專題02排列與組合（2個知識點3個拓展2個突破5種題型2個易錯點）

專題02排列與組合（2個知識點3個拓展2個突破5種題型2個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.排列知識點2.組合拓展1.有限制條件的排列問題拓展2.有限制條件的組合問題拓展3.排列與組合的綜合問題突破1.分組與分配問題突破2.排列組合中的新概念創(chuàng)新題型【方法二】實例探索法題型1.排列數(shù)公式的應用題型2.排列的概念與簡單的排列問題題型3.特殊元素與特殊位置問題題型4“相鄰”與“不相鄰”問題題型5.“定序”問題題型6.組合概念的理解與簡單組合問題題型7.與組合數(shù)有關的計算題型8.“含”與“不含”問題題型9.相同元素分組分配問題題型10.排列組合的綜合應用【方法三】差異對比法易錯點1.不能正確理解題意致誤易錯點2.忽視排列數(shù)公式的隱含條件致誤【方法四】成果評定法【知識導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.排列一、排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．二、排列相同的條件兩個排列相同的充要條件：(1)兩個排列的元素完全相同．(2)元素的排列順序也相同．三、排列數(shù)的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．思考排列與排列數(shù)相同嗎？答案排列數(shù)是元素排列的個數(shù)，兩者顯然不同．二、排列數(shù)公式及全排列1．排列數(shù)公式的兩種形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).2．全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.例1．（2023上·高二課時練習）從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，任取2個不同的數(shù)字作為一個點的坐標，一共可以組成多少個不同的點？【答案】【分析】根據(jù)坐標由橫坐標和縱坐標組成，直接利用排列數(shù)即可求解.【詳解】因為坐標由橫坐標和縱坐標組成，且有一定的順序，所以由排列數(shù)的定義可得滿足條件的坐標有：個，故一共可以組成個不同的點.知識點2.組合一、組合及組合數(shù)的定義1．組合一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．二、排列與組合的關系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素無序關系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)間存在的關系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)三、組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知識點二組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).例2．（2023上·高二課時練習）判斷下列問題分別是排列問題還是組合問題：(1)從10名學生中任選5名去參觀一個展覽會，求有多少種不同的選法；(2)從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，每次任取2個不同的數(shù)作為一個點的坐標，求所有不同點的個數(shù)；(3)一個黃袋中裝有四張分別寫有1、3、5、7的卡片，另一個紅袋中裝有四張分別寫有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和有多少種；(4)有四本不同的書要分別送給四個人，每人一本，問一共有多少種不同的送法．【答案】(1)組合問題(2)排列問題(3)組合問題(4)排列問題【分析】利用排列組合的定義判斷即可.【詳解】（1）從10名學生中任選5名去參觀一個展覽會，選出的學生不用排序，所以這是組合問題.（2）從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，每次任取2個不同的數(shù)作為一個點的坐標，由于坐標有橫縱坐標之分，所以選出的2個不同的數(shù)需要排序，故這是排列問題.（3）從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，求這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和，因為加法滿足交換律，故選出的卡片不用排序，所以這是組合問題.（4）因為四本不同的書送給四個人，要求每人一本，所以這四本書需要排序，故這是排列問題.例3．（2023·全國·高二隨堂練習）（1）平面內(nèi)有兩組平行線，一組有條，另一組有條，不同組的平行線都相交，這些平行線一共構(gòu)成了多少個平行四邊形？（）（2）空間中有三組平行平面，第一組有個，第二組有個，第三組有個，不同組的平面都互相垂直．這些平行平面一共構(gòu)成了多少個長方體？（）【答案】（1）；（2）【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算以及平行四邊形、長方體的知識求得正確答案.【詳解】（1）平面內(nèi)有兩組平行線，一組有條，另一組有條，不同組的平行線都相交，則一共構(gòu)成個平行四邊形.