2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)高一年級上冊數(shù)學(xué)期末試題（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)高一上冊數(shù)學(xué)期末試題

(含解析)

一、單選題

1.若。>b,則下列各式一定成立的是()

11

A.a2>b2B.ac2>be2C.o'>b3D-

【答案】c

【分析】結(jié)合特殊值以及基函數(shù)的性質(zhì)確定正確答案.

但…”

【詳解】AD選項，a=\,b=-\則〃>b所以AD選項錯誤.

B選項，若c=0,則ac1=be2,所以B選項錯誤.

C選項，若a>b,由于y=x'在R上遞增，所以/>方3所以C選項正確.

故選：C

2.若角。滿足cos?<0,tan?<0,則角。是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)四個象限符號確定.

【詳解】???cose<o,，e為第二，三象限角或者x軸負(fù)半軸上的角；

又?一211。<0,二。為第二，四象限角

所以。為第二象限角.

故選：B

3.下列函數(shù)中，在其定義域上單調(diào)遞增且值域為R的是()

A.y=2XB.y=(x-l)3C.y=x+—D.y=|lnx|

x

【答案】B

【分析】分別求出每個選項的單調(diào)性和值域即可得出答案.

【詳解】對于A,y=2、在定義域上單調(diào)遞增且值域為(0,+8),故A不正確；

對于B,y=(x-l>在定義域上單調(diào)遞增值域為R,故B正確；

對于C,由雙勾函數(shù)的圖象知，y=x+：在(YO,-1),(1,+OO)上單調(diào)遞增，在(-1,0),(0,1)上單調(diào)遞減,

故C不正確；

對于D,V="nx|的值域為［0,+8),故D不正確.

故選：B.

4.設(shè)集合Z=[a|a=E+],Aez）,集合3==2E±ez）,則力與8的關(guān)系為（）

A.A=BB.ABC.8AD.AryB=0

【答案】A

【分析】根據(jù)終邊相同的角的知識確定正確答案.

【詳解】由于集合力={a|a=E+],aez1,所以集合A表示終邊落在了軸上的角的集合；

由于集合5=1a|?=2H±-|,Aezj,所以集合B表示終邊落在V軸上的角的集合；

所以力=8.

故選：A

5.聲強級4（單位：dB）出公式4=101g[蔡）給出，其中/為聲強（單位：W/m2）.若平時常

人交談時的聲強約為1（T6W/m?,則聲強級為（）

A.6dBB.12dBC.60dBD.600dB

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得正確答案.

【詳解】依題意6=101g（捍）=101glU=60dB.

故選：C

6.已知a>0,b>0,貝廠”+/>42”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】通過基本不等式可得充分性成立，舉出反例說明必要性不成立.

【詳解】當(dāng)“>0,/>>0時，a+b22小,

則當(dāng)時，有2而4a+b42,解得充分性成立；

當(dāng)4=2,6=工時，滿足就41,但此時a+6=：>2,必要性不成立，

22

綜上所述，“a+bW2”是“/41”的充分不必要條件.

故選：A.

7.已知函數(shù)/（x）=3,有如下四個結(jié)論：

3+1

①函數(shù)/（X）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減;

②函數(shù)/（X）的值域為（0」）；

③函數(shù)/（x）的圖象是中心對稱圖形；

④方程/W=-x+l有且只有一個實根.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域、對稱性以及方程的根等知識確定正確答案.

【詳解】=的定義域為R，==l-島，

3+13+13+1

所以/（x）在R上遞增，①錯誤.

1222

由于3"+1>1,0<----<1,0<----<2,-2<-----<0,-1<1------<1,

3*+13*+13*+13*+1

所以/（x）的值域為（T1）.

由于〃r)=*H=—=-/(x)，

3+11+3

所以，（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，③正確.

22

由/(x)=—x+1得1—￡=—x+l,x——=0

3+13+1

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-黃丁g(x)在R上單調(diào)遞增，

,、221

^(0)=0-j7T=-1<0^(1)=1-4=2>0,

所以g(x)在R上存在唯一零點，也即方程/(x)=-x+l有且只有一個實根，④正確.

所以正確結(jié)論的序號是③④.

