2018年中考考點(diǎn)專題訓(xùn)練考點(diǎn)20-等腰三角形及等邊三角形

./2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn)20等腰三角形、等邊三角形和直角三角形一．選擇題〔共5小題〕1．〔2018?XX〕如圖,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC,∠CAD=20°,則∠ACE的度數(shù)是〔〕A．20° B．35° C．40° D．70°[分析]先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以與三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=〔180°﹣∠CAB〕=70°．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°．[解答]解：∵AD是△ABC的中線,AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=〔180°﹣∠CAB〕=70°．∵CE是△ABC的角平分線,∴∠ACE=∠ACB=35°．故選：B．2．〔2018?宿遷〕若實(shí)數(shù)m、n滿足等式|m﹣2|+=0,且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長,則△ABC的周長是〔〕A．12 B．10 C．8 D．6[分析]由已知等式,結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m、n的值,再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰,分類求解．[解答]解：∵|m﹣2|+=0,∴m﹣2=0,n﹣4=0,解得m=2,n=4,當(dāng)m=2作腰時(shí),三邊為2,2,4,不符合三邊關(guān)系定理；當(dāng)n=4作腰時(shí),三邊為2,4,4,符合三邊關(guān)系定理,周長為：2+4+4=10．故選：B．3．〔2018?XX〕在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,則下列結(jié)論一定成立的是〔〕A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC[分析]根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A,根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE,再結(jié)合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE,利用等角對等邊即可得出BC=BE,此題得解．[解答]解：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE．故選：C．4．〔2018?XX〕如圖,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為〔〕A．4 B．6 C． D．8[分析]根據(jù)題意,可以求得∠B的度數(shù),然后根據(jù)解直角三角形的知識(shí)可以求得NC的長,從而可以求得BC的長．[解答]解：∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6,故選：B．5．〔2018?黃岡〕如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=〔〕A．2 B．3 C．4 D．2[分析]根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=5,進(jìn)而得出DE=3,利用勾股定理解答即可．[解答]解：∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE為AB邊上的中線,CE=5,∴AE=CE=5,∵AD=2,∴DE=3,∵CD為AB邊上的高,∴在Rt△CDE中,CD=,故選：C．二．填空題〔共12小題〕6．〔2018?XX〕等腰三角形的一個(gè)底角為50°,則它的頂角的度數(shù)為80°．[分析]本題給出了一個(gè)底角為50°,利用等腰三角形的性質(zhì)得另一底角的大小,然后利用三角形內(nèi)角和可求頂角的大小．[解答]解：∵等腰三角形底角相等,∴180°﹣50°×2=80°,∴頂角為80°．故填80°．7．〔2018?XX〕如圖,在△ABC中,AB=AC．以點(diǎn)C為圓心,以CB長為半徑作圓弧,交AC的延長線于點(diǎn)D,連結(jié)BD．若∠A=32°,則∠CDB的大小為37度．[分析]根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以與三角形內(nèi)角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以與三角形外角的性質(zhì)在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．[解答]解：∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ABC=∠ACB=74°,又∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案為：37．8．〔2018?XX〕在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,若△ABD為直角三角形,則∠ADC的度數(shù)為130°或90°．[分析]根據(jù)題意可以求得∠B和∠C的度數(shù),然后根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想即可求得∠ADC的度數(shù)．[解答]解：∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°,∵點(diǎn)D在BC邊上,△ABD為直角三角形,∴當(dāng)∠BAD=90°時(shí),則∠ADB=50°,∴∠ADC=130°,當(dāng)∠ADB=90°時(shí),則∠ADC=90°,故答案為：130°或90°．9．〔2018?XX〕我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的"特征值",記作k,若k=,則該等腰三角形的頂角為36度．[分析]根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知得出5∠A=180°,求出即可．[解答]解：∵△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C,∵等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的"特征值",記作k,若k=,∴∠A：∠B=1：2,即5∠A=180°,∴∠A=36°,故答案為：36．10．〔2018?XX〕若一個(gè)等腰三角形的頂角等于50°,則它的底角等于65°．[分析]利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理直接求得答案．[解答]解：∵等腰三角形的頂角等于50°,又∵等腰三角形的底角相等,∴底角等于〔180°﹣50°〕×=65°．故答案為：65．11．〔2018?XX〕如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F,DE=3cm,則BF=6c[分析]先利用HL證明Rt△ADB≌Rt△ADC,得出S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB,又S△ABC=AC?BF,將AC=AB代入即可求出BF．