（2）空間中有三組平行平面，第一組有個，第二組有個，第三組有個，不同組的平面都互相垂直．這些平行平面一共構(gòu)成個長方體.拓展1.有限制條件的排列問題1．（2023上·陜西漢中·高二西鄉(xiāng)縣第一中學?？茧A段練習）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？【答案】(1)576(2)144(3)960【分析】（1）由捆綁法即可得到結(jié)果；（2）由插空法即可得到結(jié)果；（3）結(jié)合捆綁法與插空法代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）先將4名女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個整體，再與3名男生進行排列，共有種排法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；（2）先將3名男生排好，共有種排法，在這3名男生中間以及兩邊的4個空位中插入4名女生，共有種排法，再由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；（3）先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，由于甲乙相鄰，則有種排法，最后將排好的甲乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空隙中，共有種排法，由分步計數(shù)原理，共有種排法.拓展2.有限制條件的組合問題2．（2023上·高二課時練習）某小組共有10名學生，其中女生3名．現(xiàn)任選2名代表，則至少有1名女生當選的選法有多少種？【答案】24【分析】先計算全部的選法，排除其中“沒有女生，即全部為男生”的選法，即可得到本題答案.【詳解】根據(jù)題意，從10名學生中選2名代表，有種選法，其中沒有女生，即全部為男生的選法，有種，則至少有一名女生的選法有種.拓展3.排列與組合的綜合問題3．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實驗中學?？茧A段練習）將4個編號為的小球放入4個編號為的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？【答案】(1)256（種）(2)24（種）(3)12（種）【分析】（1）由分步乘法計數(shù)原理求解即可；（2）根據(jù)排列的定義求解即可；（3）（方法1）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個結(jié)合組合知識求解；（方法2）根據(jù)隔板法求解.【詳解】（1）每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有種放法.（2）這是全排列問題，共有（種）放法.（3）（方法1）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個.由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有（種）放法.（方法2）恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有種選法，第二步在小球之間的3個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，有種方法，由分步計數(shù)原理得，共有（種）放法.突破1.分組與分配問題1．（2023上·全國·高三專題練習）將10個小球分別裝入3個不同的盒子中且每個盒子非空（即每個盒子至少裝1個小球）．問：有多少種不同的裝法？【答案】36【分析】利用隔板法進行求解.【詳解】將10個小球排成一排，在兩兩之間的9個間隙中任取兩個劃上豎線，這樣就將10個小球分成了3組，如圖所示．將每組小球按順序裝入3個盒子中，則劃豎線的方法數(shù)就等于題中所求的裝法數(shù)，共有種裝法．2．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習）名男生和名女生站成一排．(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？(4)男、女相間的站法有多少種？(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？【答案】(1)種(2)種(3)種(4)種(5)種【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；（3）按捆綁法排列即可；（4）按插空法排列即可；（5）按部分均勻的排列方法求解即可.【詳解】（1）先排甲有種，其余有種，共有種排法.（2）先排甲、乙，再排其余人，共有種排法.（3）把男生和女生分別看成一個元素，男生和女生內(nèi)部還有一個全排列，共種.（4）先排名男生有種方法，再將名女生插在男生形成的個空上有種方法，故共有種排法.（5）人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應一種符合條件的排法，故共有種排法．突破2.排列組合中的新概念創(chuàng)新題型3．（2023上·北京·高三北京市第三十五中學?？计谥校┰跀?shù)字的任意一個排列：中，如果對于，，有，那么就稱為一個逆序?qū)Γ浥帕兄心嫘驅(qū)Φ膫€數(shù)為．如時，在排列：3，2，4，1中，逆序?qū)τ?，，，，則．(1)設排列：，寫出兩組具體的排列，分別滿足：①，②；(2)對于數(shù)字1，2，…，n的一切排列，求所有的算術平均值；(3)如果把排列A：中兩個數(shù)字交換位置，而其余數(shù)字的位置保持不變，那么就得到一個新的排列，：，求證：為奇數(shù)．【答案】(1)①C：4，2，3，1

