2022-2023學(xué)年廣西桂林市某中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣西桂林市平樂中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.OA+^C-~BA=(）

A.OBB.COC.ACD.OC

2.sm210°=()

A.TB-1c--D.W

222

3.己知力=(5,-2),b=(-4,-3)，若二一2：+35=6,則9=()

A.T，T)B.（胃C.劈D.(1J

4.己知函數(shù)/（久）=simrx的圖象的一部分如圖（1）所示，則圖（2）中的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)

解析式是（）

(1)(2)

A.y=/（2x-j）B.y=f（泊）C.y=f（^-1）D.y=/（2x-1）

5.角a的終邊上有一點P（l,3）,則cos?-a）+sin管+a）的值為（）

A.哥（1—30B.哥（l+3「）C.音（3+0D.哥（3—0

6.如圖，飛機飛行的航線AB和地面目標(biāo)C在同一鉛垂平面內(nèi)，在A處測得目標(biāo)C的俯角為30。,

飛行10千米到達(dá)B處，測得目標(biāo)C的俯角為75。，則這時B處與地面目標(biāo)C的距離為（）

A.5dl米B.5千米C.4—1千米D.4千米

7.已知函數(shù)/（x）=sing+》其在一個周期內(nèi)的圖象分別與無

軸、y軸交于點4、點B,并與過點4的直線相交于另外兩點C、。.設(shè)

。為坐標(biāo)原點，則（就+前）.瓦？=（）

A-磊B*MD.|

8.在銳角A4BC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足c-b=2bcos4若;IsinA—

cos（C-B）<2恒成立，則實數(shù)4的取值范圍為（）

A.（—co,2>/-2]B.（―oo,2V-2）C.（—oo（^y2]D.（―

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下面給出的關(guān)系式中，正確的是（）

A.0.a=0B.a-b=b-a

C.（a-K）-c=a-（b?c）D.\a-b\<a-b

10.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則（）

A.若|南+^^=|南—前|，則△ABC為直角三角形

B.若T=—1,則△ABC為等腰三角形

COSDcosA

C.若A>B,則sin4>sinB

D.若+tanB+tanC<0,則448C為鈍角三角形

11.設(shè)L=（，3,1）,B=（cos。,sin。）（其中8E[0,2兀]）,下列說法正確的是（）

A.若行述，則。=竽B.若孫/=則。=與

C.存在8,使得|2+方|=|五|+舊|D.|五一3|的最大值為3

12.黃金三角形被稱為最美等腰三角形，因此它經(jīng)常被應(yīng)用于許多經(jīng)典

建筑中，例如圖中所示的建筑對應(yīng)的黃金三角形，它的底角正好是頂角

的兩倍，且它的底與腰之比為黃金分割比（黃金分割比=手）.在頂角為

4BAC的黃金△48C中，。為BC邊上的中點，則（）

An

A.cos342°=%

AC

RAD_cos270+sin270

,CDcos270—sin27°

C.四在正上的投影向量為容里前

O

D.COSN是方程4爐+1的一個實根

BAC2X2-3X=

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.在菱形/BCD中，AC=(2,-3).前=(x-l,2),則％=.

14.己知定義域為R的函數(shù)同時滿足以下三個條件：

(1)函數(shù)的圖象不過原點；

(2)對任意xeR,都有f(x)=/(-x)；

(3)對任意x6R,都有f(x+2)=

則符合上述條件的函數(shù)表達(dá)式可以為f(x)=.(答案不唯一，寫出一個即可)

15.已知等邊三角形4BC的邊長為2,設(shè)BC=灑CA=b>AB=c<則五?b+b1+力?

a=.

16.已知向量窗方滿足同=2,|1|=1，|t五一(1一￡)方|2|￡0五-(1-%)方|對1€/?恒成

立，若0<%S則區(qū)石夾角的最小值是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知0(0,0),向量初=(2,1)，OB=(3,-2).

(1)如圖，若四邊形04cB為平行四邊形，求點C的坐標(biāo)；

(2)若點P為線段4B的靠近點8的三等分點，求點P的坐標(biāo).

