第54講 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差（精講）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第54講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差（精講）題型目錄一覽①離散型隨機(jī)變量②離散型隨機(jī)變量的分布列③離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)④離散型隨機(jī)變量的分布列的均值⑤離散型隨機(jī)變量的分布列的方差一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、離散型隨機(jī)變量的分布列1.隨機(jī)變量的定義在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．注：①有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．②隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．2.離散型隨機(jī)變量的定義對(duì)于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．注：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．3.離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱為的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也用等式，表示的分布列．4.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．注：①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機(jī)變量所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．二、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．2.均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3.方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．4.方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一離散型隨機(jī)變量的概念策略方法離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．【典例1】（單選題）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為，是常量，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等出租車的事件是隨機(jī)變量，但無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)是有限個(gè)或可列舉的無限多個(gè)，是離散型隨機(jī)變量，C正確；對(duì)于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量，D錯(cuò)誤.故選：C.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．在下列表述中不是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量；

②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某籃球下降過程中離地面的距離；

④某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X．A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概念即可一一判斷，得出答案.【詳解】①②④中的隨機(jī)變量可能取的值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機(jī)變量；③中的可以取一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量.故選：C2．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列舉出的所有可能的情況，即得.【詳解】因?yàn)榧住⒁覂扇讼孪笃?，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．3．①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X；②某通信公司官方客服一天內(nèi)接聽電話的總次數(shù)為X；③一天之內(nèi)的溫度為X；④一射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射擊中的得分.上述問題中的X是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義：可列舉性判斷各項(xiàng)描述是否為離散隨機(jī)變量即可.【詳解】①大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是可一一列舉，②客服一天內(nèi)接聽電話的總次數(shù)是可一一列舉，③一天之內(nèi)的溫度是連續(xù)型變量，④一次射擊中的得分是可一一列舉，由離散隨機(jī)變量的定義知：①②④.故選：B4．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列舉出ξ=3的所有可能的情況，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】解：甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．5．下面是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．電燈泡的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)C．測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置【答案】B【分析】變量的取值是隨機(jī)出現(xiàn)且可一一列舉出來的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，電燈泡的使用壽命是變量，但無法將其取值一一列舉出來，故A不符題意；對(duì)于B，小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)是變量，且其取值為，故X為離散型隨機(jī)變量，故B符合題意；對(duì)于C，測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機(jī)變量，故C不符題意；對(duì)于D，一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置是變量，但無法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機(jī)變量，故D不符題意.故選：B.題型二離散型隨機(jī)變量的分布列策略方法離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟【典例1】（單選題）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，令表示前k個(gè)球?yàn)榘浊颍趥€(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)，再進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】令表示前k個(gè)球?yàn)榘浊颍趥€(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)，則．故選：A．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為，則的分布列為（

）A．X12PB．X01PC．

X012P

D．

X012P

【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列，即可寫出答案.【詳解】因?yàn)槊棵恩蛔优紨?shù)點(diǎn)朝上的概率為，且相互獨(dú)立，的取值可能為0，1，2.，，，所以的分布列為：XP故選：C.2．一袋中裝5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別計(jì)算ξ為1，2，3時(shí)的概率即可得到答案.【詳解】隨機(jī)變量ξ的可能值為1，2，3，，，.故選：C3．甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.56【答案】D【分析】列出X的可能取值，求出每個(gè)X對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列.【詳解】易知X的可能取值為0，1，2，，，，故X的分布列為X012P0.060.380.56故選：D.二、多選題4．已知隨機(jī)變量的分布列為：若，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出的分布列，對(duì)各選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】由隨機(jī)變量的分布列可知，隨機(jī)變量的可能取值為，，，，的分布列為：，，，，用表格表示為∴對(duì)于A，時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，時(shí)，，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.5．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10【答案】ABC【分析】根據(jù)隨機(jī)變量ξ的分布列，求出隨機(jī)變量的分布列，再找出滿足的即可.【詳解】由隨機(jī)變量的分布列，知：的可能取值為，且，，，，則，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ABC.6．圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X，則（

