2023版高考數(shù)學一輪總復習10年高考真題分類題組5-2平面向量的數(shù)量積及其應用

5.2平面向量的數(shù)量積及其應用

考點一平面向量的數(shù)量積

1.(2019課標II文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則∣a-b∣=()

A.√2B.2C.5√2D.50

答案A本題主要考查平面向量的坐標運算以及向量模的計算;考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

Ya=⑵3),b=(3,2),...a-b=(-l,1),Λ∣a-b∣=√(-1)2+12=√2,故選?.

一題多解Va=(2,3),b=(3,2),Λ∣a∣2=13,∣b∣2=13,a?b=12,則

Ia-bI-y∕a2-2a?b+?2=√13-2X12+13=V2.故選A.

2.(2017課標∏文,4,5分)設非零向量&13滿足1+13]=1-1)|,則()

A.a±bB.∣a∣=∣b∣

C.a∕∕bD.∣a∣>∣b∣

答案A本題考查向量的有關概念.

由Ia+bI=Ia-b的幾何意義知，以向量a、b為鄰邊的平行四邊形為矩形,所以a±b.故選A.

一題多解將∣a+b∣=∣a-b∣兩邊分別平方得∣a∣'2a?b+∣b∣2=∣a∣2-2a?b+∣b∣2,即a?b=0,故

a?b.故選A.

3.(2016課標HI理,3,5分)已知向量切=(；,?),於俘，；),則NABC=()

A.30oB.45oC.60oD.120°

答案ACoSNABC-沈臉「9,所以NABC=30。,故選A.

4.(2015山東理,4,5分)已知菱形ABCD的邊長為a,NABC=60°,則勵?赤=()

A.--a2B.--a;:C.-a"D.-a2

2442

答案DBD-^CD=(BC+Cb)?CD=BC?^∏-Z^?+a2=∣a2.

5.(2015課標Π文,4,5分)向量a=(l,-l),b=(-l,2),則(2a+b)?a=()

A.-lB.0C.1D.2

答案C因為2a+b=2(l,T)+(T,2)=(2,-2)+(T,2)=(1,0),所以

(2a+b)?a=(l,0)?(1,-1)=1X1+0X(T)=I.故選C.

6.(2015福建文,7,5分)設a=(l,2),b=(l,1),c=a+kb.若b±c,則實數(shù)k的值等于()

5

A.-∣B.LC-3D

23?I

q

答案Ac=a+kb=(l+k,2+k).由b±c,得b?c=0,即l+k+2+k=0,解得k=-^.故選A.

7.(2015廣東文,9,5分)在平面直角坐標系xθy中，已知四邊形ABCD是平行四邊

形,赤(1,-2),屜⑵1),則羽?選()

A.5B.4C.3D.2

答案Λ：四邊形ABCD是平行四邊形，，掂蘇蘇(3,-1),，4?巫2X3+1X(-1)=5.選

A.

8.(2015重慶文,7,5分)已知非零向量a,b滿足∣b∣=41a∣,且aJ_(2a+b),則a與b的夾角為

()

A??3B?2tC?—3uD?—6

答案C因為a,(2a+b),所以a?(2a+b)=0,

得至IJa?b=-2∣a∣2,設a與b的夾角為θ,貝IJCoSθ,，?””：=一,又OWθW"，所以。吝，

Iallbl4∣a,23

故選C.

9.(2014課標∏,理3,文4,5分)設向量a,b滿足∣a+b∣=√TU,∣a-b∣=√瓦則a?b=()

A.1B.2C.3D.5

答案AVia+b∣=√10,Λa?2a?b+b^lθ.φ

又Ia-bI=√6,Λa^-2a?b+b2=6.②

①-②,得4a?b=4,即a?b=l,故選A.

10.(2014大綱全國文,6,5分)已知a、b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)?b=()

A.-lB.0C.1D.2

答案B(2a-b)?b=2a?b-1b∣?×1×1×cos60°-l2=0,i??B.

11.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足41mi=3'n∣,cos<m,n>=∣.若n±(tm+n),則實數(shù)

t的值為()

99

A.4B.-4C.-D.--

44

答案B因為n±(tm+n),所以tm?n+n2=0,所以m?nzz^-γ,又4∣m∣=3∣n∣,所以

cos<m,n>=所以t=-4.故選B.

|加|?㈤3|”43f3

2

12.(2016天津,7,5分)已知aABC是邊長為1的等邊三角形，點D,E分別是邊ΛB,BC的中點,

連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則萬?反的值為()

?-?B?r1?)?l

,8"8J4"8

答案B建立平面直角坐標系,如圖.

貝IJB(-p0),cg,θ),?(θ,y),所以於(1,0).