18.(本小題12.0分)

如圖，在AABC中，已知48=2,AC=4,/.BAC=60°,~BM=~MC，AN=~NC^AM,BN相

交于點P.設(shè)4B-a>AC=b-

(1)用向量為，%表示BM:

(2)求俞，麗夾角。的余弦值.

B

M

P

A

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=cos2%+\/~3sinxcosx—

(1)求//)的值；

(2)在44BC中,若爬)=1,求sinB+sinC的最大值.

20.(本小題12.0分)

已知△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且acosB+V?asinB=b+c.

⑴求4

(2)若a=4,AABC的面積為4/耳，求△ABC的周長.

21.(本小題12.0分)

已知N=(sincox,coscox),b=(coscox,\T^cosa)x)^其中3>0,函數(shù)/(x)=方?@一三初的

最小正周期為加

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式/。一瑩)>V^msinfx+力一V^cos(x-》在［0,4內(nèi)恒成立，求實數(shù)加

的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

十字測天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晚期的航海領(lǐng)域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于

船員確定位置.如圖1所示，十字測天儀由桿4B和橫檔CO構(gòu)成，并且E是C。的中點，橫檔與桿

垂直并且可在桿上滑動.十字測天儀的使用方法如下：如圖2,手持十字測天儀，使得眼睛可

以從4點觀察.滑動橫檔CD使得4c在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線

恰好經(jīng)過點D,DE的影子恰好是4E.然后，通過測量4E的長度，可計算出視線和水平面的夾

角NCAD(稱為太陽高度角)，最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置.

(1)若在某次測量中，橫檔CO的長度為20,測得太陽高度角NCAO=60。，求影子4E的長；

(2)若在另一次測量中，4E=40,橫檔CO的長度為20,求太陽高度角的正弦值；

⑶在桿4B上有兩點4滿足44=*42?當(dāng)橫檔C。的中點E位于4時，記太陽高度角為

@{=1,2),其中的,都是銳角?證明：al<2a2-

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：OA+BC-BA=OA+AJB+JC='OB+BC=OC.

故選：D.

直接利用向量的加減混合運算得答案.

本題考查向量的加減混合運算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：s譏210°=sin(180°+30°)=-sin30°=

故選：A.

由條件利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡所給的式子，可得結(jié)果.

本題主要考查利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡所給的式子，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：?.,司—23+31=0.

c=—^(3—2b)=-x(5+4x2,—2+2x3)=(—竽，-g),

故選：A.

先由8一23+32=0,可得不=一：0一2萬)，然后代入向量五和方的坐標(biāo)進(jìn)行運算即可得解.

本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：圖1的橫坐標(biāo)先縮短為原來的：，再向右平移：個單位長度，縱坐標(biāo)均不改變，可得到

圖2對應(yīng)的圖象，

所以圖2對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=/(2x-1).

故選：D.

根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮和平移變換法則，即可得解.

本題考查三角函數(shù)的圖象變換，理解函數(shù)圖象的伸縮和平移變換法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推

理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：角a的終邊上有一點P(L3),可得sina=*^,cosa=^=,

cos?—a)+sin(弓+c)

=cos-cosa+sin-sma+sin7cosa+cos-stna

33oo

=cosa+y/~3sina=^7=+y/~3?~^=

=得1+3「).

故選：B.

利用三角函數(shù)的定義，求解正弦函數(shù)值，余弦函數(shù)值，通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解表達(dá)

式的值即可.

本題考查三角函數(shù)的定義，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意可知L4B=10,C=75°-30°=45°,

在△ABC中，由正弦定理得冬=—^左，即BC=m^=/=5q.

sinCs\nz.BAC

22

故選：A.

將題意轉(zhuǎn)化為解三角形問題，利用正弦定理計算即可.

本題考查了正弦定理的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：已知函數(shù)/(x)=singe+今，其在一個周期內(nèi)的圖象分別與x軸、y軸交于點小點B,

則4《,0),B(0，W)，

JZ

又過點4的直線相交于另外兩點C、D,

則4為CD的中點，

則(BC+BDyOA=2BA-OA=2(04-OB}-OA=20A-204?。8=2x￡=捺

99

故選：B.