）A．乙連勝三場(chǎng)的概率是B．C．D．的最大值是【答案】BD【分析】根據(jù)題意列出決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X的概率分布列，然后對(duì)照選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可判斷.【詳解】乙連勝三場(chǎng)時(shí)比賽局?jǐn)?shù)可能是3,4,5，若比賽局?jǐn)?shù)為3時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為4時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為5時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由題意可知，決賽中的比賽局?jǐn)?shù)的可能取值為，則；；故選項(xiàng)B正確；;故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，所以的最大值是，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.三、填空題7．?dāng)?shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱有一個(gè)“巧合”，求“巧合”個(gè)數(shù)的分布列．【答案】0124P【分析】的可能取值是0、1、2、4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列．【詳解】的可能取值是0、1、2、4，，，，.的分布列為：0124P故答案為：0124P8．從裝有除顏色外其余均相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，隨機(jī)變量的概率分布列如下:012則的值分別為、、.【答案】【分析】利用古典概型的概率公式與組合的定義即可得解.【詳解】依題意，得，，，所以，，.故答案為：；；.9．設(shè)隨機(jī)變量的分布為，則．【答案】【分析】利用題意得到的分布，然后利用概率之和為1得到，即可求出答案【詳解】解：由題意知，的分布為，所以，解得，所以，故答案為：．10．某社區(qū)為了豐富群眾的業(yè)余活動(dòng)，倡導(dǎo)群眾參加踢毽子、廣場(chǎng)舞、投籃、射門等體育活動(dòng)．在一次“定點(diǎn)投球”的游戲中，游戲共進(jìn)行兩輪，每小組兩位選手，在每輪活動(dòng)中，兩人各投一次，如果兩人都投中，則小組得3分；如果只有一個(gè)人投中，則小組得1分；如果兩人都沒投中，則小組得0分．甲、乙兩人組成一組，甲每輪投中的概率為，乙每輪投中的概率為，且甲、乙兩人每輪是否投中互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響，則該小組在本次活動(dòng)中得分之和不低于3分的概率為．【答案】【分析】首先寫出可能取值，再寫出分布列，最后得到不低于3分的概率.【詳解】根據(jù)題意,設(shè)該小組在本次活動(dòng)中得分之和為,則可取的值為0、1、2、3、4、6,在一輪活動(dòng)中,該小組得3分的概率該小組得1分的概率，該小組得0分的概率，則有,，，則，即該小組在本次活動(dòng)中得分之和不低于3分的概率為，故答案為：.四、解答題11．將個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號(hào).現(xiàn)從中任取個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼.(1)求的分布列；(2)求的概率.【答案】(1)分布列見解析(2)【分析】（1）由已知判斷隨機(jī)變量的所有取值，并分別判斷其概率，可得分布列；（2）由（1）的分布列可得概率.【詳解】（1）由已知可得隨機(jī)變量的可能取值有：，，，，所以，，，，所以分布列為（2）由（1）得.12．2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行?也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的界杯足球賽，體育生更是熱愛觀看世界杯，某體育學(xué)院統(tǒng)計(jì)了該校足球系10個(gè)班級(jí)的學(xué)生喜歡觀看世界杯的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表所示：班級(jí)12345喜歡觀看世界杯的人數(shù)3935383836班級(jí)678910喜歡觀看世界杯的人數(shù)3940374038(1)該校計(jì)劃從這10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取3個(gè)班級(jí)的學(xué)生，就世界杯各國(guó)水平發(fā)揮進(jìn)行交談，求這3個(gè)班級(jí)喜歡觀看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；(2)從10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)選取一個(gè)班級(jí)，記這個(gè)班級(jí)喜歡觀看世界杯的人數(shù)為X，用上表中的頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】(1)