高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案第二章數(shù)列本章小結(jié)

本章小結(jié)一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與性質(zhì)等差數(shù)列、等比數(shù)列是高中階段學(xué)習(xí)的兩類特殊數(shù)列，有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的一些性質(zhì)的應(yīng)用在高考中經(jīng)常以選擇題、填空題出現(xiàn)，考查知識(shí)應(yīng)用的靈活性．[例1](1)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，公比q滿足q2＝4，則eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝________；(2)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a6＝9，則log3a1＋log3a2＋log3a3＋…[解析]在(1)中可先把eq\f(a3＋a4,a4＋a5)變形、化簡，再把公比代入．在(2)中可先把log3a1＋log3a2＋…＋log3(1)∵(a3＋a4)q＝a3q＋a4q＝a4＋a5，∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(1,q).而q2＝4，可知q＝2，∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(1,q)＝eq\f(1,2).(2)∵log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＝log3a1a2a3而a1a2a3…a8a9a10＝(∴l(xiāng)og3a1a2a3…a8a9a10＝log3(a5a6)[答案](1)eq\f(1,2)(2)10規(guī)律總結(jié)巧用等比數(shù)列的一些性質(zhì)解題，可使得問題計(jì)算簡化．[例2]已知a1＝2，點(diǎn)(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，其中n＝1,2,3，….(1)證明數(shù)列{lg(1＋an)}是等比數(shù)列；(2)設(shè)Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng)．[分析]把點(diǎn)(an，an＋1)代入f(x)，可得{an}的遞推式，再變形使之形成新的等比數(shù)列來求解．[解](1)證明：由已知an＋1＝aeq\o\al(2,n)＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋1>1，兩邊取對(duì)數(shù)得lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即eq\f(lg1＋an＋1,lg1＋an)＝2.∴{lg(1＋an)}是公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝lg32n－1，∴1＋an＝32n－1.∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320·321·322·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1.∴an＝32n－1－1.規(guī)律總結(jié)函數(shù)與數(shù)列結(jié)合的題目是高考的熱點(diǎn)之一，做這類題目的關(guān)鍵是利用函數(shù)關(guān)系得出數(shù)列的遞推關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列進(jìn)行求解．二、數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法1．觀察歸納法．觀察歸納法就是觀察數(shù)列的特征，找出各項(xiàng)共同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式．[例3]圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)第十一屆濟(jì)南全運(yùn)會(huì)吉祥物“泰山童子”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)“泰山童子”，則f(5)＝________.f(n)－f(n－1)＝________.[分析]本題考查邏輯歸納能力、分析問題和解決問題的能力，解法應(yīng)由特殊到一般．第一問可直接計(jì)算，第二問求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以通過轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為遞推公式來求解．[解析]第1個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：1；第2個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：1＋3＋1；第3個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：1＋3＋5＋3＋1；第4個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：1＋3＋5＋7＋5＋3＋1；第5個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41.即f(5)＝41.f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，f(5)－f(4)＝16，…∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)．[答案]414(n－1)2．累加法和累乘法．對(duì)于形如an＋1＝an＋f(n)的式子，一般轉(zhuǎn)化為an＋1－an＝f(n)，再用累加法求an.對(duì)于形如an＋1＝f(n)·an的式子，一般轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再用累乘法求an.[例4]數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝a1＋2a2＋…＋(n－1)·an－1(n≥2)，求an[解]an＝a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1an＋1＝a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＋nan∴an＋1－an＝nan；∴eq\f(an＋1,an)＝n＋1；注意n≥2，且a1＝1，a2＝1.∴an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a3,a2)＝n(n－1)·…·3.∴an＝eq\f(n！,2)(n≥2)．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,2)，n≥2，,1，n＝1.))3．形如：an＋1＝Aan＋D(A≠1，D≠0)的式子，構(gòu)造等比數(shù)列．[例5]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)證明：由已知有a1＋a2＝4a1解得a2＝3a1故b1＝a2－2a1又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知等比數(shù)列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,4)，因此數(shù)列{eq\f(an,2n)}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(3,4)的等差數(shù)列，eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)n－eq\f(1,4)，所以an＝(3n－1)·2n－2.4．根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an.利用公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))[例6](1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(1－2n,3)，求an.(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3＋2n，求an.[解](1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－eq\f(1,3).當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1－2n,3)－eq\f(1－2n－1,3)＝－eq\f(2n－1,3).∵當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝－eq\f(20,3)＝－eq\f(1,3)，∴an＝－eq\f(2n－1,3)(n∈N*)．(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋21＝5，上式中a1＝21－1＝1，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5n＝1，,2n－1n≥2.))規(guī)律總結(jié)已知Sn，求an，即已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，這里常常因?yàn)楹雎粤藯l件n≥2而出錯(cuò)，即an＝Sn－Sn－1求得an時(shí)的n是從2開始的自然數(shù)，否則會(huì)出現(xiàn)當(dāng)n＝1時(shí)Sn－1＝S0而與前n項(xiàng)和的定義矛盾，可見由此求得的an不一定是它的通項(xiàng)公式，必須驗(yàn)證n＝1時(shí)是否也成立，否則通項(xiàng)公式只能用分段函數(shù)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2))來表示．三、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用[例7]已知an＝eq\f(n－\r(96),n－\r(97))(n∈N*)，則在數(shù)列{an}的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是()A．a(chǎn)1，a30B．a(chǎn)1，a9C．a(chǎn)10，a9D．a(chǎn)10，a30[分析]數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)的圖象又是函數(shù)性質(zhì)的最好表現(xiàn)形式，所以借助數(shù)列的圖象研究數(shù)列的性質(zhì)是一種非常有效的方法，這也是數(shù)形結(jié)合思想的重要應(yīng)用．[解析]由于數(shù)列中的項(xiàng)是函數(shù)an＝f(n)圖象上一系列孤立的點(diǎn)，可由函數(shù)圖象來看數(shù)列項(xiàng)的大小變化，an＝1＋eq\f(\r(97)－\r(96),n－\r(97))的圖象為如圖所示的曲線，顯然a9最小，a10最大．故答案為C.[答案]C[例8]已知等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1>0，Sn是它的前n項(xiàng)和，且S3＝S10.問當(dāng)n等于多少時(shí)，Sn的值最大？最大值是多少？[解]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S3＝S10，得eq\f(3a1＋a1＋2d,2)＝eq\f(10a1＋a1＋9d,2)，則d＝－eq\f(1,6)a1.所以Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)