由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合三角函數(shù)圖象的性質(zhì)求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：因為c-b=2bcos4

所以sinC-sinB=2sinBcosA,

即有si/McosB+cosAsinB—sinB=2sinBcosA,

所以sim4cos8—sinB=sinBcosA,

sinAcosB—sinBcosA=sinB,

sin(/l-B)=sinB,

又因為4B,。均為銳角，

所以4—8€(一權(quán)令，

所以4-8=B,A=2B,

C=n—A—B=n-3B,

所以cos(C—B)=COS(TT—48)=—cos4B=—(1—2sin22B)=2sin22B—1,

0<A=2B

0<B<l,所以

{0<C=TT-3B<^

又因為2sin4—cos(C-B)<2恒成立，

即;lsin2B-(2sin22B-1)<20-2sin22B+Asin2B+1<2=2sin22B-Asin2B+1>0恒

成立，其中Be%>

因為8C(K),所以sin2B6(?,l)，

設(shè)t=sinZB>tG,1)>

則有2t2-；It+1>0在tG(?,1)上恒成立,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

4^1或14-2,

12-A+1>02x(馬2+120

解得a<亨.

故選：c.

由c-b=2bcos4可得A=2B,從而有C=〃-3B,由不等式加譏4-cos(C-8)<2恒成立，可

得2s譏228-赤譏28+1>0恒成立，其中設(shè)［=sin2B,te(y,1)，則有2t2-;It+

1>0在《€(y,1)上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組求解即可.

本題考查了三角恒等變換、正弦定理、二次函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：4：0?N=G,正確，

B,"a-b=|a||K|cos<a<石>=9?五，二正確，

C,?.,(五.石)々為與工共線的向量，五.(丸下)為與云共線的向量，

.?.(3?尤)1中行?(石?分:錯誤，

D,當(dāng)<口，方>=:時，W|a-K|>0,五］<0，二錯誤.

故選：AB.

利用向量的線性運算判斷4利用向量的數(shù)量積運算判斷BC。.

本題考查向量的線性運算，數(shù)量積運算，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于4若|南+而|=|而-而|，

則荏而2+2荏?而=荏2+而2一2荏旅，.而?前=0一..481",則AaBC為直

角三角形，二正確，

對于B,,-,—^―=—acosA=bcosB,■■sinAcosA=sinBcosB,■■■sin2A=sin2B,

cosBcosA

??.24=28或24+28=〃，.?.4=8或A+8=*.?.△ABC為等腰三角形或直角三角形，，錯誤，

對于C,v/l>^<=>a>h<=>2RsinA>2RsinB<=>sinA>sinB,???正確，

對于D,??,tanA+tanB=tan(A+B)(l—tanAtanB),

tanA4-tanB=—tanC(l-tanAtanB),

?-tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCf

?:tanA+tanB+tanC<0,AtanAtanBtanC<0,

AtanA,tanBftanC只有一個小于0,

是鈍角三角形，.?.正確.

故選：ACD.

利用向量的數(shù)量積運算判斷力，利用正弦定理，余弦定理判斷BC,利用正切的和角公式判斷D.

本題考查向量的數(shù)量積運算，兩角和的正切公式，正弦定理，余弦定理的運用，屬于中檔題.

11.【答案】CD

【解析】解：A,a1K---a-b=yf^cosd+sind=2sin(Jd+^)=0,且J+geg,爭，

■-9+^=?；?兀，：.d=與或手4錯誤；

B.一五/汴，：?Csme-cos。=2sin(e—?=0,且。一孚］,

0-1=0或7T,0=懣誓，B錯誤;

C.8=看時,b=區(qū)b同向，滿足|日+b|=|五|+|b|，C正確；

D，a—b=(V-3—cosd,1-sin。)，位—b)2—5—2y/~3cos6—2sin9=5—4sin(6+^),

二。=?時，④一。2取最大值2|五一外取最大值3,。正確.

故選：CD.