“不全相同”是指可以部分相同，三個(gè)班完全相同只有一種情況，就是抽取的三個(gè)班恰好是3,4,10班；(2)根據(jù)表格計(jì)算出人數(shù)為35,36,37,38,39,40人的頻率，再按照數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】（1）從10個(gè)班任取3個(gè)班有種選法，人數(shù)完全相同只有1種選法，就是恰好抽取3,4,10班，3個(gè)班級(jí)喜歡看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；（2）根據(jù)表格知：任取1個(gè)班人數(shù)為35,36,37,38,39,40的概率為0.1，0.1，0.1，0.3，0.2，0.2，分布列如下表：人數(shù)353637383940概率0.10.10.10.30.20.2數(shù)學(xué)期望(人)；綜上，（1）3個(gè)班級(jí)喜歡看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；（2）數(shù)學(xué)期望為38.13．作為北京副中心，通州區(qū)的建設(shè)不僅成為京津冀協(xié)同發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，也肩負(fù)著醫(yī)治北京市“大城市病”的歷史重任，因此，通州區(qū)的發(fā)展備受矚目．2017年12月25日發(fā)布的《北京市通州區(qū)統(tǒng)計(jì)年鑒（2017）》顯示：2016年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資939.9億元，比上年增長(zhǎng)，下面給出的是通州區(qū)2011~2016年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資及增長(zhǎng)率，如圖一．又根據(jù)通州區(qū)統(tǒng)計(jì)局2018年1月25日發(fā)布：2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長(zhǎng)．(1)在圖二中畫出2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資（柱狀圖），標(biāo)出增長(zhǎng)率并補(bǔ)全折線圖；(2)通過計(jì)算2011~2017這7年的平均增長(zhǎng)率約為，現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機(jī)選取2個(gè)年份，記X為“選取的2個(gè)年份中，增長(zhǎng)率高于的年份的個(gè)數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)設(shè)2011~2017這7年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額的中位數(shù)為，平均數(shù)為，比較和與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)“2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長(zhǎng)”補(bǔ)全折線圖（2）根據(jù)題意寫出的取值并計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列即可（3）根據(jù)題意分別計(jì)算，直接寫出答案即可【詳解】（1）（2）依題意，的可能取值為；；的分布列為：的數(shù)學(xué)期望（3）14．（1）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的抽取出兩個(gè)數(shù)字，記兩個(gè)數(shù)字的和為X．（i）求X的分布列；（ii）求X的數(shù)學(xué)期望．（2）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的抽取出三個(gè)數(shù)字，記三個(gè)數(shù)字的和為Y．寫出Y的數(shù)學(xué)期望（只需寫出結(jié)果即可，不需寫出推證過程）．【答案】（1）（i）分布列見解析；（ii）；（2）【分析】（1）（i）直接利用古典概型求概率，列出分布列即可.（ii）利用分布列直接求解期望即可.（2）列出分布列，直接求解期望即可.【詳解】（1）（i）X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，，其可能的取值為1，2，3，4，5，…，13，14，15，16，17．用表格表示X的分布列，如下圖所示：X1234567891011121314151617P（ii）．（2）的可能取值為，，則，，，，，，，，.．題型三離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)策略方法分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率．【典例1】（單選題）若隨機(jī)變量的分布列為且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望公式得出答案.【詳解】根據(jù)所給的分布列，可得，由，可得，解得.故選:A.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（

