專(zhuān)題8-5條件概率與全概率公式貝葉斯公式8類(lèi)題型（原卷版）

專(zhuān)題85條件概率與全概率公式，貝葉斯公式8類(lèi)題型TOC\o"13"\n\h\z\u題型一利用定義求條件概率題型二條件概率的乘法公式應(yīng)用題型三古典概型中的條件概率題型四條件概率：“醫(yī)護(hù)”分配型題型五條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用題型六全概率公式及其應(yīng)用題型七全概率公式與構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)題型八貝葉斯公式及其應(yīng)用一．條件概率的基本性質(zhì)1、定義：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱(chēng)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率.2、對(duì)于古典概型類(lèi)，可以采用基本事件總數(shù)的方法來(lái)計(jì)算：即，其中N(AB)表示事件AB所包含的基本事件個(gè)數(shù)。N(A)表示事件A包含的基本事件個(gè)數(shù).3、乘法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若，則.4、條件概率的性質(zhì)：設(shè)，則（1）；（2）如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則；（3）設(shè)和互為對(duì)立事件，則5、兩點(diǎn)說(shuō)明（1）一般地，每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，這里所說(shuō)的條件概率是當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果的一部分信息已知（即在原隨機(jī)試驗(yàn)的條件上，再加上“某事件發(fā)生”的附加條件），求另一事件在此條件下發(fā)生的概率；（2）通常情況下，事件B在“事件A已發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率與沒(méi)有這個(gè)附加條件的概率是不同的。二．全概率公式1、定義：若樣本空間中的事件滿足：（1）任意兩個(gè)事件均互斥，即，．（2）．（3）．則對(duì)任意事件，都有，則稱(chēng)該公式為全概率公式2、全概率公式的來(lái)由：不難由看出，全概率被分解成了許多部分之和，它的理論和實(shí)用意義在于在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算不易，但總伴隨著某個(gè)出現(xiàn)，適當(dāng)去構(gòu)造這一組往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算。3、注意：（1）全概率公式是用來(lái)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題．（2）什么樣的問(wèn)題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式．4、另一個(gè)角度理解全概率公式（1）某一事件的發(fā)生有各種可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件發(fā)生的概率是.（2）每一個(gè)原因都可能導(dǎo)致發(fā)生，故發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生概率的總和，即全概率公式。（3）由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)。全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系。三．貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類(lèi)問(wèn)題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱(chēng)之為后驗(yàn)概率．（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．四．決條件概率問(wèn)題的步驟：第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“在……條件下”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率；題目中若沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時(shí)，也需注意是否為條件概率.若為條件概率，則進(jìn)行第二步，計(jì)算概率，這里有兩種思路.思路一：縮減樣本空間法計(jì)算條件概率.如求P(B|A)，可分別求出事件A，AB包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用公式計(jì)算；思路二：直接利用條件概率的計(jì)算公式計(jì)算條件概率，即先分別計(jì)算出P(AB)，P(A)，再利用公式計(jì)算.當(dāng)直接求事件A發(fā)生的概率不好求時(shí)，可以采用化整為零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式間接求出事件A發(fā)生的概率.重點(diǎn)題型·歸類(lèi)精重點(diǎn)題型·歸類(lèi)精練題型一利用定義求條件概率在不透明的盒子中放有大小、形狀完全相同的6張卡片，上面分別標(biāo)有編號(hào)1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號(hào)大于4就可以中獎(jiǎng)，已知第一次抽到卡片中獎(jiǎng)，則第二次抽到卡片中獎(jiǎng)的概率為（）A．B．C．D．袋中有個(gè)球，其中紅、黃、藍(lán)、白、黑球各一個(gè)，甲、乙兩人按序從袋中有放回的隨機(jī)摸取一球，記事件甲和乙至少一人摸到紅球，事件甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率（

）A． B． C． D．一個(gè)袋子中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些小球除顏色外沒(méi)有其他差異．從中不放回地抽取2個(gè)球，每次只取1個(gè)．設(shè)事件=“第一次抽到紅球”，=“第二次抽到紅球”，則概率是（

）A． B． C． D．袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個(gè)球，已知第一次摸到的是紅球，則第二次摸到白球的概率為（

）A． B． C． D．某學(xué)習(xí)小組共有10名成員，其中有6名女生，為學(xué)習(xí)期間隨時(shí)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，現(xiàn)隨機(jī)從這10名成員中抽選2名任小組組長(zhǎng)，協(xié)助老師了解學(xué)情，A表示“抽到的2名成員都是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則（）A．B．C．D．小明每天上學(xué)途中必須經(jīng)過(guò)2個(gè)紅綠燈，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個(gè)紅綠燈處遇到紅燈的概率是，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是，則在第一個(gè)紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個(gè)紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（）A．B．C．D．已知，，則.已知有兩箱書(shū)，第一箱中有3本故事書(shū)，2本科技書(shū)；第二箱中有2本故事書(shū)，3本科技書(shū)．隨機(jī)選取一箱，再?gòu)脑撓渲须S機(jī)取書(shū)兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書(shū)的條件下，第二次取到的也是科技書(shū)的概率為（