②C：2，4，3，1；(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)所給定義列舉出符合題意的排列即可；（2）考察排列D：與排列，因為數(shù)對與中必有一個為逆序?qū)Γㄆ渲校?，而排列中?shù)對共有個，即可得到，從而得解；（3）討論當，即相鄰時，當，即不相鄰時，由新定義，運用調(diào)整法，可得為奇數(shù)．【詳解】（1）①，則逆序?qū)τ?，，，，，則；②，則逆序?qū)τ校?，，，則；（2）考察排列D：與排列，因為數(shù)對與中必有一個為逆序?qū)Γㄆ渲校?，且排列中?shù)對共有個，所以．所以排列與的逆序?qū)Φ膫€數(shù)的算術平均值為．而對于數(shù)字1，2，…，n的任意一個排列：，都可以構(gòu)造排列，且這兩個排列的逆序?qū)Φ膫€數(shù)的算術平均值為．所以所有的算術平均值為．（3）證明：①當，即相鄰時，不妨設，則排列為，此時排列與排列：相比，僅多了一個逆序?qū)Γ?，所以為奇?shù)．②當，即不相鄰時，假設之間有個數(shù)字，記排列：，先將向右移動一個位置，得到排列，由①，知與的奇偶性不同，再將向右移動一個位置，得到排列，由①，知與的奇偶性不同，以此類推，共向右移動次，得到排列，再將向左移動一個位置，得到排列，，以此類推，共向左移動次，得到排列，，即為排列，由①可知僅有相鄰兩數(shù)的位置發(fā)生變化時，排列的逆序?qū)€數(shù)的奇偶性發(fā)生變化，而排列經(jīng)過次的前后兩數(shù)交換位置，可以得到排列，所以排列與排列的逆序數(shù)的奇偶性不同，所以為奇數(shù)．綜上，得為奇數(shù)．【點睛】關鍵點睛：對于新定義問題，解答的關鍵是理解定義，再利用相應的數(shù)學知識進行分析.【方法二】實例探索法題型1.排列數(shù)公式的應用1．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）（1）解關于x的不等式．（2）求等式中的n值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用排列數(shù)公式，化簡列出不等式求解即得.（2）利用組合數(shù)公式，化簡列出方程求解即得【詳解】（1）由，得，，于是，整理得，解得，所以.（2）原方程變形為，即，顯然，因此，化簡整理，得，而，解得，所以.題型2.排列的概念與簡單的排列問題2．多選題（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中?？计谀┘?，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，利用捆綁法求解判斷；對于B，分最左端排甲，和最左端排乙兩類求解判斷；對于C，根據(jù)甲乙不相鄰，利用插空法求解判斷；對于D，根據(jù)甲乙丙從左到右的順序排列，通過除序法求解判斷.【詳解】對于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有種，A正確；對于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有種排法；若最左端排乙，有種排法，合計不同的排法共有42種，B正確；對于C，甲乙不相鄰的排法種數(shù)有種，C不正確；對于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，D正確.故選：ABD題型3.特殊元素與特殊位置問題3．（2023上·江西宜春·高二江西省宜豐中學?？茧A段練習）（1）現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？（2）8個體育生名額，分配給5個班級，每班至少1個名額，有多少種分法？（3）要排一份有4個不同的朗誦節(jié)目和3個不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）.【分析】（1）利用捆綁法即可求得兩個女生相鄰的排法種數(shù)；（2）利用隔板法即可求得名額的分法種數(shù)；（3）利用插空法即可求得不同的排法種數(shù)；（4）按外科女醫(yī)生來或不來分類討論，再依據(jù)分步計數(shù)原理即可求得所有不同的派法種數(shù).【詳解】（1）兩個女生相鄰捆綁處理，有種；（2）將8個體育生名額排成一列，在形成的中間7個空隙中插入4塊隔板，所以不同的放法種數(shù)為；（3）第1步，先排4個朗誦節(jié)目共種；第2步，排說唱節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，從剩下4個空中選3個插空共有種，所以一共有=576種排法；（4）先分類：①若外科女醫(yī)生必選，則一組內(nèi)科4男選1，外科4男選1；另一組內(nèi)科3女中選1女，外科3男選2，共有種；②若外科女醫(yī)生不選，則一組內(nèi)科3女選1，外科4男選2；另一組內(nèi)科2女選1，外科2男選2，共有種；由于分赴甲乙兩地，所以共有種．題型4“相鄰”與“不相鄰”問題4．（2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習）用數(shù)字、、、、、組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)．