）X3459PA． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，解得.故選：C.2．若隨機(jī)變量的分布列為X0123P0.10.20.10.30.10.2則當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】可由分布列的性質(zhì)直接求解.【詳解】由隨機(jī)變量的分布列知:，則當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.3．隨機(jī)變量ξ的分布列如下：其中，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列中各概率之和為可求.【詳解】，且，解得，.故選：D.4．若隨機(jī)變量的分布列為且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望公式得出答案.【詳解】根據(jù)所給的分布列，可得，由，可得，解得.故選:A.5．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分布列中所有概率和為1求解．【詳解】由題意，．故選：A．6．某銀行有一自動(dòng)取款機(jī)，在某時(shí)刻恰有個(gè)人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為，根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到，則在該時(shí)刻沒有人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由概率和為可求解，即為所求.【詳解】由題意知，，則，解得，即該時(shí)刻沒有人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為.故選：B.二、多選題7．已知隨機(jī)變量X的概率分布如下表（其中a為常數(shù)）：X01234P0.10.20.40.2a則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)＝0.1 B．P（X≤2）＝0.7C．P（X≥3）＝0.4 D．P（X≤1）＝0.3【答案】ABD【分析】由概率之和為1可判斷A，根據(jù)分布列計(jì)算概率，可判斷BCD.【詳解】因?yàn)椋獾?，故A正確；由分布列知，故B正確，C錯(cuò)誤.，故D正確，故選：ABD8．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為12460.20.1則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，以及概率的定義與互斥事件概率的加法公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，若，可得，則，故B正確；對(duì)于C中，由概率的定義知，所以C不正確；對(duì)于D中，由，，則，所以D正確．故選：ABD.9．一個(gè)盒子里放著大小、形狀完全相同的1個(gè)黑球、2個(gè)白球、2個(gè)紅球，現(xiàn)不放回地隨機(jī)從盒子中摸球，每次取一個(gè)，直到取到黑球?yàn)橹?，記摸到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】A選項(xiàng)，分析出所包含的情況，從而得到，BC選項(xiàng)，分析出所包含的情況，求出，D選項(xiàng)，利用的所有可能有，利用對(duì)立事件的概率公式求出.【詳解】A選項(xiàng)，，分為第一次即取到黑球，或第一次摸到紅球，第二次摸到黑球，或前兩次均摸到紅球，第三次摸到黑球，故，A錯(cuò)誤；BC選項(xiàng)，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，或前兩次一次摸到紅球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，或前三次有兩次摸到紅球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，故，B錯(cuò)誤，C正確；D選項(xiàng)，的所有可能有，故，D正確.故選：CD三、填空題10．已知隨機(jī)變量X的分布列為X012P0.1且，則．【答案】【分析】先由條件分別計(jì)算出，從而可的結(jié)果．【詳解】由題可得，解得所以.故答案為：.11．離散型隨機(jī)變量X的概率分布中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y代替，其概率分布如下：X123456P0.200.10x0.10y0.20則等于.【答案】【分析】由隨機(jī)變量的所有取值的概率和為1利用對(duì)立事件來求的概率.【詳解】由概率分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量的所有取值的概率和為1，則.故答案為:.12．隨機(jī)變量X的分布列如下，其中a，b，c成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是.X01Pabc【答案】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)可得，可知，結(jié)合分布列的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，則，又因?yàn)?，解得，則，由題意可得，解得，所以公差d的取值范圍是.故答案為：.13．離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則.【答案】【分析】利用概率和為可構(gòu)造方程求得的值，由可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，.故答案為：.題型四離散型隨機(jī)變量的分布列的均值策略方法求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值的定義求E(X)．【典例1】（單選題）一袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，用表示取出球的最大編號(hào)，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】由題意隨機(jī)變量X所有可能取值為2，3，4，然后求出各自對(duì)應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再計(jì)算期望即可.【詳解】由題意隨機(jī)變量X所有可能取值為2，3，4.且，，.因此X的分布列為：X234P則，故選：C.【典例2】（單選題）已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題意，先計(jì)算出，再表示，建立等式，解出即可.【詳解】結(jié)合題意：，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知隨機(jī)變量的分布列為：1230.20.5則的均值是（