）A． B． C． D．題型二條件概率的乘法公式應(yīng)用已知，則．若，，，則；．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行兩次射擊時(shí)，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么她兩次均擊中9環(huán)的概率為（）A．0.24B．0.36C．0.48D．0.75盒中有個(gè)質(zhì)地，形狀完全相同的小球，其中個(gè)紅球，個(gè)綠球，個(gè)黃球；現(xiàn)從盒中隨機(jī)取球，每次取個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?則在此過(guò)程中沒(méi)有取到黃球的概率為.連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，觀察每次擲出的點(diǎn)數(shù).設(shè)事件A表示“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”，事件B表示“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的小1”，則，.題型三古典概型中的條件概率有甲乙丙丁4名人學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù)，志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個(gè)比賽項(xiàng)目的志愿服務(wù)，假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，求在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率（

）A． B． C． D．花店還剩七束花，其中三束郁金香，兩束白玫瑰，兩束康乃馨，李明隨機(jī)選了兩束，已知李明選到的兩束花是同一種花，則這兩束花都是郁金香的概率為_(kāi)_______．五一勞動(dòng)節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長(zhǎng)假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是題型四條件概率：“醫(yī)護(hù)”分配型我國(guó)派出醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國(guó)家，現(xiàn)有四個(gè)醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個(gè)需要援助的國(guó)家可供選擇，每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國(guó)家，設(shè)事件A＝“4個(gè)醫(yī)療小組去的國(guó)家各不相同”，事件B＝“小組甲獨(dú)自去一個(gè)國(guó)家”，則P（A|B）＝（

）A． B． C． D．將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C相互獨(dú)立C． D．A，B，C，D，E共5位教師志愿者被安排到甲?乙?丙?丁4所學(xué)校參加支教活動(dòng)，要求每所學(xué)校至少安排一位教師志愿者，且每位教師志愿者只能到一所學(xué)校支教，在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名教師志愿者的概率為.一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生3名女生，從中隨機(jī)選出2名參加交流會(huì)，在已知選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為．題型五條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（）A．B．C．D．設(shè)A，B是兩個(gè)事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．B．C．D．（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．已知?jiǎng)t（

）A． B． C． D．設(shè)A，B是兩個(gè)事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．已知隨機(jī)事件A，B的概率分別為，且，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C． D．已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則A，B對(duì)立C．若A，B獨(dú)立，則D．若A，B互斥，則題型六全概率公式及其應(yīng)用長(zhǎng)時(shí)間玩可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學(xué)生每天玩超過(guò)2h，這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從每天玩不超過(guò)2h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（

）A． B． C． D．設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?球，則取出的全是紅球的概率為_(kāi)_______________.設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（

）A． B． C． D．盒中有2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，2個(gè)白球，從中隨機(jī)地取出一個(gè)球，觀察其顏色后放回，并加入同色球1個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是紅球的概率是（）A． B．C．D．甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，丙袋中有4個(gè)白球和4個(gè)紅球．先隨機(jī)取一只袋，再?gòu)脑摯邢群箅S機(jī)取2個(gè)球，第一次取出的球是紅球的概率（）A．B．C．D．某人外出出差，委托鄰居給家里植物澆一次水，設(shè)不澆水，植物枯萎的概率為0.8，澆水，植物枯萎的概率為0.15.鄰居記得澆水的概率為0.9.則該人回來(lái)植物沒(méi)有枯萎的概率為（）A．0.785B．0.845C．0.765D．0.215某游泳小組共有20名運(yùn)動(dòng)員，其中一級(jí)運(yùn)動(dòng)員4人，二級(jí)運(yùn)動(dòng)員8人，三級(jí)運(yùn)動(dòng)員8人．現(xiàn)在舉行一場(chǎng)游泳選拔比賽，若一、二、三級(jí)運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率分別是0.9，0.7，0.4，則在這20名運(yùn)動(dòng)員中任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率為（）A．0.58B．0.60C．0.62D．0.64題型七全概率公式與構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)甲?乙?丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則6次傳球后球在甲手中的概率為（

）A． B． C． D．設(shè)有兩個(gè)罐子，罐中放有個(gè)白球、個(gè)黑球，罐中放有個(gè)白球，現(xiàn)在從兩個(gè)罐子中各摸一個(gè)球交換，這樣交換次后，黑球還在罐中的概率為．甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，則第4次傳球后球在甲手中的概率為.甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方接著擲．第一次由甲開(kāi)始擲，則第n次由甲擲的概率（用含n的式子表示）．某學(xué)校有、兩個(gè)餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會(huì)在這兩個(gè)餐廳中選擇一個(gè)就餐，如果甲當(dāng)天選擇了某個(gè)餐廳，他第二天會(huì)有的可能性換另一個(gè)餐廳就餐，假如第天甲選擇了餐廳，則第天選擇餐廳的概率為.甲、乙兩人玩一種游戲，游戲規(guī)則如下：放置一張紙片在地面指定位置，其中一人在固定位置投籃，若籃球被籃板反彈后擊中紙片，則本次游戲成功，此人繼續(xù)投籃，否則游戲失敗，換為對(duì)方投籃．已知第一次投籃的人是甲、乙的概率分別為和，甲、乙兩人每次游戲成功的概率分別為和．(1)求第2次投籃的人是甲的概率；(2)記第次投籃的人是甲的概率為，①用表示；②求．題型八貝葉斯公式及其應(yīng)用學(xué)校給每位教師隨機(jī)發(fā)了一箱蘋(píng)果，李老師將其分為兩份，第1份占總數(shù)的40％，次品率為5％，第2份占總數(shù)的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機(jī)拿了一