北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練專題全等三角形模型-手拉手模型與半角模型(原卷版+解析)

全等三角形模型——手拉手模型與半角模型手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)，如圖所示結(jié)論：（1）△ABD≌△AEC（2）∠+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC變形：如圖，以的邊，為邊，向外作等邊和等邊，連接，相交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）求的度數(shù)．（3）求證：平分．（4）求證：．等邊和等邊如圖所示，連接與，證明：（1）；（2）與的夾角為；（3）延長線與的交點(diǎn)設(shè)為，求證：平分．（2021春?寧陽縣期末）如圖兩個(gè)等腰直角與，，連接，交于點(diǎn)．證明：（1）；（2）．如圖，兩個(gè)等腰與，連接，交于點(diǎn)，連接．求證：．如圖，兩個(gè)正方形和，連接與，二者相交于．問：（1）求證：．（2）與的關(guān)系？并說明理由．（3）求證：平分．（2021秋?南崗區(qū)校級期中）已知：，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，、交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過作于，在上取點(diǎn)，連接并延長至，使，連接，若，求的度數(shù)．（2021秋?天河區(qū)期末）是等邊三角形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)，，把沿對折，得到△．（1）如圖1，若，則．（2）如圖2，點(diǎn)在延長線上，且．①試探究，，之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說明理由．②若，，求的長．（用含的式子表示）半角模型圖形中，往往出現(xiàn)90°套45°的情況，或者120°套60°的情況。還有套的情況。求證的結(jié)論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形。旋轉(zhuǎn)移位造全等，翻折分割構(gòu)全等。截長法，補(bǔ)短法。（2021秋?東坡區(qū)期末）如圖，是邊長為6的等邊三角形，，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)角，使其兩邊分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則的周長是．已知，如圖，四邊形是正方形，、分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小明將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請按小明的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e與、的延長線交于點(diǎn)、，連接，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2020秋?荔灣區(qū)期末）如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，求證：．已知：邊長為1的正方形中，、分別是、上的點(diǎn)．（1）若，求證：；（2）若得周長為2，求的度數(shù)．（2020秋?新建區(qū)校級期中）（1）如圖（1），在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖（2），在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【感知】如圖①，點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，易證，進(jìn)而證得（不要求證明）【應(yīng)用】如圖②，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．求證：．【拓展】如圖③，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若，，則四邊形的周長為．問題背景：“半角問題”（1）如圖：在四邊形中，，，．，分別是，上的點(diǎn)．且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此“半角問題”的方法是：延長到點(diǎn)．使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：當(dāng)聰明的你遇到下面的問題該如何解決呢？（2）若將（1）中“，”換為．其它條件不變．如圖1，試問線段、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，請直接寫出線段、、它們之間的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）（4）如圖3，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點(diǎn)，且，試問線段、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．全等三角形模型——手拉手模型與半角模型手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)，如圖所示結(jié)論：（1）△ABD≌△AEC（2）∠+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC變形：如圖，以的邊，為邊，向外作等邊和等邊，連接，相交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）求的度數(shù)．（3）求證：平分．（4）求證：．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的關(guān)系得出即可；（3）過點(diǎn)作于，于，根據(jù)三角形面積公式和角平分線的性質(zhì)解答即可；（4）在上截取，連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）和是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，；（2），，，，；（3）過點(diǎn)作于，于，，，，，，，平分；（4）在上截取，連接，在與中，，，，，，，，即，是等邊三角形，，．等邊和等邊如圖所示，連接與，證明：（1）；（2）與的夾角為；（3）延長線與的交點(diǎn)設(shè)為，求證：平分．【分析】（1）根據(jù)和都是等邊三角形，即可得到，進(jìn)而得出；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到中，，進(jìn)而得到與的夾角為；（3）過作于，于，根據(jù)全等三角形的面積相等，即可得到，再根據(jù)于，于，可得平分．【解答】證明：（1）和都是等邊三角形，，，，，在和中，，，；（2），，又，，中，，即與的夾角為；（3）如圖，過作于，于，，，即，又，，又于，于，平分．（2021春?寧陽縣期末）如圖兩個(gè)等腰直角與，，連接，交于點(diǎn)．證明：（1）；（2）．【分析】（1）由兩個(gè)等腰直角與，可得，，，進(jìn)而得出，然后由即可判定，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)則可證得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余進(jìn)而證出即可得解．【解答】解：（1）證明：與是等腰直角三角形，，，且，，即，在與中，，，；（2）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，由（1）知，，，，，，，，．如圖，兩個(gè)等腰與，連接，交于點(diǎn)，連接．求證：．【分析】由“”可證，可得，，由面積公式可得，由角平分線的判定定理可得結(jié)論．【解答】證明：如圖，過點(diǎn)作于，于，，，在和中，，，，，，，又，，．如圖，兩個(gè)正方形和，連接與，二者相交于．問：（1）求證：．（2）與的關(guān)系？并說明理由．（3）求證：平分．【分析】（1）由四邊形與是正方形，可得，，進(jìn)而得出，，然后由即可判定；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)則可證得，，進(jìn)而證出即可；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積解答即可．