）A．2 B．2.1C．2.3 D．隨的變化而變化【答案】B【分析】先求得，然后根據(jù)均值的求法求得正確答案.【詳解】由得，∴.故選：B2．隨機(jī)變量的概率分布為1240.40.30.3則等于（

）A．11 B．15 C．35 D．39【答案】B【分析】先根據(jù)分布列求出，再根據(jù)期望的性質(zhì)可求得答案【詳解】由題意得，所以,故選：B3．現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，8張2元的、2張5元的，某人從中隨機(jī)抽取3張，則此人得獎(jiǎng)金額的均值是（

）A．6 B．7.8C．9 D．12【答案】B【分析】按步驟求出分布列，再利用均值公式即可得到答案.【詳解】設(shè)此人的得獎(jiǎng)金額為，則的所有可能取值為12，9，6．，，.故分布列為1296故．故選：B．4．為了備戰(zhàn)2023斯諾克世錦賽，丁俊暉與趙心童兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)丁俊暉在每局中獲勝的概率為，趙心童在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意得到的可能取值，再求出對(duì)應(yīng)的概率，從而求解期望即可.【詳解】由題意得，隨機(jī)變量的可能取值是2，4，6，設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪比賽停止的概率為，若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時(shí)該輪比賽結(jié)果對(duì)下一輪比賽是否停止沒有影響，所以，，，所以期望為．故選：B．5．某品牌飲料正在進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，一盒5瓶裝的飲料中有2瓶有獎(jiǎng)，消費(fèi)者從中隨機(jī)取出2瓶，記X為其中有獎(jiǎng)的瓶數(shù)，則為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出X的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，再利用期望的定義及性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】依題意，X的可能值為，則，因此，所以.故選：B6．元宵節(jié)廟會(huì)上有一種摸球游戲：布袋中有15個(gè)大小和形狀均相同的小球，其中白球10個(gè)，紅球5個(gè)，每次摸出2個(gè)球．若摸出的紅球個(gè)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知的可能取值為0，1，2，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】的可能取值為0，1，2，則，，，所以，故．故選：A．7．某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng)，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜錯(cuò)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X的均值（

