大學(xué)高數(shù)習(xí)題集

700+大學(xué)各類科目考試資料，盡在微信公眾號：大學(xué)資源庫，備用公眾號：大學(xué)學(xué)習(xí)庫，微信：snsgkf第25頁，共25頁《高等數(shù)學(xué)》模擬題A．上冊期中三套；上冊期末五套；B．下冊期中三套；下冊期末五套。A．上冊：上冊期中（一）一、試解下列各題：1．求。2．求。3．設(shè)處連續(xù)，在處不連續(xù)，試研究在處的連續(xù)性。4．求在上的最大值與最小值。二、試解下列各題：1．判斷的奇偶性。2．[5分]設(shè)，其中，求。3．[5分]設(shè)，求。4．[5分]驗證羅爾定理對在上的正確性。三、試解下列各題：1．[6分]設(shè)函數(shù)由方程所確定，且，其中是可導(dǎo)函數(shù)，，求的值。2．求極限。3．求的極值。四、設(shè)圓任意一點M（點M在第一象限）處的切線與軸，軸分別交于A點和B點，試將該切線與兩坐標軸所圍成的三角形AOB的面積S表示為的函數(shù)。五、用函數(shù)連續(xù)性“”的定義，驗證函數(shù)在任意點處連續(xù)。六、求極限七、求與的公切線方程。八、證明：當(dāng)時，。九、]一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上升到參考答案：一、1．2。2．7。3．不連續(xù)。4．二、1．為偶函數(shù)。2．3．三、1．2．3．為極大值。四．六．七．九．

上冊期中（二）一、試解下列各題：1．求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求。2．確定的單調(diào)區(qū)間。3．求曲線的凹凸區(qū)間。4．求曲線在的對應(yīng)點處的曲率。二、試解下列各題：1．設(shè)不存在，試問是否存在？并證明之。2．求。3．設(shè)，求。4．設(shè)，求。三、[9分]直的鐵路線長100公里，鐵路線外點處有一工廠，且公里，欲從A與B間的鐵路線上某點D處向C修公路，已知鐵路與公路每公里運費之比為，問D選在何處，可使從A經(jīng)過D到達工廠C的總運費最省？四、求曲線在點處的切線和法線方程。五、求極限。六、求的極大值與極小值。七、設(shè)對任意有，且在點處存在，試證：當(dāng)時。參考答案：一、1．；0。2．在上單調(diào)增加；在上單調(diào)減少。3．在上上凸，在上上凹。4．二、1．不存在。2．3．4．三．當(dāng)時總運費最省四．切線：；法線。五．0。六．為極大值，為極小值。上冊期中（三）一、試解下列各題：1．設(shè)，當(dāng)時，求。2．求極限。3．求曲線的凹凸區(qū)間。4．設(shè)曲線方程為，試求曲線在點處的法線方程。5．求曲線在點（4，8）處的曲率及曲率半徑。二、試解下列各題：1．確定函數(shù)的間斷點及其類型。2．求3．設(shè),求.4．試確定的值，使有拐點（），且在處有極大值為1，并求此函數(shù)的極小值。三、求數(shù)列極限。四、設(shè)由方程所確定，求。五、設(shè),試確定常數(shù)之值,使處處可導(dǎo).六、設(shè)在上為正值的可導(dǎo)函數(shù)，證明，使。七、以橢圓的長軸為底，作一個與此橢圓內(nèi)接的等腰梯形，試求它的面積的最大值。參考答案：一．1．。2．1。3．在上上凹，在上上凸4．5．二．1．為的第二類無窮間斷點；為的第一類跳躍間斷點。2．3．4．；此函數(shù)的極小值為三．0。四．。五．。七．。上冊期末（一）一、試解下列各題：1．求極限。2．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，，求。3．設(shè)，求。4．求極限。二、試解下列各題：1．求極限。2．求曲線的凹凸區(qū)間。3．求。4．向量和構(gòu)成的角，且，試求。三、當(dāng)為何值時，拋物線與三直線所圍成的圖形面積最小。四、設(shè)，其中為常數(shù)，，求。五、設(shè)，討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。六、一曲線過原點，且在任一點處的切線的斜率等于，求該曲線的方程。七、求八、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程所確定。