【解答】（1）證明：四邊形和四邊形是正方形，，，且，，在與中，，，（2）解：，，理由如下：由（1）得：，，，，，；（3）證明：過點(diǎn)作于，于，如圖：，，，，，，平分．（2021秋?南崗區(qū)校級期中）已知：，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，、交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過作于，在上取點(diǎn)，連接并延長至，使，連接，若，求的度數(shù)．【分析】（1）證明即可；（2）作，，截取，證明，可推出，從而可證，進(jìn)而得證；（3）作于，作交于，作于，證明，可推出，進(jìn)而求得結(jié)果．【解答】（1）證明：如圖1，，，，，，，；（2）證明：如圖2，設(shè)與交于，作于，于，在上截取，，由（1）知：，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，即：；（3）解：如圖3，作于，作交于，作于，，，，，，，，，，，，，由（2）知：，，，，，，，，，，，，，，．（2021秋?天河區(qū)期末）是等邊三角形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)，，把沿對折，得到△．（1）如圖1，若，則．（2）如圖2，點(diǎn)在延長線上，且．①試探究，，之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說明理由．②若，，求的長．（用含的式子表示）【分析】（1）由是等邊三角形知，，由，知，，代入值即可；（2）①連接，在上取一點(diǎn)，使，根據(jù)證△，得，再證是等邊三角形，即可得出；②先證，即、、三點(diǎn)在同一直線上，得出，根據(jù)證△，得出，即可求出的值．【解答】解：（1）是等邊三角形，，，，，，，故答案為：；（2）①，理由如下：連接，在上取一點(diǎn)，使，是等邊三角形，，，，△，，，，，是等邊三角形，，，，即；②如下圖，由①知，，，由（1）知，，由折疊知，，，，，，點(diǎn)、、在同一直線上，即，由折疊知，，，，，，△，，由①知，，，，，，．半角模型圖形中，往往出現(xiàn)90°套45°的情況，或者120°套60°的情況。還有套的情況。求證的結(jié)論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形。旋轉(zhuǎn)移位造全等，翻折分割構(gòu)全等。截長法，補(bǔ)短法。（2021秋?東坡區(qū)期末）如圖，是邊長為6的等邊三角形，，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)角，使其兩邊分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則的周長是．【分析】要求的周長，根據(jù)題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來表示，所以需要作輔助線，延長至，使，連接，通過證明，及，從而得出，的周長等于的長．【解答】解：是等腰三角形，且，，是邊長為4的等邊三角形，，，延長至，使，連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，的周長是：．故答案為：12．已知，如圖，四邊形是正方形，、分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小明將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請按小明的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e與、的延長線交于點(diǎn)、，連接，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明即可；（2）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，交于點(diǎn)，證明即可求得．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可得，，，四邊形為正方形，，，，，，在和中，，，，，；（2）解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，如圖：同（1）可證得，，且，．（2020秋?荔灣區(qū)期末）如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，求證：．【分析】延長至，使，連接，先證，得，，再證，得，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】證明：延長至，使，連接，如圖所示：，，，在與中，，，，，，，，即，在與中，，，，，．已知：邊長為1的正方形中，、分別是、上的點(diǎn)．（1）若，求證：；（2）若得周長為2，求的度數(shù)．【分析】（1）延長到，使，連接，因?yàn)?，，，所以，則有，，又因?yàn)?，，所以，故，即；?）延長至，使，則，故，進(jìn)而求證，即可求得．【解答】（1）證明：延長到，使，連接，，，，，．，，，，，．，，．（2）解：如圖，延長到，使，連接，，，，，．，，，又，，．（2020秋?新建區(qū)校級期中）（1）如圖（1），在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖（2），在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）如圖（1）延長到，使，連接，，根據(jù)條件證明，得，，易證垂直平分線段，則，把問題轉(zhuǎn)化到中，由勾股定理可求解；（2）如圖（2），結(jié)論：．延長到，使，根據(jù)條件證明，則，再證明，從而得．【解答】證明：（1），理由如下：如圖（1）延長到，使，連接，，在與中，，，，，，又，垂直平分線段，，，，，在中，，；（2）如圖（2），結(jié)論：，理由如下：延長到，使，，又，，在和中，，，，，，在和中，，，，．【感知】如圖①，點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，易證，進(jìn)而證得（不要求證明）【應(yīng)用】如圖②，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．求證：．【拓展】如圖③，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若，，則四邊形的周長為．【分析】【應(yīng)用】如圖②中，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)．先證明，再證明，得到，由此即可證明．【拓展】如圖③中，如圖③中，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)．首先證明，由此即可計(jì)算四邊形的周長．【解答】【應(yīng)用】如圖②中，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)．四邊形為正方形，，．，．，．．在和中，，．，．，，．在和中，，．．，．【拓展】如圖③中，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)．，，，，．．在和中，，．，．，，．在和中，，．．，．四邊形的周長為，故答案為6.4問題背景：“半角問題”（1）如圖：在四邊形中，，，．，分別是，上的點(diǎn)．且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此“半角問題”的方法是：延長到點(diǎn)．使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：當(dāng)聰明的你遇到下面的問題該如何解決呢？（2）若將（1）中“，”換為．其它條件不變．如圖1，試問線段、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，請直接寫出線段、、它們之間的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）（4）如圖3，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點(diǎn)，且，試問線段、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）延長到點(diǎn)．使．連接，即