(1)偶數(shù)不能相鄰，則不同的六位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)字表示）(2)若數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)，則不同的六位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）先將三個奇數(shù)進行排序，然后從三個奇數(shù)形成的個空位中選出個空位插入三個偶數(shù)，利用插空法可求得結(jié)果；（2）在數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，然后將這個整體與其余三個數(shù)字進行排列，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】（1）解：若六位數(shù)中，偶數(shù)不能相鄰，則先將三個奇數(shù)進行排序，然后從三個奇數(shù)形成的個空位中選出個空位插入三個偶數(shù)，所以，不同的六位數(shù)個數(shù)為.（2）解：在數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，有種，將這個整體與其余三個數(shù)字進行排列，滿足條件的六位數(shù)的個數(shù)為.題型5.“定序”問題5．（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學?？茧A段練習）（1）6名同學（簡記為，，，，，）到甲、乙、丙三個場館做志愿者.（i）一天上午有16個相同的口罩全部發(fā)給這6名同學，每名同學至少發(fā)兩個口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？（ii）每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且、兩人約定去同一個場館，、不想去一個場館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數(shù)？（2）某校選派4名干部到兩個街道服務，每人只能去一個街道，每個街道至少1人，有多少種方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（3）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串數(shù)依次為1，2，3.到了晚上，水果店老板要收攤了，假設每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)？（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60【分析】（1）（i）利用隔板法求解即可；（ii）把，視為一人，再把人按和分組，再分配即可；（2）把4名干部按和分成兩組，再分配到兩個街道列式計算作答；（3）根據(jù)給定條件，利用倍縮法列式計算作答.【詳解】（1）（i）16個相同的口罩，每位同學先拿一個，剩下的10個口罩排成一排有9個間隙，插入5塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個人即可，所以不同的發(fā)放方法種；（ii）把，視為一人，相當于把5個人先分成三組，再分配給三個場館，分組方法有兩類：第一類1，1，3，去掉，在一組的情況，有種分組方法，再分配給三個場館，有種方法，第二類1，2，2，去掉，在一組的情況，有種分組方法，再分配給三個場館，有種方法，所以不同的安排方法有種方法；（2）把4名干部按分成兩組，有種分組方法，按分成兩組，有種分組方法，所以4名干部按要求分到兩個街道的不同方法數(shù)是（種）；（3）依題意，6串香蕉任意收取有種方法，其中中間一列按從下往上有1種，占，最右一列按從下往上只有1種，占，所以不同取法數(shù)是（種）.題型6.組合概念的理解與簡單組合問題6．多選題（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜間值班工作由甲、乙、丙三人負責，每人負責其中的兩天，每天只需一人值班，則下列關于安排方法數(shù)的說法正確的有（

）A．共有90種安排方法B．甲連續(xù)兩天值班的安排方法有30種C．甲連續(xù)兩天值班且乙連續(xù)兩天值班的安排方法有18種D．甲、乙、丙三人每人都連續(xù)兩天值夜班的安排方法有6種【答案】ABD【分析】利用排列組合相關知識逐項分析即可.【詳解】對于A，首先任選2天安排甲值班，共種方法，再從剩下的4天中選2天安排乙值班，共種方法，最后安排丙，種方法，共計種方法，故A正確；對于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5種方法，再從剩余4天中選2天安排乙，剩下兩天安排丙，此步驟共種，共計種方法，故B正確；對于C，首先確定甲在乙之前還是之后，有2種方法，再討論丙值的兩天班是否連續(xù)，若連續(xù)，則從“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”對應的三個空檔中選擇一個，安排“丙丙”即可，此時有種方法，若不連續(xù)，則從“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”對應的三個空檔中選擇兩個，各安排一個“丙”即可，此時有種；綜上，符合題意的方法數(shù)為種，故C錯誤；對于D，只需將“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共種方法，故D正確.