）A．0.9 B．0.8C．1.2 D．1.1【答案】A【分析】按步驟寫出分布列，再利用均值公式即可.【詳解】依題意得，的可能取值為0，1，2，，，．可得X的分布列如表所示：0120.30.50.2.故選：A．二、多選題8．已知X的分布列為X012Pa則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由分布列的性質(zhì)，可相應(yīng)的概率和均值.【詳解】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，即，∴，故A正確；，故B正確；，故C不正確；，故D正確.故選：ABD9．隨機(jī)變量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先利用均值的性質(zhì)根據(jù)求出，再根據(jù)分布列求出隨機(jī)變量的均值和的值，聯(lián)立即可求解.【詳解】根據(jù)分布列可知①，因?yàn)?，所以，解得，又由分布列可得，整理得②，①②?lián)立解得，，故選：BCD10．一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量為取出黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由條件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4個(gè)球，所以，可判斷B選項(xiàng)；的取值為，計(jì)算的概率和期望值，又，可計(jì)算，可判斷AC選項(xiàng)；的取值為，且，計(jì)算可判斷D選項(xiàng).【詳解】由條件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4個(gè)球，所以，故B正確；又的可能取值為，所以，，，，，可知A錯(cuò)；的取值為，且，，，，，則，，所以，故C錯(cuò)；的取值為，且，，，，，所以，故D正確；故選：AC.三、填空題11．已知離散型隨機(jī)變量的概率分布如下表，則其數(shù)學(xué)期望；P【答案】【分析】利用分布列的性質(zhì)求出的值，再利用期望公式可求得的值.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，解得，因此，.故答案為：.12．某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的概率分布為1234商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為100元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為150元；分4期付款，其利潤(rùn)為200元．若表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)，則元．【答案】130【分析】由題意可知可以取100,150,200，然后根據(jù)的概率分布列可列出的概率分布列，從而可求出【詳解】由題意可知可以取100,150,200，利潤(rùn)的概率分布為100150200所以（元），故答案為：13013．小青準(zhǔn)備用萬元投資A，B兩種股票，已知兩種股票收益相互獨(dú)立，且這兩種股票的買入都是每股1萬元，每股收益的分布列如下表所示，若投資A種股票萬元，則小青兩種股票的收益期望和為萬元.股票A的每股收益分布列收益/萬元概率股票B的每股收益分布列收益/萬元概率【答案】【分析】先計(jì)算兩種股票每股收益的期望，再計(jì)算投資后的兩種股票收益期望綜合即可.【詳解】由題中兩種股票每股收益的分布列可知：，，所以兩種股票的收益期望和為.故答案為：10.8四、解答題14．某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)選手甲答對(duì)第1題的概率為，甲答對(duì)題序?yàn)榈念}目的概率，，各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，求甲答對(duì)第4題的概率；(2)求甲停止答題時(shí)答對(duì)題目數(shù)量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）根據(jù)題意，得到，進(jìn)而求得甲答對(duì)第4題的概率；（2）根據(jù)題意，得到可取，取得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)檫x手甲答對(duì)第1題的概率為，所以，即，所以若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，則甲答對(duì)第4題的概率為．（2）解：由題意得，，，．隨機(jī)變量可取，則，，，，．所以隨機(jī)變量分布列如下：X01234P所以．15．2022年北京承辦了第二十四屆冬季奧運(yùn)會(huì)，本屆冬奧會(huì)共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)（滑雪、滑冰、冰球、冰壺、雪車、雪橇、冬季兩項(xiàng)），15個(gè)分項(xiàng)（高山滑雪、自由式滑雪、單板滑雪、跳臺(tái)滑雪、越野滑雪、北歐兩項(xiàng)、短道速滑、速度滑冰、花樣滑冰、冰球、冰壺、雪車、鋼架雪車、雪橇、冬季兩項(xiàng)），共計(jì)109個(gè)小項(xiàng)．某校為了調(diào)查學(xué)生喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與性別的關(guān)系，在高三年級(jí)選取了200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表（單位：人）．性別是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)合計(jì)喜歡不喜歡男ac女bd合計(jì)已知從這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人不喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的概率為0.2，表格中，．(1)完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；(2)從上述喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)闹谐槿?人調(diào)查其喜歡的項(xiàng)目，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，沒有90%的把握認(rèn)為是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）從這個(gè)人不喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的概率為0.2，求出200人中不喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的總?cè)藬?shù)，完善表格，再求出的觀測(cè)值并作出判斷.（2）按照分層抽樣的原理算出8人中男生和女生的人數(shù)，確定X的可能取值，計(jì)算概率得分布列，再計(jì)算期望即可.【詳解】（1）依題意，從200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人不喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的概率為0.2，因此不喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的有人，喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的有人人，即，，，．