故選：D

8.已知角a為第一象限角，且sina[>coasg則sicnt?的取值范圍是（）

222

【答案】A

【分析】先確定三的取值范圍,由此求得sin券的取值范圍.

【詳解】由于角。為第一象限角,

TT

所以2癡<a<2fan--,A:GZ,

2

所以女兀<囚<4兀+色,4wZ,

24

］十.aallt、ic,a-,,57r._

由于sin—>cos—,)!)［以21Tl+兀<—<21kliH-----，/￡Z,

2224

所以一<sin—<0.

22

故選：A

9.某廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1W10),每小時可獲得利潤

100(3x+l-：)元，要使生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，該廠應(yīng)選取的生產(chǎn)速度是()

A.2千克/小時B.3千克/小時

C.4千克〃卜時D.6千克/小時

【答案】C

【分析】生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為/(X)=WS100(3X+1-2］,令f=J_,由換元法求二次

xJx

函數(shù)最大值即可.

【詳解】由題意得，生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為

/(x)=—100f3x+l-->|=10000f3-U-4^=1000(J+3,1<%<10,

X\XJ\XXJ\XJX

令/=:,則/(r)=10000(-2/+f+3)=-200(D1(一()卷」，故當(dāng)/=；時，/⑺最大,

此時x=4.

故選：C

10.定義在R上的偶函數(shù)y=/(x)滿足=且在［0,1］上單調(diào)遞增，

。=/(等)力=/(小忘),。=/(2022),則“，h,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【分析】由〃x-l)=-/(x)得〃x-2)=/(x),則/(x)的周期為2,結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可化簡”,

b,c,最后根據(jù)單調(diào)性比較大小.

【詳解】由/(x-l)=-/(x)得〃x-2)=-/(x-l)=/(x),.?"(X)的周期為2,

又〃X)為偶函數(shù)，則等)=/1|012-==c=/(2022)=/(0),

VO<ln^<ln^=1,/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，：.c<b<a.

故選：A

二、填空題

11.已知集合力={司-2<》<0},集合2={x|04x41},[illjA<JB=.

【答案】3-2-41}

【分析】根據(jù)并集的定義運算即可.

【詳解】因為/={x|-2<x<0},8={x|04x41},

所以Zu8={x|-2<x41},

故答案為：{x\-2<x<l}

12.設(shè)。>1且6>1,log2a/og2b=1,則log?(而)的最小值為,

【答案】2

【分析】對1%(時)利用對數(shù)運算公式，得到log4+log*,再由基本不等式以及條件中的

log,a-log2h=\,得到答案.

【詳解】因為且6>1,

所以log2a>0且log?，〉。

而log,(ab)=log2a+log,b,且log2a?log?b=1

所以由基本不等式可得

log2(a/>)=log,a+log2b>2Jog2a-log26=2,

當(dāng)且僅當(dāng)log?a=log?"即a=6=2時，等號成立.

【點睛】本題考查對數(shù)運算公式，基本不等式求和的最小值，屬于簡單題.

13.設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為/,如果微€/,都有-x“，且/(-x)=/(x),已知函數(shù)/(X)的最大值

為2,則/(X)可以是.

【答案】/(x)=2cosx(答案不唯一)

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和最值寫出符合題意的/(x).

【詳解】依題意可知/(X)是偶函數(shù)，且最大值為2,

所以〃x)=2cosx符合題意.

故答案為：/(x)=2cosx(答案不唯一)

14.已知下列五個函數(shù)：y=x,y=1,y=x2,y=lnx)=e、，從中選出兩個函數(shù)分別記為/⑶和g(x),

X

若尸(X)=/(x)+g(x)的圖象如圖所示，則尸(X)=.

X

【分析】觀察圖象確定函數(shù)尸(X)的定義域和奇偶性和特殊點，由此確定尸(X)的解析式.

【詳解】由已知尸(x)=/(x)+g(x),f(x),g(x)ep=x,y=pj=x2,y=lnx,j>=evj,

觀察圖象可得尸(x)的定義域為(-8,0)U(0,+oo),所以/(x)或g(x)中必有一個函數(shù)為y=f且另一

個函數(shù)不可能為y=lnx,又尸(x)的圖象不關(guān)于原點對稱，所以尸。)#'+工，所以尸(x)=」+x2或

XX

F{x)=—+ex,

x

若b⑴=L-,則尸(_1)=4+]=o與函數(shù)/⑸圖象矛盾，

x-1

所以b(x)=1+e\

x

故答案為：—+c'.