故選：ABD.題型7.與組合數(shù)有關的計算7．單選題（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過組合公式變形得，然后利用倒序相加求和即可.【詳解】由題可知通項公式，所以，同時，上述兩式相加得，所以，所以.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對組合公式的靈活應用，以及對倒序相加方法的靈活使用.題型8.“含”與“不含”問題8．（2024·全國·高三專題練習）某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種?(3)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?(4)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?【答案】(1)561(2)5984(3)2555(4)6090【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的應用從余下的34種商品中，選取2種即可由組合數(shù)得答案；（2）根據(jù)組合數(shù)的應用從余下的34種商品中，選取3種即可由組合數(shù)得答案；（3）由題意得選取2件假貨有種，選取3件假貨有種，根據(jù)加法計數(shù)原理得結(jié)論；（4）用間接法求解選取3件的總數(shù)有，去掉選出的均為假貨的情況，即可得結(jié)論.【詳解】（1）從余下的34種商品中，選取2種有（種），某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．（2）從34種可選商品中，選取3種，有（種）．某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．（3）選取2件假貨有種，選取3件假貨有種，共有選取方式（種）．至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．（4）選取3件的總數(shù)有，因此共有選取方式（種）．至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．題型9.相同元素分組分配問題9．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．16種【答案】B【分析】分甲、乙都不在天和核心艙和甲、乙恰好有一人在天和核心艙兩種情況求解可得.【詳解】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有種；第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有種，然后排問天實驗艙與夢天實驗艙有種，所以，甲、乙恰好有一人在天和核心艙共有種.綜上，甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗共有種.故選：B題型10.排列組合的綜合應用10．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）某醫(yī)療小組有4名男性，2名女性共6名醫(yī)護人員，醫(yī)護人員甲是其中一名．(1)若從中任選2人參加A，兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫(yī)護人員甲不參加項救護活動的選法種數(shù)；(2)這6名醫(yī)護人員將去3個不同的地方參與醫(yī)療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個地方，求不同的分配方案種數(shù)．【答案】(1)25(2)72【分析】（1）分類，按甲是否參加活動分兩類；（2）分步，第一步按排兩名女性，第二步按排與女性同去的男性，第三步剩余的兩名男性．【詳解】（1）分兩類：①甲參加項救護活動，再從其余5人中選一人參加A，選法數(shù)為，②甲不參加救護活動，則從其余5人中任選兩人參加救護活動，選法數(shù)為，所以共有選法種數(shù)為20+5=25；（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫(yī)護人員有：，第二步：安排兩名女醫(yī)護人員同去的男醫(yī)護人員有：，第三步：剩余兩名男性醫(yī)護人員去另外一地有：，所以共有不同的分配方案數(shù)為：．【方法三】差異對比法易錯點1.不能正確理解題意致誤1．（2024上·上海·高二?？计谀┠嘲嗉壴谟麓夯顒又羞M行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮垼褒垺笨ㄈ龔垼總€學生從卡箱中隨機抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“福”“龍”“迎”“春”張卡片，則額外獲得2分．(1)求學生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)；(2)求學生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識求得正確答案.（2）根據(jù)分的組合情況進行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】（1）學生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)為種.