補(bǔ)全列聯(lián)表如下．性別是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)合計(jì)喜歡不喜歡男10020120女602080合計(jì)16040200提出零假：是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，所以沒有90%的把握認(rèn)為是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．（2）按分層抽樣，設(shè)抽取女生x名，男生y名，由，解得，，即抽取的8人中女生有3人，男生有5人，顯然的可能值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列如下：X0123P．16．某梯級(jí)共20級(jí)，某人上梯級(jí)（從0級(jí)梯級(jí)開始向上走）每步可跨一級(jí)或兩級(jí)，每步上一級(jí)的概率為，上兩級(jí)的概率為，設(shè)他上到第n級(jí)的概率為．(1)求他上到第10級(jí)的概率（結(jié)果用指數(shù)形式表示）；(2)若他上到第5級(jí)時(shí)，求他所用的步數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）求出，且（），從而變形后得到通項(xiàng)公式，求出答案；（2）先在（1）的基礎(chǔ)上求出此人上到第5級(jí)的概率，再求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由條件知，，且（）．所以，設(shè)，故，令，解得，所以，又，∴，∴．∴．（2）由（1）知此人上到第5級(jí)的概率為，X的可能取值為3，4，5，其中時(shí)，此人1次選擇跨一級(jí)，2次選擇跨兩級(jí)，由條件概率可得，，時(shí)，此人1次選擇跨兩級(jí)，3次選擇跨一級(jí)，由條件概率可得，，時(shí)，此人5次選擇跨一級(jí)，由條件概率可得，，所以X的分布列為X345P所以．17．科普知識(shí)是一種用通俗易懂的語言，來解釋種種科學(xué)現(xiàn)象和理論的知識(shí)文字，以普及科學(xué)知識(shí)為目的.科普知識(shí)涵蓋了科學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)方面，無論是物理?化學(xué)?生物各個(gè)學(xué)科，還是日常生活無不涉及到科普知識(shí).由于其范圍的廣泛性，奠定了科普知識(shí)的重要意義和影響.某校為了普及科普知識(shí)，在全校組織了一次科普知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)過初賽?復(fù)賽，甲?乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽.決賽規(guī)則為每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得5分，答錯(cuò)或不答者得0分.假設(shè)甲隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，乙隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.(1)設(shè)隨機(jī)變量表示甲隊(duì)的總得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)已知描述的所有可能取值為，求出各情況概率，即可得到其分布列，再根據(jù)分布列計(jì)算得出其數(shù)學(xué)期望；（2）甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的情況為甲隊(duì)得0分，乙隊(duì)得15分或甲隊(duì)得5分，乙隊(duì)得10分，計(jì)算得出兩種情況概率，由互斥事件概率的計(jì)算得出兩概率之和即是答案.【詳解】（1）的所有可能取值為，所以，，，，的分布列為：051015所以.（2）甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的情況為甲隊(duì)得0分，乙隊(duì)得15分或甲隊(duì)得5分，乙隊(duì)得10分，記“甲隊(duì)得0分，乙隊(duì)得15分”為事件，“甲隊(duì)得5分，乙隊(duì)得10分”為事件，，，所以，即甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的概率為.18．設(shè)有甲?乙?丙三個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外都相同的5個(gè)球，其中甲箱有3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)黑球，乙箱有4個(gè)紅球和1個(gè)白球，丙箱有2個(gè)紅球和3個(gè)白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個(gè)球，若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色相同，則從乙箱中摸出1個(gè)球放入丙箱，再?gòu)谋渲幸淮蚊?個(gè)球；若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色不同，則從丙箱中摸出1個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲幸淮蚊?個(gè)球.(1)若最后摸出的2個(gè)球顏色不同，求這2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記1分，用隨機(jī)變量表示最后摸出的2個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）求出甲箱中摸出2個(gè)球顏色相同的概率，繼而求得最后摸出的2個(gè)球顏色不同的概率，再求出最后摸出的2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可得答案.（2）確定X的所有可能取值，求出每個(gè)值相應(yīng)的概率，即可得分布列，根據(jù)期望公式即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）從甲箱中摸出2個(gè)球顏色相同的概率為，記事件A為最后摸出的2個(gè)球顏色不同，事件B為這2個(gè)球是從丙箱中摸出的，則，，，所以；（2）X的所有可能取值為2，3，4，則，，，故X的分布列如表：X234P故.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的難點(diǎn)在于求分布列時(shí)，計(jì)算每個(gè)值相應(yīng)的概率，要弄清楚每個(gè)值對(duì)應(yīng)的情況，分類求解，注意計(jì)算量較大，要十分細(xì)心.題型五離散型隨機(jī)變量的分布列的方差策略方法求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由方差的定義求D(X)．【典例1】（單選題）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則（