易知DE=jAC,則EFWAC0，

因為NFEC=60。,所以點F的坐標為弓，-9),所以福G，-W)，

所以萬??(1,0)=i.故選B.

13.(2016課標I,13,5分)設向量a=(m,1),b=(l,2),且|a+b『=|a『+|b『,則m=.

答案-2

解析由|a+b|2=|a『+|b|2,知a_Lb,

Λa?b=m+2=0,/.m=-2.

14.(2020課標I文，14,5分)設向量2=(1,-1)4=(|11+1,2111-4),若￡1，13,則m=.

答案5

解析由a±b得a?b=0,即m+l-(2m-4)=0,解得m=5.

15.(2018北京文,9,5分)設向量a=(1,0),b=(-l,m).若a_L(ma-b),則m=.

答案T

解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算.

2

Va=(IlO),b?(-l,?n),Λa=l,a?b=-l,

由a_L(ma-b)得a?(ma-b)=0,

即ma2-a?b=0,

即m-(-l)=0,Λm=-1.

3

16.（2018江蘇，12,5分）在平面直角坐標系Xoy中，A為直線l:y=2x上在第一象限內的

點,B⑸0）,以AB為直徑的圓C與直線1交于另一點D.若存?/0,則點A的橫坐標

為-

答案3

解析本題考查直線與圓的位置關系.

設A(a,2a),a>0,則C(*,a),

.?.圓C的方程為(片中)+(y-a)2=";)+a*

由,(尸科+(y-a)2=7+猶得d

.?.Λ9?6^(5-a,-2a)?(?,2-a)=^^^15+2a2-4a?0,.?a=3或a=T,又a>0,.?a=3,；.點A的

橫坐標為3.

一題多解由題意易得NBAD=45°.

設直線DB的傾斜角為θ,則tanθ=—,

tanNABO=Tan(θ-45°)=3,

/.kAB=-1anZABO=-3.

?,?AB的方程為y=~3(x~5),

由『二13(六5),得

Iy=2x,

17.（2017天津，理13,文14,5分）在aABC中，NA=60°,AB=3,AC=2.若

旗2比^AE=λAO-AB（λ∈R）,且而?AE=-A,則λ的值為.

答案?

解析本題主要考查平面向量的線性運算以及數(shù)量積.

如圖,由應*=2尻得西瀛翔

所以萬?法Q布+|砌.（入正甌日人初，正:靜+"靜_|初.元

4

又荏?屜3X2XeoS60°=3,4=9,仍=4,

所以詬?^AE=λ-3+∣λ-2=y?-5=-4,解得λ

思路分析根據(jù)臍2成得理/I元利用4?在-4以及向量的數(shù)量積建立關于λ的方程,

從而求得人的值.

一題多解以A為原點,AB所在的直線為X軸建立平面直角坐標系,如圖，因為

ΛB=3,AC=2,NA=60。，所以8(3,0)工(1,禽)，又麗=2瓦；所以口0,9)，所以屏不)，而

正λ石屜λ(l,√3)-(3,0)=(λ-3,√3λ),0j?ΛP.^=≤(λ-3)+^×√3λ≈llλ-5=-4,

解得A=?

18.(2017課標I文,13,5分)已知向量2=(-1,2)浦=5,1).若向量2+1)與2垂直,則

m=.

答案7

解析本題考查向量數(shù)量積的坐標運算.

Va=(-l,2),b=(m,1),.φ.a+b=(m-l,3),又(a+b)±a,

Λ(a+b)?a=-(m-1)+6=0,解得m=7.

19.(2016課標I文，13,5分)設向量a=(x,x+l),b=(l,2),且a±b,則X=.

答案3

解析因為a_Lb,所以x+2(x+l)=0,解得X=

易錯警示混淆兩向量平行與垂直的條件是造成失分的主要原因.

20.(2016山東文，13,5分)己知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若aJ.(ta+b),則實數(shù)t的值

為.

5

答案-5

解析因為a±(ta+b),所以a?(ta+b)=O,即ta2+a?b=0,又因為a=(l,~l),b-(6,-4),所以

IaI=V2,a?b=l×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.

評析本題主要考查向量的數(shù)量積運算，向量的模以及兩向量垂直的充要條件等基礎知識，

考查學生的運算求解能力以及方程思想的應用.

21.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),則a與b夾角的大小為.

答案÷

6

WU??/八a?b1×√3+√3×1√3

解析?cos<a,b>χ.〃-一玄2二

；.a與b夾角的大小為

22.(2015浙江，13,4分)已知e?e?是平面單位向量,且e1?e2?若平面向量b滿足

b?e1=b?e2=l,則Ibl=.