（2）學生乙最終獲得分，有兩種情況：①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數(shù)有種.②，抽到抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ椒〝?shù)有種.所以學生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)為種.易錯點2.忽視排列數(shù)公式的隱含條件致誤2．（2021上·高二課時練習）（多選題）當，且時，不可能取到（）A．60 B．240 C．2020 D．2040【答案】BCD【分析】由題意可知，當時，可判斷A選項；由，可判斷B選項；由，，可判斷C和D選項.【詳解】當時，，故A選項可取到；由于，，即，所以不可能取到240，故B選項取不到；由于，，即，，所以不可能取到2020，同時也不可能取到2040，故C和D選項都取不到，故選：BCD.【方法五】成果評定法_一、單選題1．（2023下·山東青島·高二?？茧A段練習）將參加數(shù)學競賽的20個名額分給9所學校，每所學校至少1個名額，則名額分配種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將問題等價于將排成一行的20個相同元素分成9份的方法數(shù)，利用隔板法進行求解即可.【詳解】問題等價于將排成一行的20個相同元素分成9份的方法數(shù)，相當于在20個相同元素的19個間隔（除去兩端）中插入8塊隔板隔成9份，故共有種方法，所以名額分配方式有種．故選：D.2．（2020·全國·模擬預測）某醫(yī)院派出了6名醫(yī)生和3名護士共9人前往某地參加救治工作.現(xiàn)將這人分成兩組分配到，兩所醫(yī)院，若要求每個醫(yī)院都至少安排2名醫(yī)生及1名護士，并且醫(yī)生甲由于工作原因只能派往醫(yī)院，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．30 B．60 C．90 D．150【答案】D【分析】由題意，第一步分配醫(yī)生：將醫(yī)生甲派往醫(yī)院，再往醫(yī)院安排1名醫(yī)生，則醫(yī)院4名，再往醫(yī)院安排2名醫(yī)生，則醫(yī)院3名，再往醫(yī)院安排3名醫(yī)生，則醫(yī)院2名，按照分類相加原理可知分配醫(yī)生有種方法；第二步分配護士有種方法；第三步將護士分配到醫(yī)院有種方法，按照分步相乘原理即可得解.【詳解】第一步：按題意6名醫(yī)生有3種分配情況，醫(yī)院2名，醫(yī)院4名，醫(yī)院3名，醫(yī)院3名，醫(yī)院4名，醫(yī)院2名，共有種分配方案；第二步：按題意將3名護士分成一組1名，一組2名，有種分配方案，第三步：兩組護士分別分配給兩個醫(yī)院有種分配方案故不同的分配方案種數(shù)為，故選：D.【點睛】思路點睛：本題考查排列組合與分步乘法計數(shù)原理，解決排列組合問題的一般過程：（1）認真審題弄清楚要做什么事情；（2）要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素.3．（2021下·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學?？茧A段練習）有4本不同的書A?B?C?D，要分給三個同學，每個同學至少分一本，書A?B不能分給同一人，則這樣的分法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【分析】先把4本書分成3組，再分給3個同學，最后去掉A?B分給同一人的分法即可得解.【詳解】把4本不同的書分成3組，其中一組兩本，另兩組各一本，有種分法，再把3組書分給三個同學，有種給法，不同分法數(shù)共有，書A?B分給同一人的分法數(shù)有，所以符合要求的不同分法數(shù)共有種.故選：C4．五名同學站成一排，若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的站法有（

）A．36種 B．60種 C．72種 D．108種【答案】A【分析】應用間接法，用甲與乙相鄰的情況數(shù)減去其中甲丙相鄰的情況數(shù)即可.【詳解】甲與乙相鄰（不考慮丙的位置）減去甲乙相鄰且甲丙相鄰的情況：種.故選：A5．若，則的值為（）A．1或2 B．3或4 C．1或3 D．2或4【答案】D【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解：由，所以或，解得或；故選：D．6．（2023下·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谥校┈F(xiàn)有甲、乙等5名醫(yī)務人員參加某小區(qū)社區(qū)志愿服務活動，他們被分派到核酸檢驗和掃碼兩個小組，且這兩個組都至少需要2名醫(yī)務人員，則甲、乙兩名醫(yī)務人員不在同一組的分配方案有（）A．8種 B．10種 C．12種 D．14種【答案】C【分析】先分類，再分步，利用兩個計數(shù)原理計數(shù)可得結(jié)果.【詳解】若核酸檢驗組分配人，掃碼組分配人，先分配甲、乙，有種，再從剩下的人選一人分到核酸檢驗組，有種，其余人分到掃碼組，因此共有種；若核酸檢驗組分配人，掃碼組分配人，同理可得共有種，所以甲、乙兩名醫(yī)務人員不在同一組的分配方案有種.故選：C7．（2023下·北京豐臺·高二北京市第十二中學校考期中）把名新生安排到某個班級，要求每個班級至少有一名新生，則不同的安排方式共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】要求每個班級至少有一名新生，所以先從人的個數(shù)分三組，則有兩類情況，求出所有的組數(shù)，再對三組進行排序即可.【詳解】解：把名新生安排到某個班級，要求每個班級至少有一名新生，從人的個數(shù)有組分法，即，，和，，兩種分法.若分成人，人，人，則共有分組方法，若分成人，人，人，則共有分組方法，將分好的三組安排到三個班級中共有種排法，所以所有的安排方法共有種安排方法.故選：.8．將5名報名參加運動會的同學分別安排到跳繩、接力、投籃三項比賽中（假設這些比賽都不設人數(shù)上限），每人只參加一項，則共有種不同的方案；若每項比賽至少要安排一人時，則共有種不同的方案，其中的值為（