試討論并求出的極大值與極小值。九、設(shè)在可導(dǎo)，且，試證：對圖中所示的兩個面積和來說，存在唯一的，使得。參考答案：一、1．2．3．4．2。二、1．2．在曲線上凸，在[0，曲線上凹3．4．三、當(dāng)時，最小。四、五、在處連續(xù)但不可導(dǎo)。六、七、八、極小值為，無極大值。上冊期末（二）一、試解下列各題：1．設(shè)對于適合的有且，求。2．計算數(shù)列極限。3．求。4．計算。二、試解下列各題：1．設(shè)函數(shù)由方程所確定，且，其中是可導(dǎo)函數(shù)，，求的值。2．設(shè)，求。3．求。4．設(shè)為非零向量，且向量在向量上的投影等于向量在向量上的投影。問向量有什么關(guān)系。三、求。四、設(shè)，求使在上是偶函數(shù)。五、設(shè)曲線方程為，求此曲線在的點處的切線方程。六、求。七、在空間直角坐標系中，分別為坐標平面上各坐標軸之間夾角的平分線，求它們兩兩之間的夾角。八、求極限。九、設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：或是以為周期的周期函數(shù)，或是線性函數(shù)和周期函數(shù)之和。十、兩廠在直河岸的同側(cè)，沿河岸，離岸4公里，與相距5公里，今在河岸邊建一水廠，從水廠到廠的每公里水管材料費是廠的倍，問水廠設(shè)在離廠多遠才使兩廠所耗總的水管材料費為最??？參考答案：一、1．2．3．4．二、1．2．3．4．．三、四、五、六、七、八、十、當(dāng)時兩廠所耗總的水管材料費最省。上冊期末（三）一、試解下列各題：1．設(shè)，求2．設(shè)，研究在點處的左連續(xù)性及右連續(xù)性。3．設(shè)，求。4．求極限。5．求。二、試解下列各題：1．設(shè)三階可導(dǎo)，試求對的一，二，三階導(dǎo)數(shù)。2．設(shè)，求。3．求。4．求曲線與坐標軸所圍成圖形的面積。三、試求過點且與曲線上點的切線相垂直的直線方程。四、求在上的最大值與最小值。五、[8分]計算.六、[9分]設(shè)及在內(nèi)連續(xù)且。（1）試證有唯一駐點；（2）試證該駐點是的極小值點。七、若及在可導(dǎo)且，試證明存在使。參考答案：一、1．2．在處右連續(xù)但不左連續(xù)3．4．5．二、1．，2．3．4．三、四、五、上冊期末（四）一、試解下列各題：1．設(shè)，求的反函數(shù)，并指出其定義域。2．求3．求4．計算5．設(shè)曲線方程，試求此曲線在橫坐標為的點處的法線方程。二、若為偶函數(shù)，且存在，證明。三、設(shè)函數(shù)由方程所確定，試求及。四、證明恒等式時成立。五、設(shè)求。六、求上的最大值。七、求曲線的水平漸近線及鉛直漸近線方程。八、設(shè)有一容器，上半段為底半徑等于2，高等于4的圓柱體，下半段為半徑等于2的半球，其間盛有水，水的高度到柱體部分的一半，該容器埋于地下，容器口離地面距離為3，求將其中水全部吸上地面所需做的功。九、試證向量在同一平面上，并將用的線性組合來表示。十、設(shè)在中二階可導(dǎo)，且，又當(dāng)時，證明方程內(nèi)必有且僅有一個實根。參考答案：一、1．2．3．4．5．三、，五、六、七、及為此曲線的水平漸近線，為此曲線的鉛直漸近線。八、九、上冊期末（五）一、試解下列各題：1．討論極限。2．判定積分的斂散性3．設(shè)處處可導(dǎo)，，求。4．確定的間斷點，并判別其類型。二、試解下列各題：1．已知，問系數(shù)為何值時才能使向量互相垂直。2．求（為自然數(shù)）。3．求。4．求。三、設(shè)曲線方程，求此曲線在縱坐標為的點處的切線方程。四、求曲線及軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。五、試求由軸的負半軸及曲線所圍成的整個圖形的面積。六、討論的增減性，凹凸性，并求其極值。七、在拋物線上找一點，其中，過點作拋物線的切線，使此切線與拋物線及兩坐標軸所圍圖形的面積最小。參考答案：一、1．不存在。2．3．4．為第二類無窮間斷點。二、1．2．3．4．三、四、五、六、當(dāng)或時單調(diào)增加；當(dāng)時單調(diào)減少。的極大值為，極小值為，在內(nèi)上凸。七、或。B．下冊：下冊期中（一）一、試解下列各題：1．函數(shù)由方程所確定，求。