2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)真題精練第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第12練利用導(dǎo)數(shù)證明不等式課件_第1頁(yè)
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第12練利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

【解析】1.

(1)第1步:求導(dǎo)f'(x)=aex-1,第2步:對(duì)a分類(lèi)討論,判斷f'(x)的符號(hào),得單調(diào)性當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)>0,得x>-lna,令f'(x)<0,得x<-lna,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增.綜上可得:當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增.

x(0,1)1(1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘極小值↗

【方法點(diǎn)津】差(比)值換元的目的是消參、減元,就是先根據(jù)已知條件(或極值點(diǎn))之間的關(guān)系構(gòu)建等式,然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之差(比)作為變量,從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.用t表示兩個(gè)極值點(diǎn)的差值或比值,進(jìn)而將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問(wèn)題求解.

【解析】所以當(dāng)0<x<1時(shí),F(x)<F(1)=0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)-f(2-x)<0成立,所以x1+x2>2成立.再證x1+x2<e:由(1)知,f(x)的極大值點(diǎn)為x=1,f(x)的極大值為f(1)=1,過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1)的直線方程為y=x,設(shè)f(x1)=f(x2)=m,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=x(1-lnx)>x,直線y=x與直線y=m的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m),則x1<m.欲證x1+x2<e,即證x1+x2<m+x2<f(x2)+x2<e,即證當(dāng)1<x<e時(shí),f(x)+x<e.

11[2022北京卷·20,15分,難度★★★★☆]已知函數(shù)f(x)=exln(1+x).(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)設(shè)g(x)=f

'(x),討論函數(shù)g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;(3)證明

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