X

dX>〃

15.已知函數(shù)/%)=；；,給出以下四個結(jié)論：

|x|,x<6f

①存在實數(shù)a,函數(shù)AM無最小值；

②對任意實數(shù)a,函數(shù)/(x)都有零點；

③當(dāng)420時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

④對任意ae(0」)，都存在實數(shù)w,使方程〃')=切有3個不同的實根.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【分析】結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)對四個結(jié)論進行分析，從而確定正確答案.

x3,x>—\

【詳解】①，當(dāng)a=—1時，/（%）="

/（X）的圖象如下圖所示，由圖可知，/（X）沒有最小值，①正確.

當(dāng)4<0時，/(0)=03=0；當(dāng)a20時，/(0)=|()|=0,

所以對任意實數(shù)。，函數(shù)/（x）都有零點，②正確.

x3,x>—

③當(dāng)。=1時,

2

即函數(shù)“X）在（0,+⑼上不是單調(diào)遞增函數(shù)，③錯誤.

x3,x>a

④，當(dāng)0<4<1時，/(、)=,

|x|,x<a

當(dāng)0<x<l時，x3-x=x(x2-1)<0,x3<x,

畫出/（x）的圖象如下圖所示,

由圖可知存在實數(shù)〃7,使方程/（、）=加有3個不同的實根，④正確.

綜上所述，正確結(jié)論的序號是①②④.

故答案為：①②④

三、雙空題

16.已知角ae(兀,■!?[),若sin(7t+a)=g,則。=；sin(5+a)=.

【答案】一烏

662

【分析】由條件結(jié)合誘導(dǎo)公式求sina,根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出a,即可.

【詳解】因為sin(Jt+a)=:，所以-sina=L故sina=-2,又所以a==,

222I2J6

所以sin(^+a)=sine+弓)=sin^=sin]Jrj=-sin-^=-^,

故答案為：-B.

62

四、解答題

34

17.已知角a的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點尸

5,5

(1)求sina+cosa和sin2a的值;

(2)求tan(2a用的值.

124

【答案】(l)sina+cosa=-,sin2a=

17

⑵IT

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sina,cosa,再根據(jù)二倍角的正弦公式即可求得sin2a；

(2)先根據(jù)二倍角的余弦公式求出cos2a,再根據(jù)商數(shù)關(guān)系求出tan2a,再根據(jù)兩角和的正切公式

即可得解.

4_3

【詳解】(1)解：由題意得sina=《,cosa——,

5

1424

所以sina+cosa=g,sin2a=2x《x

25；

7

(2)解：cos2a=cos2a-sin2a=-----

25

sin2。24

所以tan2a

cos2aT

所以tan]2a

18.已知函數(shù)/(x)=Zax?-ax-l,aeR.

⑴當(dāng)a=1時,解不等式/(x)<0；

⑵若命題“VxeR,不等式〃x)<0恒成立"是假命題，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴

⑵a4-8或a>0

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式/")<0的解集.

(2)結(jié)合開口方向以及判別式求得”的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時，/(X)=2X2-X-1,/(X)<0BP2X2-X-\<0.

(2x+l)(x-I)<0,解得-*<1

所以不等式/(力<。的解集為

(2)當(dāng)〃x)=2"L"一i<o恒成立，

當(dāng)a不為。時?，a<0且AjZ+gavo,

即-8<a<0,

當(dāng)a=0時,/(x)=T<0成立，所以

-8<Q<0

命題“VxcR,不等式/(幻<0恒成立"是假命題

所以4的取值范圍為：4<-8或?！?.

19.已知函數(shù)/(x)=2cos2x+gsin2x+a,xe0,^.從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為

已知.

(1)求a的值；

(2)求/(x)的最小值，以及取得最小值時x的值.

