第八章《立體幾何初步》單元達(dá)標(biāo)高分突破必刷卷培優(yōu)版全解全析

第八章《立體幾何初步》單元達(dá)標(biāo)高分突破必刷卷(培優(yōu)版）全解全析1．B【分析】根據(jù)正方體，正三棱柱的性質(zhì)，線面的位置關(guān)系及線面平行的判定定理結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】A選項中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤；B選項中，因為，故平面CNQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項中，因為，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點B，故錯誤；D選項中，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，過點M作CQ的平行線交于點D，則點D是在上靠近點的四等分點，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設(shè)錯誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤．故選：B.2．B【分析】結(jié)合圖形可得，則可得四邊形面積，后可得四邊形OABC的面積.【詳解】設(shè)軸與交點為D，因O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，則，又B′C′∥y′軸，則四邊形為平行四邊形，故.又，結(jié)合A′B′⊥x′軸，則，故.則四邊形面積為，因四邊形面積是四邊形OABC的面積的倍，則四邊形OABC的面積為.故選：B3．B【分析】根據(jù)梯形中位線求出，再根據(jù)所給“羨除”的體積公式表示出，，根據(jù)體積比得到方程，解得即可.【詳解】因為、、，，為線段，的中點，所以且，所以，，即，，因為，即，解得.故選：B4．B【分析】在同一平面作異面直線和的平行線，求其所成的角，即為所求.【詳解】設(shè)，的中點分別為M，N，連接AM，AN，MN，易證，，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線和所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，易求得，，所以．故選：B.5．D【分析】利用球的表面積公式及直角三角形的外接圓的圓心在斜邊的中點，結(jié)合勾股定理及重要不等式，再利用棱錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為,則，所以，因為，，所以的外接圓的半徑為，所以點到平面的距離為，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)成立所以三棱錐的體積為.故選：D.6．B【分析】對于A，，相交、平行或異面；對于B，由線面垂直性質(zhì)定理可得；對于C，與相交、平行或；對于D，或.【詳解】對于A，，則直線，相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，由線面垂直性質(zhì)定理可知：若，，則正確，故B正確；對于C，若，，則與相交、平行或，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤；故選：B.7．A【分析】由異面直線的夾角，結(jié)合平面的基本性質(zhì)，討論的位置研究異面直線與所成角的范圍.【詳解】作交于點，所有與a垂直的直線平移到O點組成與a垂直的平面，故，如上圖：當(dāng)為與、所成平面的交線或其平行線時，與所成角最小為；當(dāng)為垂直于、所成平面的線或其平行線時，與所成角最大為.故選：A8．D【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐外接球球心，利用等體積法結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)求出截面圓半徑作答.【詳解】在三棱錐中，是等邊三角形，，，，則，，則有，取中點O，連接，有，因此點O是三棱錐外接球球心，球半徑，如圖，因為點是棱的中點，則，等腰底邊上的高，的面積，取中點F，連接，則，而平面，于是平面，在中，，由余弦定理得，有，的面積，，顯然，令點O到平面的距離為d，因此，即，解得，令平面截三棱錐外接球所得截面小圓半徑為r，則有，所以平面截三棱錐外接球所得截面面積.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.9．AC【分析】由題意分別表示兩個圓錐的側(cè)面積與矩形面積建立方程，對選項一一分析利用基本不等式處理即可.【詳解】設(shè)，，則圓錐M的側(cè)面積為，圓錐N的側(cè)面積為，則，則，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以矩形ABCD的面積的最小值為，此時，所以B錯誤，C正確.矩形ABCD的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以矩形ABCD的周長的最小值為，此時，所以A正確，D錯誤.故選：AC10．