安徽省安慶市桐城第九中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

安徽省安慶市桐城第九中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在的展開式中，如果第4項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的值為A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：A2.若M（x，y）滿足，則M的軌跡（）A．雙曲線 B．直線 C．橢圓 D．圓參考答案：C【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意，=，可得（x，y）到（2，1）的距離與到直線2x+y﹣4=0的距離的比為，即可得出結(jié)論．【解答】解：，可化為=，∴（x，y）到（2，1）的距離與到直線2x+y﹣4=0的距離的比為，利用橢圓的定義，可得軌跡是橢圓．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程，考查橢圓的定義，正確變形是關(guān)鍵．3.=

A.2

B.

C.

D.1參考答案：B4.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)且EF＝，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ()．

A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值D．異面直線AE，BF所成的角為定值

參考答案：D略5.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若a2+b2=2c2，則cosC的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】通過余弦定理求出cosC的表達(dá)式，利用基本不等式求出cosC的最小值．【解答】解：因?yàn)閍2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中余弦定理的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．6.復(fù)數(shù)的虛部是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B7.若函數(shù),則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A8.雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略9.按流程圖的程序計(jì)算，若開始輸入的值為x=3，則輸出的x的值是(

) A．6 B．21 C．156 D．231參考答案：D考點(diǎn)：程序框圖．專題：圖表型．分析：根據(jù)程序可知，輸入x，計(jì)算出的值，若≤100，然后再把作為x，輸入，再計(jì)算的值，直到＞100，再輸出．解答： 解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴當(dāng)x=6時(shí)，=21＜100，∴當(dāng)x=21時(shí)，=231＞100，停止循環(huán)則最后輸出的結(jié)果是231，故選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是代數(shù)式求值，解答本題的關(guān)鍵就是弄清楚題圖給出的計(jì)算程序．10.已知,且是第四象限的角,則

(

)

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)短軸長(zhǎng)為的橢圓C:和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，過定圓E上面的每一個(gè)點(diǎn)都可以作兩條互相垂直的直線，且與橢圓的公共點(diǎn)都只有一個(gè)的圓的方程為

．參考答案：12.已知雙曲線，則其漸近線方程為_________,

離心率為________.

參考答案：、13.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，則它的外接球表面積為．參考答案：

14.如圖，已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且，。現(xiàn)沿EF將圖形折起，使∠BFC＝600，則三棱柱BCF－ADE的外接球的表面積為