答案∣√3

解析令eι與e2的夾角為θ,Λe??e2=∣e∣∣?∣e2∣cosθ=CoSO=I,又

0°W0≤180°0=60°.因為b?(e「eJ=0,所以b與5、e?的夾角均為30°,從而

∣b∣-'-^√3.

cos303

23.(2014重慶文，12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),b∣=√10,則

a?b=.

答案10

解析由a=(-2,-6),得Ial=√(-2)2+(-6)2=2√Tθ,

Λa?b=∣a∣∣b∣cos<a,b>=2-∕10×VTθ×cos600=10.

24.(2014課標I理，15,5分)已知A,B,C為圓0上的三點，若呵(萬+7》，則則死的夾角

為.

答案90°

解析由亞(辦茶可知。為BC的中點，即BC為圓0的直徑，又因為直徑所對的圓周角為

直角，所以NBAC=90°,所以羽與冠的夾角為90°.

25.(2014湖北文，12,5分)若向量而=(1,-3),I麗=|麗，擊?礪=0,貝上存I=.

6

答案2事)

解析I在I=I辦而I=√而2+旗-2岳?應,

V?'?A?^?'OB?=√12+(-3)2=√Tδ,M?^OB=Q,

：.∣^∣≈√20=2√5,故答案為2%.

26.(2014湖北理，11,5分)設向量a=⑶3),b=(l,-1).若(a+λb)±(a-λb),貝IJ實數(shù)

λ=.

答案土3

解析Ia∣=3√2,IbI=√2,a?b=3×l+3×(T)=0.因為(a+入b)_L(a-λb),所以

(a+λb)?(a-入b)=Ia∣J入IbI2=18-2λ?:O.故人=±3.

27.(2013課標∏,理13,文14,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點，則

AE-BD=.

答案2

解析解法一:AE.βb=(AD+；屈.(松般=協(xié)S花=2胃義2邑2.

解法二：以A為原點建立平面直角坐標系(如圖)，可得

A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),正(1,2),旗(-2,2),則荏?旗IX(-2)+2X2=2.

28.(2013課標I,理13,文3,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60。，c=ta+(l-t)b.若

b?c=0,則t=.

答案2

解析解法一：：b?c=0,

Λb?[ta+(l-t)b]=0,ta?b+(l-t)?b2=0,

又Y∣a∣=Ibl=I,<a,b>=60。，

Λ^t+l-t=O,t=2.

解法二：由t+(l-t)=l知向量a、b、C的終點A、B、C共線,在平面直角坐標系中設

a=(l,0),b=Q,與,

7

則與書?

把a、b、C的坐標代入c=ta+(l-t)b,得t=2.

B

評析本題考查了向量的運算,利用三點共線的條件得到c的坐標是解題關鍵.

29.(2012課標，理13,文13,5分)已知向量@?夾角為45°,且|2|=1,。-13|=可,則

IbI=.

答案3√2

解析∣2a-b∣=√M兩邊平方得

41a12-4jaI?∣b∣cos45o+∣b∣2=10.

V∣a∣=l,Λb2-2√2∣b∣-6=0.

.?.∣b∣=32或∣b∣=-近(舍去).

評析本題考查了向量的基本運算,考查了方程的思想.通過“平方”把向量轉化為向量的

數(shù)量積是求解的關鍵.

30.(2012安徽文，11,5分)設向量a=(l,2m),b=(m+l,l),c=(2,πι),若(a+c)Lb,則

IaI=.

答案√2

解析a+c=(3,3m),

V(a+c)±b,

(a+c)?b=0,

/.3m+3+3m=0,

?1

??m,

.??a=(l,-l),

22

IaI=Λ∕1+(-1)=√2.

評析本題主要考查向量的基本運算,考查了向量垂直的充要條件.

31.(2011課標,文13,5分)已知a與b為兩個不共線的單位向量,k為實數(shù),若向量a+b與向

量ka-b垂直，則k=.

答案1

8

解析由題意知Ial=I,∣b∣=l,<a,b>≠0且<a,b>≠n.

由a+b與向量ka-b垂直，得（a+b）?（ka^b）=0,

即k；a『+（k-l）IaI∣b∣?cos<a,b>-Ib12=0,

（k-l）（l+cos<a,b>）=0.又l+cos<a,b>≠0,

Λk-l=0,k=l.

評析本題考查向量的模、向量的數(shù)量積等相關知識,考查學生的運算求解能力,屬中等難度

試題.

考點二平面向量數(shù)量積的應用

L（2018天津文,8,5分）在如圖的平面圖形中，已知0M=l,0N=2,NMON=120°,臍2秘,魂=2麗

則反'?初的值為（）

A.-15B.-9C.-6D.0

答案C本題考查向量的運算.