BC【分析】對于A：根據(jù)已知結(jié)合棱臺的性質(zhì)得出與交于一點，即可判斷；對于B：根據(jù)已知設(shè)在平面中的投影為，則平面，且，即與平面所成的角為，即可計算得出，即可得出答案來判斷；對于C：根據(jù)正四棱臺的體積求法得出即可判斷；對于D:根據(jù)正四棱臺的表面積求法得出即可判斷；【詳解】對于A：為正四棱臺，四條側(cè)棱所在直線交于一點，記為，分別是棱的中點，也過點，，與屬于同一平面，故A錯誤；對于B：為正四棱臺，點在平面上的射影一定在上，記為，則平面，且，與平面所成的角為，，，，，，，故B正確；對于C：根據(jù)選項B中可得，即正四棱臺的高，設(shè)分別為正四棱臺上、下底面積，，故C正確；對于D：正四棱臺是四個全等的等腰梯形，梯形的上、下底分別為1、3，高為，則面積為，根據(jù)選項C可得，，則正四棱臺的表面積為，故D錯誤；故選：BC.11．BC【分析】對于A選項，連接，由平面，即直線上任意點到平面的距離相等；對于B選項，為正三角形，則當(dāng)且僅當(dāng)在中點時，，即可判斷；對于C選項，證明平面即可，對于D選項，當(dāng)為中點時，外接球半徑最小，計算即可.【詳解】對于A選項，因為，所以平面，所以，為定值，即A錯誤；對于B選項，因為為正三角形，與所成角的范圍為，即B正確；對于C選項，易知，，，，，則平面平面，可知平面，平面，即C正確；對于D選項，易知當(dāng)為中點時，外接球半徑最小，此時設(shè)的中心為，的中心為，的中點為，則，，，則易知，所以最小球即為以為球心，半徑，表面積，即D錯誤．故選：BC12．ACD【分析】對于選項A，利用面面平行的性質(zhì)，得到平面，從而可判斷出選項A正確；對于選項B，假設(shè)存在，可推出平面，從而判斷選項B錯誤；對于選項C，利用線面角的定義，找出線面角為，從而在中，求出的值，進(jìn)而判斷選項C正確.對于選項D，利用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線上，利用，建立方程，從而求出球的表面積的取值范圍.【詳解】對于A，因為平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，平面與這兩個平面的交線互相平行，即，因為面，面，所以平面，又點P在線段上,所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，若存在點P，使得，因為，則，因為，平面,所以平面，與題意矛盾，故B錯誤；對于C，如圖1所示，取BC的中點Q，連接，則點P在平面內(nèi)的射影在上，直線PE與平面所成角即，且有由已知可得，最小為，所以的最大值為，故C正確．對于D，如圖2，取的中點G，連接AG，分別取BE，AG的中點，連接，因為是等腰直角三角形，所以三棱錐外接球的球心O在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，則，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)點P與F重合時，取最小值，此時，三棱錐外接球的表面積為，當(dāng)點P與重合時，取最大值，此時，三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ACD13．①④⑤【分析】由線線、線面、面面平行的相關(guān)定理依次判斷各個選項即可.【詳解】對于①，當(dāng)，且不重合時，，①正確；對于②，當(dāng)，時，可能相交、平行或異面，②錯誤；對于③，當(dāng)，時，可能相交或平行，③錯誤；對于④，當(dāng)，且時，，④正確；對于⑤，當(dāng)，且時，，⑤正確.故答案為：①④⑤.14．【分析】根據(jù)前后體積一致，列出計算式即可求解.【詳解】,解得.故答案為：15．【分析】作出過點平行于平面的平面與平面的交線，確定動點P的位置，再借助三角形計算作答.【詳解】在正方體中，取的中點M，N，連，如圖，因點E、F分別是棱BC，的中點，則，平面，平面，則有平面，顯然為矩形，有，，即有為平行四邊形，則，而平面，平面，有平面，，平面，因此，平面平面，因平面AEF，則有平面，又點P在平面，平面平面，從而得點P在線段MN上（不含端點），在中，，，等腰底邊MN上高，于是得，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.16．【分析】根據(jù)共面的充要條件及線面垂直的判定定理，利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面角的定義，結(jié)合二面角的平面角的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，且，∴P在平面上，設(shè)，連接，，且，如圖所示因為平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，又，平面，平面，所以平面，設(shè)正方體的棱長為1，則可知為棱長為的正四面體，所以為等邊三角形的中心，由題可得，得，所以，又∵與平面所成角為，則，可求得，即在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，由平面，又∵平面，∴平面平面，且兩個平面的交線為，把兩個平面抽象出來，如圖所示，作于點，過點作交于N點，連接PN，∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，平面，∴，又，與為平面中兩相交直線，故平面，平面，∴∴為二面角的平面角，即為角，設(shè)，當(dāng)與點不重合時，在中，可求得，若M與點重合時，即當(dāng)時，可求得，也符合上式，故，∵，，∴，∴，∴，∴令，則，當(dāng)，即時等號成立，∴，故的最大值是.