。參考答案：8π15.=．參考答案：16.在△ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，S為△ABC的面積．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）滿足∥，則∠C=．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；平行向量與共線向量．【分析】通過向量的平行的坐標(biāo)運(yùn)算，求出S的表達(dá)式，利用余弦定理以及三角形面積，求出C的正切值，得到C的值即可．【解答】解：由∥，得4S=（a2+b2﹣c2），則S=（a2+b2﹣c2）．由余弦定理得cosC=，所以S=又由三角形的面積公式得S=，所以，所以tanC=．又C∈（0，π），所以C=．故答案為：．17.已知某個(gè)幾何體的三視圖如左圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為E，過F1于x軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為M（﹣，）．（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B．（i）若直線l過定點(diǎn)（1，0），直線AE，BE的斜率為k1，k2（k1≠0，k2≠0），證明：k1?k2為定值；（ii）若直線l的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)P，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（I）由已知中橢圓通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造方程組，可得a，b的值，進(jìn)而可得橢圓C的方程；（II）經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）的直線l可設(shè)為x=my+1，（i）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得y1+y2=，y1y2=，由橢圓的右頂點(diǎn)為E（2，0），可得：k1?k2=?==，進(jìn)而得到答案；（ii）利用點(diǎn)差法，可得kAB=﹣?，故直線l的垂直平分線方程為：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合由H（x0，y0）在橢圓內(nèi)部，可得答案．【解答】解：（I）由已知中過F1于x軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為M（﹣，）．可得：c=，=，a2﹣b2=c2，解得：a=2，b=1，∴橢圓C的方程為：；…3分（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）證明：（i）∵直線l過定點(diǎn)（1，0），設(shè)x=my+1，由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…5分∴y1+y2=，y1y2=，∵右頂點(diǎn)為E（2，0），∴k1?k2=?====﹣，∴k1?k2為定值；…8分（ii）將A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程得：，兩式相減得：（x1﹣x2）（x1+x2）=﹣（y1﹣y2）（y1+y2）∵直線l的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)P，∴y1+y2≠0，x1﹣x2≠0，∴﹣?==kAB，設(shè)AB的中點(diǎn)H（x0，y0），則kAB=﹣?，故直線l的垂直平分線方程為：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：…10分，由H（x0，y0）在橢圓內(nèi)部，可得：x0∈（﹣2，2），故∈（﹣，）…12分19.為檢驗(yàn)A、B兩條生產(chǎn)線的優(yōu)品率，現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上各抽取6件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)評(píng)分，用莖葉圖的形式記錄，并規(guī)定高于90分為優(yōu)品.前5件的評(píng)分記錄如下，第6件暫不公布.（1）求所抽取的A生產(chǎn)線上的6個(gè)產(chǎn)品的總分小于B生產(chǎn)線上的第6個(gè)產(chǎn)品的總分的概率；（2）已知A、B生產(chǎn)線的第6件產(chǎn)品的評(píng)分分別為90,97.①從A生產(chǎn)線的6件產(chǎn)品里面隨機(jī)抽取2件，設(shè)非優(yōu)品的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②以所抽取的樣本優(yōu)品率來估計(jì)B生產(chǎn)線的優(yōu)品率，從B生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記優(yōu)品的件數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1）；（2）①詳見解析；②2.【分析】（1）根據(jù)生產(chǎn)線前5件的總分為，生產(chǎn)線前5件的總分為；則要使制取的生產(chǎn)線上的6個(gè)產(chǎn)品的總分小于生產(chǎn)線上的6個(gè)產(chǎn)品的總分，則第6件產(chǎn)品的差要超過7.（2）①可能取值為，根據(jù)超幾何分布求解概率，列出分布列，再求期望.②由樣品估計(jì)總體，優(yōu)品的概率為，可取且，代入公式求解.【詳解】（1）生產(chǎn)線前件的總分為，生產(chǎn)線前5件的總分為；要使制取的生產(chǎn)線上的6個(gè)產(chǎn)品的總分小于生產(chǎn)線上的6個(gè)產(chǎn)品的總分，則第6件產(chǎn)品的評(píng)分分別可以是，，，故所求概率為.（2）①可能取值為，，，，隨機(jī)變量的分布列為：.②由樣品估計(jì)總體，優(yōu)品的概率為，可取且，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20.（本小題滿分16分）已知等差數(shù)列中，，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：；

（3）是否存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，。

解得，，∴。（4分）

（2）∵，，∴

∴

∴。（8分）

（3）由（2）知，，∴，，，

∵，，成等比數(shù)列，∴，即

當(dāng)時(shí)，，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，則，而，

所以，此時(shí)不存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列。綜上，存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列。（16分）21.（本小題滿分14分）已知四棱錐C-ABDE中，平面ABDE⊥平面ABC，底面ABDE是正方形，AB=1,CD=，AB⊥BC，（Ⅰ）求證：平面ACE⊥平面ABC；（Ⅱ）求CD與平面BCE所成角的正弦值.參考答案：證明：（Ⅰ）在正方形ABDE中，EA⊥AB，

又AB=平面ABDE∩平面ABC，平面ABDE⊥平面ABC

所以，EA⊥平面ABC，

………………4分

又EA在平面ACE內(nèi)，所以，平面ACE⊥平面ABC。…………7分

（Ⅱ）同理，由AB⊥BC可知：BC⊥平面ABDE，進(jìn)而知，BC⊥AD在正方形ABDE中，AD⊥BE，又BC∩BE=B，知AD