2．求橢球面上平行于直線的法線方程。3．計算，其中積分區(qū)域是由所確定。4．設(shè)是連接點、及的折線，計算曲線積分。二、求。三、求柱面被二平面所截的在那部分面積。四、試用曲線積分求平面曲線繞直線旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的面積。五、計算，式中是球面上滿足的部分。六、計算，式中是曲面由所限定的部分的下側(cè)。七、證明：若在點的某一鄰域內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)存在且有界，則在該點連續(xù)。八、在橢圓的第一象限部分上求一點，使得該點處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積最小，并求面積的最小值。九、設(shè)連續(xù)，證明，其中為正常數(shù)，。參考答案：一、1．2．3．4．二、0三、四、五、六、八、下冊期中（二）一、試解下列各題：1．討論函數(shù)的連續(xù)性。2．在曲線求點，使該點處曲線的切線平行于平面。3．計算，其中是由所圍成的在與之間的閉區(qū)域。4．計算曲線積分，式中是從點沿到點的一段弧。5．計算，是球面在第一卦限部分的上側(cè)。二、設(shè)，求函數(shù)對于變量的全微分。三、計算，其中是由所圍成的閉區(qū)域。四、求均勻的圓錐面（設(shè)面密度為1）對于軸的轉(zhuǎn)動慣量。五、[12分]設(shè)是正方形域的正向邊界，為正值連續(xù)函數(shù)，試證。六、在周長為的三角形中，求這樣的三角形，使它繞自己的一邊旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。參考答案：一、1．除在直線上不連續(xù)外，處處連續(xù)。2．3．4．5．二、三、四、六、三角形的三邊之長依次為，則當(dāng)。且繞長為的邊旋轉(zhuǎn)時所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。下冊期中（三）一、試解下列各題：1．求曲面上點處的切平面和法線方程。2．設(shè)是連結(jié)點及的直線段，計算曲線積分。3．設(shè)為正向一周，求。4．設(shè)有一圓錐面，其法向量與軸的夾角為銳角，向量場向指定一側(cè)穿過的通量為：。二、試解下列各題1．求。2．求函數(shù)的極大值或極小值。3．計算曲線積分，其中為橢圓從點經(jīng)第二象限至的弧段。三、函數(shù)由方程組所確定，求。四、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，改變二次積分的積分次序。五、[12分]在面上以為頂點的三角形薄片，其上任一點的面密度與該點到原點距離平方成正比，且已知在點的面密度為2，求此薄片的質(zhì)量。六、[11分]求，其中為圓錐面的下側(cè)。七、設(shè)在極坐標系下的方程為，其中為上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的正值函數(shù)，且對應(yīng)點對應(yīng)點，試證明。參考答案：一、1．切平面方程為：，法線方程為2．3．44．0二、1．02．極小值為，無極大值。3．三、四、五、六、0下冊期末（一）一、試解下列各題：1．判別級數(shù)的斂散性。2．驗證：的解，但不是通解，其中與是任意常數(shù)。3．計算，其中積分區(qū)域是由所確定。二、試解下列各題：1．設(shè)，求和。2．計算二重積分，為。3．求函數(shù)的駐點。三、試解下列各題：1．計算。2．算曲線積分，式中是以為頂點的三角形域的正向周界。四、設(shè)，寫出以為周期的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)在上的表達式。五、設(shè)，求函數(shù)對變量的全微分。六、求曲面上點處的切平面和法線方程。七、已知曲線的切線上自切點至與軸的交點的一段距離為常數(shù)，且曲線過點（0，a），求此曲線方程。八、計算，其中為平面在第一卦限的部分。九、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。十、驗證：當(dāng)時，是某二元函數(shù)的全微分，并求出。