故答案為：.【點睛】解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件作出圖形，再利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理，然后根據(jù)線面角及二面角的平面角的定義找出所求角，結(jié)合三角形相似及二次函數(shù)的性質(zhì)即可.17．（1）個（2）需要能涂的材料【解析】（1）先求出每個零件的體積，然后求出每個零件的質(zhì)量，再求出零件的個數(shù)即可；（2）先求出每個零件的表面積，從而求出零件的表面積之和即可得解.【詳解】解：（1）每個零件的體積為，因此每個零件的質(zhì)量為.因此可估計出零件的個數(shù)為.（2）每個零件的表面積為，因此零件的表面積之和約為.即需要能涂的材料.【點睛】本題考查了組合體的體積及表面積，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先通過面面平行的判斷證明平面平面，再由面面平行的性質(zhì)證明，即是中位線，由此得到是的中點；（2）設(shè)，通過勾股定理計算將到的距離和到平面的距離用表示，根據(jù)二面角的正弦值列方程求出，再代入體積公式計算即可.【詳解】（1）如圖，連接，，因為為母線，所以,又平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.又因為平面平面，平面平面，所以，因為是的中點，所以是的中點，即.（2）如下圖，作，，.設(shè)到的距離為，則到的距離為.設(shè)，則有，，，，，因為，所以.因為平面，所以到平面的距離即是到平面的距離，即.所以，解得.所以.19．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一定理及線面垂直的判定定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可求解；（2）利用三角形的中位線定理及平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及線面角的定義，再利用線面平行的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1），點M為BC的中點同理，,平面,平面,平面

（2）取BM中點為G，連接EG、,則，所以又，所以四邊形為平行四邊形，所以而在平面內(nèi)，EF在平面外，故平面，（3）因為，所以只需求直線與平面所成角的正弦值．因為，所以，因為所以因為

所以需求點到平面的距離．因為，不在平面內(nèi)，BC在平面內(nèi)，所以平面，所以只需求到平面的距離．過作的垂線，垂足為H．如圖所示因為平面，所以．又因為，，所以平面因為

所以所以．所以直線EF與平面所成角的正弦值為.20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）采用平移法將異面直線與所成角，轉(zhuǎn)化為直線與所成角,解三角形即可求得答案；（2）證明，，根據(jù)線面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.【詳解】（1）連接，因為，故四邊形為平行四邊形，則，則異面直線與所成角，即為直線與所成角,即為所求角或其補(bǔ)角，設(shè)正方體棱長為2，在中，，則,故異面直線與所成角的余弦值為.（2）連接，則,又平面，平面，則，又平面，故平面，平面，故，同理可證，而平面，所以平面.21．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）證明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故證明面面垂直；（2）作出輔助線，找到∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小.【詳解】（1）因為平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，因為，所以⊥AD，因為PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因為CFAB，所以CF⊥平面PAD，因為CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；（2）平面，AD，AC平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，因為，，由勾股定理得：，則∠ADB=30°，同理可得，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，故，，，過點B作BE⊥PC于點E，連接DE，在△BCP中，由余弦定理得：，則，，在△CDP中，由余弦定理得：，在△CDE中，，因為，所以DE⊥PC，所以∠BED為平面與平面所