A.根據(jù)有得出五不=0,進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運算，根據(jù)兩角和的正弦公式化簡，即可判斷4

的正誤；

B.根據(jù)平行向量的坐標(biāo)關(guān)系得出-cosQ=0,然后根據(jù)兩角差的正弦公式化簡，即可判斷

B的正誤；

C.可看出9=*滿足條件，從而判斷C的正誤；

。.可求出伍—赤=5—4sin(9+》然后即可求出|弓一扇的最大值，即可判斷D的正誤.

本題考查了兩角和差的正弦公式，向量垂直和平行的坐標(biāo)關(guān)系，正弦函數(shù)的最值，同向的兩向量

滿足|五+3|=|方|+|方|，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ABD

A

【解析】解：對選項，設(shè)=。，則。=。，

——4/BAC0+28+2180A卜

D

???CQSZ-DAC=cosl80=cos(360°-18°)=cos342。=*，,以正確;

對8選項，,:空=tan29=tan720,

cos27°-^sin270_l+tan27°

=tan(27°+45°)=tan720,.?.8正確;

cos27°-sin27°l—tan27°

對C選項，根據(jù)題意可知BC=門一1,AB=AC=2,

22+22-(15-1)2_5r5+1,

???cos乙84c=

2x2x24

過B作BE1AC,垂足為E,

荏在而上的投影向量為何=cos^BAC-AC=空口前，二。錯誤；

4

對。選項，由圖可知cos28=cos(7r-8-20),

:.2cos29—1=—cos(0+20)=—cos9cos29+sin6sin26

=—COS9(2COS20—1)+2sin26cos0,

設(shè)cos。=x,則2/—1=-x(2x2-1)+2(1—x2)x,

整理得4/+2x2—3x=1>'-D正確.

故選：ABD.

根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換、余弦定理、投影向量等知識對選項

進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

本題考查三角恒等變換，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，余弦定理，投影向量，化歸轉(zhuǎn)

化思想，屬中檔題.

13.【答案】4

【解析】解：菱形48CD中，AC=(2,-3)，BD=(x-1,2).

所以前?麗=2(%-1)-3X2=0，

解得x=4.

故答案為:4.

根據(jù)菱形的對角線互相垂直，向量的數(shù)量積為0,列方程求出x的值.

本題考查了平面向量的數(shù)量積計算問題，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】cosnx

【解析】解：由題意，根據(jù)②可知函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，由③可知函數(shù)f(x)的周期為2,再由函數(shù)/(x)

不過原點，

則滿足的函數(shù)如：/(X)=COSTTX.

故答案為：C0S7TX.

由②可知函數(shù)/"(X)為偶函數(shù)，由③可知函數(shù)〃尤)的周期為2,結(jié)合/(X)不過原點，即可寫出函數(shù)

f(x)的一個解析式.

考查偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，函數(shù)y=ACOS(3X+0

的周期的求法.

15.【答案】-6

【解析】解:由已知得到<?,]>=<另<>=<4方>=120。,

所以日不+至1+^W=3x2x2xcosl20。=-6;

故答案為：—6.

利用平面向量的數(shù)量積公式解答；注意向量的夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系.

本題考查了平面向量的數(shù)量積公式，注意向量的夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系，容易出錯.

16.【答案】I

【解析】解:設(shè)f(t)=一(1一t)」|，

則f(t)=t2a2+(l-t)2b2-2t(l

設(shè)正石的夾角為。,

即f(t)=(5+4cos0~)t2—(2+4cos9')t+1,

又?.響量五,3滿足|五|=2,@=1，“一(1—)3|21%五一(1一%)方1對teR恒成立，

???當(dāng)―。=淺5時,4)取最小值,

又0<I。工『

則0<3篝4

5+4cos85

即一^<COS0<0,

則。e成子),

即落石夾角的最小值是看

故答案為：I

由平面向量模的運算，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法求解即可.

本題考查了平面向量模的運算，重點考查了二次函數(shù)最值的求法，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)C(x,y),則前=無一麗=(x-3,y+2)，且瓦5=(2,1)，

???四邊形OACB為平行四邊形，

:.0A—BC>

??.(2,1)=Q—3,y+2),弋；*,.?"(5,一1)；

(2)設(shè)P(a,b),則麗=(3-a,-2-b),AB=(1,-3).

