2-2bccosA=b2+8b2-2bxlj2bx—=5b\即q=非b，

2

片+/―^=（5+1—8）/__且

又由余弦定理得cosC=

2ab2加b15

故選：B.

^272_2

練習(xí)僅（2。22秋?河南焦作?高二統(tǒng)考期末）在ABC中’其三邊分別為。，6,,且三角形的面積

則角C=.

TT

【答案】-/45°

4

【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理計(jì)算出tanC的值，即可求解出C的值.

1/工序_2

【詳解】因?yàn)镾=—〃bsinC=--------------,所以2absinC=a?+〃一。2=2〃bcosC,

24

則tanC=1,

又。￡（0,兀），所以C=：.

故答案為：y.

練習(xí)13.（2023春?河南信陽?高三校聯(lián)考期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”,

后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△A8C,若EF=2,

49八49君

22

【答案】B

【分析】求得44巾，sinZACF,設(shè)出A尸長(zhǎng)度，利用正弦定理可得AC與A尸的等量關(guān)系，再用余弦定理，即可

求得AEAC,再求三角形面積即可.

【詳解】在△ACF中，ZAFC=180°-60°=120°,

13

因?yàn)閏osZACF=—

^AF=CE=t(r>0),則CF=2+t,

tAC

A17A「—■———；—7

由正弦定理可知，即3g追，則AC=zf,

si.nZA工CF―sinZUAFC---------3

142」

在△ACF中，=IAF|2+|CF|2-2|AF||CF|cosZAFC,

=r+(2+/)2_2(2+f)x[—|J,

7

又t>0,則r=3,故AC=§f=7,

所以S^ABC=(x7x7xsin60°=■

故選：B.

練習(xí)