）XPA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由離散型隨機(jī)變量取值的概率和為，解出值，再由方差公式可得.【詳解】由解得，則，.故選：A.【典例2】（單選題）已知的分布列如下表所示，設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算出的值，結(jié)合方差的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由分布列可得，所以，，又因?yàn)?，則.故選：A.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示.則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的方差公式可得.【詳解】由分布列可得，，故選：D2．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若，則（

）X01PabA． B． C． D．【答案】B【分析】利用期望公式與分布列的性質(zhì)得到的方程組，從而求得，再利用方差公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋腋鞲怕手蜑?，所以，解得，所?故選：B.3．隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得，利用公式求得，，結(jié)合期望和方差的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得，所以A正確；又由，，所以B錯(cuò)誤；由，所以C錯(cuò)誤；由，所以D錯(cuò)誤.故選：A.4．已知的分布列如下表所示，設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算出的值，結(jié)合方差的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由分布列可得，所以，，又因?yàn)?，則.故選：A.5．某離散型隨機(jī)變量的分布列如下，若，，則（

）012A． B． C． D．【答案】D【分析】可由斜率之和為1，，，構(gòu)建的等式求出，再用方差公式求方差即可.【詳解】分布列的概率之和為1，，即①．，②．，，依次代入②?①，解得，則．故選：D．6．已知樣本數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為16，方差為9，則另一組數(shù)據(jù)，，，，，，12的方差為（

）．A． B． C． D．7【答案】C【分析】由均值、方差性質(zhì)求數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)、方差，應(yīng)用平均數(shù)、方差公式求新數(shù)據(jù)方差.【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，方差為，由，，得，，則，，，，，，12的平均數(shù)為，方差為．故選：C7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出隨機(jī)變量的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再根據(jù)期望與方差公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，可取，，，則，.故選：D.8．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．增大B．減小C．先減小后增大D．先增大后減小【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，結(jié)合方差的公式、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，故選：A二、多選題9．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布可得期望與方差，再結(jié)合期望、方差的性質(zhì)運(yùn)維求解.【詳解】由題意可知：，隨機(jī)變量X的分布列為X01P由兩點(diǎn)分布可知：，故A正確，D錯(cuò)誤；所以，，故B正確，C錯(cuò)誤；故選：AB.10．設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：X12345Pm0.10.2n0.3若離散型隨機(jī)變量，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】AB選，根據(jù)概率之和為1及求出；CD選項(xiàng)，根據(jù)，計(jì)算出，進(jìn)而根據(jù)公式計(jì)算出，.【詳解】AB選項(xiàng)，有題意得，且，解得，A錯(cuò)誤，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，C正確；D選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，D錯(cuò)誤.故選：BC11．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)成功率是失敗率的2倍，若用隨變量描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，，分別為隨機(jī)變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出試驗(yàn)成功的概率，然后一次試驗(yàn)中成功的次數(shù)為X概率，最后求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望、方差，逐個(gè)選項(xiàng)分析即可；【詳解】設(shè)試驗(yàn)成功的概率為，解得：；記一次試驗(yàn)中成功的次數(shù)為X，則的取值有0,1，,選項(xiàng)A正確；X01則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC.12．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）02A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式求出，即可求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)得到，再求出分布列，即可求出與.【詳解】依題意，解得，所以的分布列為：－102P則，故A正確；則，故C正確；所以的分布列為：02P則，，故B錯(cuò)誤；所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P0.10.40.10.20.2則離散型隨機(jī)變量X的方差.【答案】【分析】先求期望，再利用方差公式求解方差.【詳解】由分布列可得，所以.故答案為：.14．隨機(jī)變量的分布列如下，則．012P【答案】2.4【分析】利用分布列的性質(zhì)，求出p值，再利用期望、方差的定義計(jì)算作答.【詳解】依題意，，于是，，所以.故答案為：2.415．已知隨機(jī)變量X，Y滿足，且隨機(jī)變量X的分布列如下：X012P則隨機(jī)變量Y的方差等于；【答案】【分析】根據(jù)分布列中概率和為1可得，再由期望、方差公式計(jì)算出,最后利用計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所?故答案為：.16．隨機(jī)變量的取值為，若，，則．【答案】10【分析】設(shè)，然后根據(jù)已知條件列方程組求出，從而可求出，進(jìn)而可求出【詳解】設(shè)，因?yàn)殡S機(jī)變量的取值為，，，所以，解得，所