???點P為線段4B的靠近點B的三等分點，

PB=^AB)即(3—a,—2—b)=,

??.F-a=g,解得k=4,

1—2—b=-1I/?=—1

??.P《，T).

【解析】(1)設(shè)C(x,y),然后得出萬？=(%-3,y+2)，根據(jù)題意得出定=面，然后即可求出點C

的坐標(biāo)；

(2)設(shè)P(a,b),然后得出麗=(3-2一2-匕),南=(1,一3),根據(jù)題意得出而=：而，然后即可

求出點P的坐標(biāo).

本題考查了向量減法和數(shù)乘的幾何意義，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1),:AN=/VC,AB=五，AC-b.

BN=AN-AB=^AC-AB=-a；

(2)vBM=MC^AB=a^AC=b^

?,?祠=g須+硝=1+步

vBN=—a)2=^b+方之—五.b=；x16+4—2x4xg=4,/.|BN|=2,

vAM2=(1a+|K)2=:石2+1Q2+-&=7,/.|AM|=y/~7f

■.■AM-~BN=(^a+^b)-(^b—砂="『一g片一;五?3=1，

八AM-BN1C

?'?COS0-,—=_f—==...

\AM\\BN\2c14

【解析1(1)根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；

(2)根據(jù)數(shù)量積的定義求出|麗|=2,\AM\=yT7,AM-BN，再根據(jù)向量的夾角公式即可得解.

本題主要考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算，向量夾角的求解，屬于中檔題.

19.【答案】解：=cos?X+■\Z~^sinxcosx—?=\cos2x+孕sin2x=sin(2x+g)，

2226

所以/■吟)=sin5=1；

⑵△ABC中，脛)=l=sin(A+〉

由4為三角形內(nèi)角得力=親

故sinB+sinC=sinB+sin(§-B)=^-cosB+gcosB=V_3sin(B+g)，

3226

因為0<B

所以當(dāng)B=即寸,sinB+sinC取得最大值

【解析】(1)先利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡，然后把％=卻弋入即可求解；

(2)由已知先求出4,然后結(jié)合和差角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求.

本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式及和差角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于

基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)已知△4BC的內(nèi)角B，。的對邊分別為a,b,c,且acosB+\/~~3asinB=b+c,

則sirL4cosB+y/~3sinAsinB=sinB+sinC，

^sinAcosB+yJ~^sinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB^

即^4s譏8=sinB+cosAsinB,

又sinB>0,

即—cosA=1，

即sin(A_6=2，

即4T屋,

即4=

(2)由448c的面積為4門，

貝嘮bcsinA=4>/-3,

即be=16,

又a=4,

結(jié)合02=fc2+c2—2bccosZ可得：b2+c2—be=16,

即(b4-c)2=16+3bc=64,

即匕+c=8,

即Q+b+c=12,

故△ABC的周長為12.

【解析】(1)由正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式求解即可；

(2)由三角形面積公式，結(jié)合余弦定理求解即可.

本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：(1)因為五=(sina)x,cosa)x),b=(cosa)x,y/~3cosa)x')，

則/'(%)=a-(b—=a-b-?=sina)xcosa)x4-V-3cos2cox-=^sin2a)x+

廠kl+cos2wx,11、

V3——------------=sin(2cox+-)，

因為/'(x)最小正周期為兀，所以7=爭=兀，3=l,/(x)=sin(2x+§,

乙3J

由-5+2/CTT<2x4--+2knf解得—答+而<工<白+kn(kGZ),

乙J41Z1Z

所以f(乃的單調(diào)遞增區(qū)間為此時含而+勺,kez；

(2)/(%—^)>>/-2msin(x+；)-V-2cos(x—(,

即sin[2(%—3)+芻>yT^msin(x4-^)—y/~2cos(x—》

整理得：sin2x>(m—l)(sinx+cos%),

即小一1<2smsX對Vxe[0,三恒成立，

sinx+cosx2

令t=sinx+cosx=V-^sin(x+，)，貝ijtw

2sinxcosx2

-----------=t—1=r41,

sinx+cosxt------------t

設(shè)h(t)=當(dāng)te[1,C]時函數(shù)/i(t)單調(diào)遞增，

故九(