條件①：/*)的最大值為6；

條件②：/(x)的零點為

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)若選條件①，則。=3；若選條件②，則”0

(2)若選條件①，則當(dāng)x=時，/(x)取得最小值2;若選條件②，則當(dāng)x=桁-三,AeZ時,

/(x)取得最小值-1

【分析】(1)化簡/(x)的解析式，根據(jù)條件①或②求得。的值.

(2)利用三角函數(shù)最值的求法求得正確答案.

【詳解】(1)/(x)=2COS2X+^Asin2x+tz

若選條件①，

貝!]2+a+1=6,〃=3,

若選條件②，

+a+1=2x+a+1=a=0.

由⑴得f(x)=2sin(2x+g

(2)若選條件①,

則當(dāng)2XH——2kit——,x—E—上eZ時，/(x)取得最小值為-2+4=2.

623

若選條件②，由(1)得/(x)=2sin(2x+*|+l,

則當(dāng)2x+Z=2E—g,x=E—￡氏eZ時，/(x)取得最小值為-2+1=-1.

623

20.已知函數(shù)/(X)=1叫(2、+1)一如,加eR.

2

(1)當(dāng)巾=0時,解不等式f(x)>-l；

⑵若函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，求機的值；

(3)當(dāng)"，=-1時，若函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=6有公共點，求實數(shù)b的取值范圍.

【答案】⑴(--0)

(2)一/

⑶(-8,0)

【分析】(1)/(%)>-16[]1081(2'+1)>,08>2.結(jié)合對數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即可;

(2)/(x)是偶函數(shù)，則〃x)=/(r),結(jié)合對數(shù)運算法則化簡求值即可

(3)由對數(shù)運算得/(x)=logi(l+5］在R上單調(diào)遞增，且值域為(-8,0),即可由數(shù)形結(jié)合判斷6

的取值范圍.

lo

【詳解】⑴當(dāng)"7=0時，/(X)>-1BPg.(2"+1)>-1=log,_2(即2、+1<2,解得、武田,。)；

22

x

⑵函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，則/(x)=/(-X),即logL(2+i)-mx=log,(2-'+1)+^即log?=2mx,

2222.+1

即log?2X=-x=2mx

2

*/XGR,故加=一］；

2

(3)當(dāng)"?=-l時，/(x)=k>g［(2r+l)+x=log：(2,+)+log12-*=k>g：^^=lg］l+持j,xeR.

???y=l+/為減函數(shù)，故/(x)=log(l+*］在R上單調(diào)遞增，且值域為(—e,0)

???函數(shù)夕=/(x)的圖象與直線y=b有公共點，故實數(shù)6的取值范圍為(-肛0).

21.設(shè)全集。={1,2,…,〃}(〃eN"),集合4是。的真子集.設(shè)正整數(shù)￡(〃，若集合4滿足如下三個

性質(zhì)，則稱/為。的RO子集：

①f€4;

②Vac4Vbee/，若abwU,則abeZ；

?VaeA,\/be^,A,若a+bwU,則a+b至/.

(1)當(dāng)〃=6時，判斷”={1,3,6}是否為{7的&(3)子集，說明理由；

⑵當(dāng)〃27時，若/為。的R(7)子集，求證：2任/；

⑶當(dāng)〃=23時，若4為U的R(7)子集,求集合4

【答案】(1)4={1,3,6}不是U的案3)子集;

(2)證明見解析；

(3)集合4={7,14,21}.

【分析】(1)取a=l,b=2,由帥=2e/不滿足性質(zhì)②可得A不是。的及(3)子集；

(2)通過反證法，分別假設(shè)le4,2e4的情況，由不滿足尺(7)子集的性質(zhì)，可證明出2￡4；

(3)由(2)得，lej,/,2eJ,7GA,再分別假設(shè)3eN,4GA,5eA,6e4四種情況，由

不滿足R(7)子集的性質(zhì)，可得出3,4,5,6任/,再根據(jù)性質(zhì)②和性質(zhì)③，依次湊出8?23每個數(shù)值是否

滿足條件即可.

【詳解】(1)當(dāng)〃=6時，U={1,2,3,4,5,6},4={1,3,6},?/={2,4,5},

取。=1,6=2,則ab=2￡。，但。6=2仁4,不滿足性質(zhì)②，

所以4={1,3,6}不是U的R(3)子集.

(2