）A．543 B．425 C．393 D．275【答案】C【分析】根據(jù)題意，5名同學中每人有3種報名方法，由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案，第二種先分組再排列，即可得解．【詳解】5名同學報名參加跳繩、接力、投籃三項比賽，每人限報一項，每人有3種報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，種，當每項比賽至少要安排一人時，先分組有+種，再排列有種，所以種，所以．故選：C．二、多選題9．（2023下·高二課時練習）某校的高一和高二年級各10個班級，從中選出五個班級參加活動，下列結(jié)論正確的是（

）A．高二六班一定參加的選法有種B．高一年級恰有2個班級的選法有種C．高一年級最多有2個班級的選法為種D．高一年級最多有2個班級的選法為種【答案】BCD【分析】對于AB根據(jù)組合知識即可驗證，對于CD先用組合知識求出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，再根據(jù)分類加法原則得出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，兩者相等得出，再得出高一年級最多有2個班級的選法即可驗證.【詳解】對于A：高二六班一定參加的選法有種，故A錯誤；對于B：高一年級恰有2個班級的選法有種，故B正確；對于C與D：從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，其中若高一年級0個，高二年級5個，有種，其中若高一年級1個，高二年級4個，有種，其中若高一年級2個，高二年級3個，有種，其中若高一年級3個，高二年級2個，有種，其中若高一年級4個，高二年級1個，有種，其中若高一年級5個，高二年級0個，有種，則，則，而高一年級最多有2個班級的選法為種，故C與D都正確；故選：BCD.10．（2022·高二單元測試）某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35B．若物理和化學至少選一門，則選法種數(shù)為30C．若物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為30D．若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為20【答案】ACD【分析】A選項，直接利用組合知識進行求解；B選項，分物理和化學選一門和物理、化學都選，兩種情況下利用組合知識求出選法，求和即可；C選項，先求出物理和歷史同時選的選法，從而求出物理和歷史不能同時選的選法；D選項，只選物理，不選化學，只選化學，不選物理，物理、化學都選，三種情況下的選法求和即可.【詳解】對于A，選法種數(shù)為，故A正確．對于B，若物理和化學選一門，其余兩門從剩余的五門中選，有種選法；若物理和化學都選，剩下一門從剩余的五門中選，有種選法．故共有種選法，故B錯誤．對于C，物理和歷史同時選，有種選法，故不同時選的選法種數(shù)為，故C正確．對于D，只選物理，不選化學，則歷史也不選，有種選法；只選化學，不選物理，有種選法；若物理、化學都選，則歷史不選，有種選法．故共有種選法，故D正確．故選：ACD．11．（2023下·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級中學校考期中）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可判斷A；利用排列數(shù)公式計算可判斷B，D；用特值法可判斷C.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，故A正確；∵，故B正確；當時，，此時，故C錯誤；∵，∴，故D正確.故選：ABD.12．（2023下·重慶渝北·高二重慶市渝北中學校校考階段練習）某中學共有三棟女生宿舍樓，分別為1號樓、2號樓、3號樓，學校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教師去這三棟宿舍樓協(xié)助宿管阿姨值守，每棟宿舍樓至少安排一名教師，每名教師只能去其中一棟樓，則下列說法正確的是（