解法一:連接0A.：惑於法3屈Y掂3（旃而）-3（?fl4）=30k麗），

.?^BC??3（0?-β?）?旗3（下亦I礪2）=3X（2XlXCoSl20。-「）=3X（-2）=-6.故選C.

解法二:在aABC中，不妨設∕A=90°,取特殊情況ONlAC,以A為坐標原點,AB,AC所在直線

分別為X軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

因為NMoN=I20°,0N=2,OM=I,

所以0（2,苧）,C（θ,苧）,卜哈,0）,B管,0）,

故9?∕?（-j,竽），&T）=4?-6.故選C.

2.（2016四川文,9,5分）已知正三角形ABC的邊長為2√5,平面ABC內的動點P,M滿足

油=1,那比則!加T的最大值是（）

.43d49C37+6√3n37+2√33

A.-D.-C.—■—U.------------

答案B以A為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,

9

貝IJA(0,0),C(2g,0),B(√3,3).

設P(χ,y),V?^AP?-l,

?.?7??

.?.M為PC的中點,

L29

Λ∣?2=(^-√3)÷g-3)

A2V2

=τ÷τ-3y÷θ

3y+93Q73y,

XV-l≤y≤l,

.?.當y=T時，麗2取得最大值,且最大值為拳

思路分析由aABC為正三角形，考慮到用建立平面直角坐標系的方法來解決向量

問題.

評析本題考查了向量的坐標運算,運用了轉化與化歸思想.

3.（2015福建理,9,5分）已知初，死語耳，I花=t.若點P是aABC所在平面內的一點,且

萬Y7+掾,則屈?瓦的最大值等于（）

Ab??AC?

A.13B.15C.19D.21

答案A以A為原點,AB所在直線為X軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則

B0,0）（t>O）,C（O,t）,P（l,4）,力?於C-I,-4）?（-1,t-4）=17-（4f+^）≤17-2×2=13

（當且僅當^=；時,取"="）,故知?瓦的最大值為13,故選A.

4.（2016四川，10,5分）在平面內，定點A,B,C,D滿足

?^DA?=[DB?=[DC?,DA?^D^DB?^DC^DC?DA=~2,動點P,M滿足INl=1,?<則∣?2的最大值

是（）

.43d49r37+6√3n37+2√33

A.-D.-C.---------1).----------

4444

答案B由I而H屈I=I灰1及而?旗加?於加?忌=DB_LCA,DC_LAB,DA_LCB,且

/ADC=/ADB=NBDC=I20°,.?.Z?ABC為正三角形，設I而∣=a,則

a2cos120o=-2=>a=2=>AC=2√3=>0C=3,如圖建立平面直角坐標系xθy,

則A(-√3,0),B(√3,0),C(0,3).由9&P,M,C三點共線且M為PC的中點，設P(x,y),由

∣AP∣=l=>(x+√3)2+y2=l,

令卜+禽=：osθ,則卜=CoS，魚即p(cosθ,√3jsinθ)j

Iy=sin〃，Iy=sin”,

Vcos<9-V33+sin夕、

\~2~

I前j[(cosθ-3√3)2+(3+sinθ)1

4

?37-(6√3cosθ-6sinθ)]

T37T2cos(0+S]≤∕(37+⑵哼

二麗的最大值嶗

5.(2019浙江，17,6分)已知正方形ABCD的邊長為1.當每個λi(i=l,2,3,4,5,6)取遍士1

時，IλI施λ2於λ39λ屈+λJC+λ屈)\的最小值是最大值是.

答案0;2遙

解析本題考查平面向量的坐標表示及坐標運算,在向量的坐標運算中涉及多個未知數(shù)據(jù)以

此來考查學生的數(shù)據(jù)處理能力,數(shù)學運算及數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

如圖,建立平面直角坐標系,則A(0,O),B(1,O),C(1,1),D(O,1),

辦(1,0),惑(0,1),Z‰(-1,O),而=(0,-1),啟(1,1),旗(-1,1),

故IA施入2於'加A7+入油AjBD?

11

=∣(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)I

22

=Λ∕(Λ1-Λ3+A5-A6)+(Λ2-Λ4+Λ5+Λ6).(*)

顯然(*)式中第一個括號中的3,L與第二個括號中的入2,L的取值互不影響，..?只需討論

λ$與λ6的取值情況即可，

當λ$與L同號時，不妨取λ5=ι,λ6=ι,

則(*)式即為J(AI-A3)2+(4一(+2)2,

Vλ?3,λ3,λ,∈{τ,1},.?.λ產K,λ2-λ=-2(λ2=-l