[解答]解：在Rt△ADB與Rt△ADC中,,∴Rt△ADB≌Rt△ADC,∴S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB,∵S△ABC=AC?BF,∴AC?BF=3AB,∵AC=AB,∴BF=3,∴BF=6．故答案為6．12．〔2018?XX〕如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是3．[分析]首先根據(jù)已知條件分別計(jì)算圖中每一個(gè)三角形每個(gè)角的度數(shù),然后根據(jù)等腰三角形的判定：等角對等邊解答,做題時(shí)要注意,從最明顯的找起,由易到難,不重不漏．[解答]解：∵AB=AC,∠A=36°∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠ACB==72°,BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC=36°,∴在△ABD中,∠A=∠ABD=36°,AD=BD,△ABD是等腰三角形,在△ABC中,∠C=∠ABC=72°,AB=AC,△ABC是等腰三角形,在△BDC中,∠C=∠BDC=72°,BD=BC,△BDC是等腰三角形,所以共有3個(gè)等腰三角形．故答案為：313．〔2018?XX〕邊長為a的正三角形的面積等于．[分析]根據(jù)正三角形的性質(zhì)求解．[解答]解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,∵AD⊥BC∴BD=CD=a,∴AD==a,面積則是：a?a=a2．14．〔2018?XX〕如圖,已知等邊△ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個(gè)等邊△AB1C1；再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個(gè)等邊△AB2C2；再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個(gè)等邊△AB3C3；…,記△B1CB2的面積為S1,△B2C1B3的面積為S2,△B3C2B4的面積為S3[分析]由AB1為邊長為2的等邊三角形ABC的高,利用三線合一得到B1為BC的中點(diǎn),求出BB1的長,利用勾股定理求出AB1的長,進(jìn)而求出第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積,同理求出第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積,依此類推,得到第n個(gè)等邊三角形ABnC[解答]解：∵等邊三角形ABC的邊長為2,AB1⊥BC,∴BB1=1,AB=2,根據(jù)勾股定理得：AB1=,∴第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積為×〔〕2=〔〕1；∵等邊三角形AB1C1的邊長為,AB2⊥B1C1∴B1B2=,AB1=,根據(jù)勾股定理得：AB2=,∴第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積為×〔〕2=〔〕2；依此類推,第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為〔〕n．故答案為：〔〕n．15．〔2018?XX〕如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),則∠BAD=30°．[分析]根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等的性質(zhì)填空．[解答]解：∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC．又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．16．〔2018?XX〕如圖,在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),EF⊥AC于點(diǎn)F,G為EF的中點(diǎn),連接DG,則DG的長為．[分析]直接利用三角形中位線定理進(jìn)而得出DE=2,且DE∥AC,再利用勾股定理以與直角三角形的性質(zhì)得出EG以與DG的長．[解答]解：連接DE,∵在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),∴DE是△ABC的中位線,∴DE=2,且DE∥AC,BD=BE=EC=2,∵EF⊥AC于點(diǎn)F,∠C=60°,∴∠FEC=30°,∠DEF=∠EFC=90°,∴FC=EC=1,故EF==,∵G為EF的中點(diǎn),∴EG=,∴DG==．故答案為：．17．〔2018?XX〕如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點(diǎn),則CD=3．[分析]根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．[解答]解：∵∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),∴CD=AB=×6=3．故答案為：3．三．解答題〔共2小題〕18．〔2018?XX〕數(shù)學(xué)課上,X老師舉了下面的例題：例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù)．〔答案：35°〕例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù),〔答案：40°或70°或100°〕X老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題：變式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù)．〔1〕請你解答以上的變式題．〔2〕解〔1〕后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí),請你探索x的取值X圍．[分析]〔1〕由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確,因此要分類討論；〔2〕分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．[解答]解：〔1〕若∠A為頂角,則∠B=〔180°﹣∠A〕÷2=50°；若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=80°；故∠B=50°或20°或80°；〔2〕分兩種情況：①當(dāng)90≤x＜180時(shí),∠A只能為頂角,∴∠B的度數(shù)只有一個(gè)；②當(dāng)0＜x＜90時(shí),若∠A為頂角,則∠B=〔〕°；若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=〔180﹣2x〕°；若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=x°．當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x,即x≠60時(shí),∠B有三個(gè)不同的度數(shù)．綜上所述,可知當(dāng)0＜x＜90且x≠60時(shí),∠B有三個(gè)不同的度數(shù)．19．〔2018?XX〕〔A類〕已知如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求證：∠A=∠