）．A．共有300種不同的安排方法B．若其中1號樓需要有兩名教師去，則共有60種不同的安排方法C．若甲、乙兩名教師不能去同一棟宿舍樓，則共有114種不同的安排方法D．若學校新購入25個相同型號的滅火器，準備全部分配給這三棟女生宿舍樓作為應急使用，每棟宿舍樓至少6個，則共有15種不同的分配方法【答案】BC【分析】利用分類加法計數(shù)原理結(jié)合排列組合問題求出不同安排方法數(shù)判斷A；求出1號樓去2人的安排方法數(shù)判斷B；利用排除法求出甲乙去同一棟樓的安排方法數(shù)判斷C；利用隔板法求出不同分配方法數(shù)判斷D作答.【詳解】對于A，5名教師按去到三棟樓有種方法；按去到三棟樓有種方法，因此不同的安排方法種數(shù)是，A錯誤；對于B，取2名教師去1號樓，不同的安排方法種數(shù)是，B正確；對于C，甲乙兩名教師去同一棟樓，另3名教師去另兩棟樓有種，另3名教師去三棟樓有種，則不同的安排方法種數(shù)是，由選項A知，共有種不同安排方法，所以甲、乙兩名教師不能去同一棟宿舍樓，安排方法種數(shù)是，C正確；對于D，每棟樓先放5個滅火器，再將余下10個滅火器排成一排，在9個間隙中插入2塊板子，有種，D錯誤.故選：BC三、填空題13．（2022上·貴州畢節(jié)·高三校聯(lián)考階段練習）由6位專家組成的團隊前往某地進行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有種.【答案】480【分析】由排列組合采用插空法，再利用分步乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果【詳解】先除去甲乙，另外4位專家排成一排，站法共有種，4位專家排成一排后形成5個空，將甲乙插入這五個空中，共有種，由分步乘法計數(shù)原理得種，即不同的站法有480種，故答案為：48014．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）某高校開設了乒乓球，羽毛球，籃球，小提琴，書法五門選修課程可供學習，要求每位同學每學年至多選2門，該校學生小明想用前3學年將五門選修課程選完，則小明的不同選修方式有種.（用數(shù)字作答）【答案】90【分析】根據(jù)給定條件，將五門選修課按分成3組，再分配到3學年作答.【詳解】由題意，前三年修完5門選修課程，每學年至多選2門，則小明同學每年所修課程數(shù)為1，2，2，先將5門學科按1，2，2分成三組，有種方法，再分到這三個學年，有種不同方法，由分步乘法計數(shù)原理得，不同選修方式共有種.故答案為：9015．已知，則.【答案】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式可得出關于的等式，分析可知且，即可解得的值.【詳解】因為，則且，則，即，解得.故答案為：.16．（2023下·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習）有6個匣子，每個匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用，如果在每一個匣子內(nèi)各放入一把鑰匙，然后把匣子全部鎖上，要求砸開一個匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余5個匣子，那么鑰匙的放法有種．【答案】120【分析】根據(jù)題意，每個盒子都不能存放打開本身的鑰匙，結(jié)合環(huán)狀排列，計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，假設6個盒子為，，，，，，要求砸開一個匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余5個匣子，即在砸開的匣子中必放有另一個匣子的鑰匙，依次類推，打開所有的盒子，則原問題相當于由，，，，，形成一個環(huán)狀排列，反過來，對由于，，，，，排成的每一種環(huán)狀排列，也就可以對應成一種相繼打開各個匣子的一種放鑰匙的方法，先讓6個匣子沿著圓環(huán)對號入座，再在每個匣子中放入其下方的匣子的鑰匙，這就得到種相繼打開各個匣子的放鑰匙的方法．所以，可使所有匣子相繼打開的放鑰匙的方法數(shù)恰與，，，，，的環(huán)狀排列數(shù)相等，由于個元素的環(huán)狀排列數(shù)為種，則鑰匙的放法有種．故答案為：120．四、解答題17．（2023下·北京東城·高二統(tǒng)考期末）某學校舉行男子乒乓球團體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩支決賽的隊伍依次進行三場比賽，其中前兩場為男子單打比賽，第三場為男子雙打的比賽，每位出場隊員在決賽中只能參加一場比賽.某進入決賽的球隊共有五名隊員，現(xiàn)在需要提交該球隊決賽的出場陣容，即三場比賽的出場的隊員名單.(1)一共有多少種不同的出場陣容？(2)若隊員A因為技術原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場陣容？【答案】(1)60(2)36【分析】（1）根據(jù)分步計數(shù)原理，先安排前兩場比賽人員，再安排第三場的比賽人員；（2）從隊員A上場和不上場來分類，分別求解，再利用分類加法原理可得答案.【詳解】（1）出場陣容可以分兩步確定：第1步，從5名運動員中選擇2人，分別參加前兩場男單比賽，共有種；第2步，從剩下的3名運動員中選出兩人參加男雙比賽，共有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的出場陣容種數(shù)為.（2）隊員A不能參加男子雙打比賽，有兩類方案：第1類方案是隊員A不參加任務比賽，即除了隊員A之外的4人參加本次比賽，只需從4人中選出兩人，分別取參加前兩場單打比賽，共有種，剩余人員參加雙打比賽；第2類方案是隊員A參加單打比賽，可以分3個步驟完成：第1步，確定隊員A參加的是哪一場單打比賽，共2種；第2步，從剩下4名隊員中選擇一名參加另一場單打比賽，共4種；第3步，從剩下的3名隊員中，選出兩人參加男雙比賽，共有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，隊員A參加單打比賽的不同的出場陣容有