參考答案：一、1．此級數(shù)收斂3．二、1．2．3．均為此函數(shù)的駐點。三、1．2．四、五、六、切平面方程：，法線方程：七、八、九、收斂區(qū)間。十、下冊期末（二）一、試解下列各題：1．求函數(shù)在點（1，1）沿與軸正向成角方向的方向?qū)?shù)。2．計算，其中是圓周。3．將函數(shù)展開成的冪級數(shù)并指出收斂域。4．求微分方程的通解。5．求微分方程的一個特解。二、求橢球面被平面截得的橢圓的長半軸與短半軸之長。三、函數(shù)由方程所確定，具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求。四、由曲面與所圍成立體為，其密度為1，求關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量。五、計算是由錐面，平面和所圍成的圓臺的側(cè)面的下側(cè)。六、計算曲線積分，式中是由點沿曲線至點的一段。七、設(shè)，是正項單調(diào)遞增數(shù)列，問級數(shù)何時收斂，何時發(fā)散？證明你的結(jié)論。八、設(shè)平面在平面和平面之間，它把平面與之間的距離分為，求平面的方程。參考答案：一、1．2．3．4．5．二、長半軸：，短半軸三、四、五、六、七、當(dāng)時原級數(shù)發(fā)散，否則原級數(shù)收斂。八、下冊期末（三）一、試解下列各題：1．求曲面上點（）處的切平面和法線方程。2．設(shè)，其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，求函數(shù)對于變量的全微分。3．設(shè)函數(shù)，而，其中均具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求。4．求由方程確定的函數(shù)的極大值或極小值。5．求微分方程的通解。二、求第一卦限中由曲面所圍成的立體的體積。三、設(shè)是沿動圓周逆時針方向，計算含曲線積分的極限。四、計算是球面的外側(cè)。五、計算，其中是。六、設(shè)（1）求收斂區(qū)間；（2）計算積分七、若，且，求及。八、設(shè)有一彈簧，其上端固定，已知當(dāng)彈簧上掛10克重的物體時，彈簧伸長了4.9厘米，現(xiàn)在把0.5公斤的物體掛在彈簧上，并由平衡位置再拉下4厘米后放手，求（1）物體的位移與時間的關(guān)系；（2九、設(shè)函數(shù)都是方程（1）的特解（其中為已知函數(shù)），且常數(shù)，證明：（其中為常數(shù)）為方程（1）的通解。十、若，且，試證明，若收斂，則也收斂。參考答案：一、1．切平面方程：，法線方程：2．3．4．為的極大值，為此函數(shù)的極小值。5．二、三、四、五、六、（2）七、八、（1）（米）（2）（米）（米/秒）（）下冊期末（四）一、設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。二、計算二重積分，其中是由兩直線及雙曲線所圍成的閉區(qū)域.三、求微分方程滿足初始條件的特解.四、求微分方程的通解.五、[8分]求冪級數(shù)的收斂域。六、[10分]利用格林公式計算曲線積分,其中為常數(shù)，為由點至原點的上半圓周。七、將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。八、設(shè)是周期為2的周期函數(shù)，它在上的表達式為，試將展開成傅氏級數(shù)，并指明展開式成立的范圍。九、計算曲面積分，其中是為上半球面下側(cè)。十、在平面上求一點，使該點與兩定點（）及的距離的平方和最小。十一、由物理學(xué)知道，質(zhì)量為而速度為的質(zhì)點的動能為。今有半徑為,密度為常量的勻質(zhì)球體，它繞過球心的定軸以勻角速度旋轉(zhuǎn)，求該球體的動能。參考答案：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一、

下冊期末（五）一、單項選擇題1．設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在上的表達式為，則展開為付里葉級數(shù)時的系數(shù)為：（）A．，B．，C．，2．微分方程的一個特解為：（）A．B．C．3．設(shè)二元函數(shù)，以下