數(shù)值線性代數(shù)課程設(shè)計(jì)-代數(shù)

《數(shù)值代數(shù)》課程設(shè)計(jì)TOC\o"1-3"\h\z評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) (1.16)可以改寫(xiě)為：其中稱作是超松弛法的迭代矩陣。下面我們來(lái)研究SOR的收斂性判別和松弛參數(shù)的選取范圍。定理7SOR收斂的充分和必要條件是。定理8SOR收斂的必要條件是。因?yàn)镾OR的譜半徑依賴于，當(dāng)然應(yīng)適中選取使收斂速度最快，這就是選最正確松弛因子的問(wèn)題。其中最正確松弛因子，其中是Jacobi迭代矩陣。利用SOR迭代法求解方程組的結(jié)果如有圖：此方法的迭代次數(shù)為：62次。2.4討論通過(guò)比擬運(yùn)用Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代以及帶有最正確松弛因子SOR迭代法解線性方程組可知：SOR迭代法的收斂速度要比Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收斂速度快得多。3、結(jié)論本文利用Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代以及帶有最正確松弛因子SOR迭代法通過(guò)mathcad分別對(duì)線性方程組進(jìn)行了求解。研究說(shuō)明，利用mathcad，只需要編寫(xiě)簡(jiǎn)單的幾行程序即可實(shí)現(xiàn)方便快速地計(jì)算出線性方程組的解，且精度完全能夠滿足要求。通過(guò)編制的程序使得計(jì)算更方便、直觀，我們可以直觀地從圖像中看出各種方法的收斂情況，為我們的研究提供了方便。參考文獻(xiàn)【1】徐樹(shù)方，高立，張平文。數(shù)值線性代數(shù)。北京：北京大學(xué)出版社，2007【2】JamesW.Demmel。應(yīng)用數(shù)值線性代數(shù)。北京：人民郵電出版社，2007附錄求解的程序如下：用Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代以及帶有最正確松弛因子SOR迭代法求解方程組的程序如下：參考論文4病態(tài)線性方程組的簡(jiǎn)單迭代解法(信息與計(jì)算科學(xué)2班——0640501212——凌宏杰)【摘要】針對(duì)我們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常碰到病態(tài)線性方程組的解的問(wèn)題。本文提出了一種簡(jiǎn)單迭代(sI)算法，從理論上證明了解序列收斂且收斂到方程組的真解，然后給出了一個(gè)算例，將計(jì)算結(jié)果與對(duì)付病態(tài)問(wèn)題能力很強(qiáng)的CG類算法的結(jié)果進(jìn)行了比照，結(jié)果說(shuō)明：SI算法具有極強(qiáng)的抗病態(tài)能力，計(jì)算精度明星高于CG類算法，但計(jì)算速度輔低于后者?！娟P(guān)鍵字】病態(tài)問(wèn)題SI算法CG類算法解的收斂性計(jì)算速度計(jì)算精度病態(tài)線性方程組的簡(jiǎn)單迭代解法。給出系統(tǒng)Ax=b，其中矩陣A近似奇異，用以下迭代法求解：其中為非零常數(shù)，為單位矩陣。根本要求：取A為n=100階Hibert矩陣，解x為上正弦函數(shù)的值：，i=0,1,2,…,n，b取為。用上述迭代法，以及CGLS、QR分解、Gauss方法、Cholesky分解求解，比擬計(jì)算結(jié)果。對(duì)于上述迭代求解過(guò)程，我們有下面的定理：對(duì)零初始解，當(dāng)時(shí)，解序列收斂，且收斂到方程(1)的真解。證明：考慮線性方程組〔1〕迭代公式：〔2〕由條件有：〔3〕利用式(2)可以得到：〔4〕同樣有：上式兩端左乘A，并利用式(4)得到：〔5〕用同樣的方法不難得到：〔6〕用A左乘上式兩端得到：〔7〕將式(3)代人式(2)有：〔8〕將式(8)代人式(7)得到：〔9〕由上式可知，當(dāng)時(shí)．只要k足夠大，就有，從而有：〔10〕對(duì)于病態(tài)方程組有：從而由式(10)有：〔11〕此即證明了解序列收斂?，F(xiàn)在證明解序列收斂到方程(1)的真解。令解序列收斂到，即當(dāng)k足夠大時(shí)下式成立〔12〕將上式代人式(2)，得到：〔13〕將式(1)和式(13)比照可知．即等于方程(1)的真解證畢。上述定理說(shuō)明：本文給出的選代算法不僅保證解序列收斂，而且可以保證解序列收斂到問(wèn)題的真解，顯然這是非常有用的，但這一優(yōu)良特點(diǎn)卻是CG類算法所不具備的迭代算法〔SI〕：?jiǎn)挝痪仃嚕悍橇愠?shù)：迭代公式：迭代的結(jié)果如下：圖形的表示如圖〔a1〕：圖〔a1〕當(dāng)非零常數(shù)時(shí)，迭代公式的圖形表示如圖〔a2〕：不同的值，它們之間的誤差為：如圖〔a3〕：備注：圖〔a3〕中表示的為非零常數(shù)=0.0001的情況，表示的為非零常數(shù)=1的情況.由于線性方程組是病態(tài)的且100階矩陣過(guò)大；導(dǎo)致QR分解、Gauss方法、Cholesky分解均無(wú)法對(duì)其進(jìn)行求解。應(yīng)用共軛梯度法〔CGLS〕和最速下降法對(duì)其求解。代碼如下：共軛梯度：最速下降：求解x:共軛梯度法求解線性方程組的結(jié)果如下:最速下降法求解線性方程組的結(jié)果如下：對(duì)應(yīng)的圖形為圖〔b〕對(duì)應(yīng)的圖形為圖〔c〕圖〔c〕圖〔b〕分析共軛梯度法和最速下降法求解線性方程組的解與迭代法所求的結(jié)果之間的誤差：共軛梯度法和迭代法之間的誤差情況如圖〔e〕最速下降法和迭代法之間的誤差情況如圖〔f〕。圖〔e〕圖〔f〕通過(guò)上面的兩個(gè)圖形我們很容易的看出共軛梯度法和迭代法求得的解比擬接近與最速下降法和迭代法的解之間的比擬。下面我們來(lái)看一下最速下降法和共軛梯度法之間的誤差情況：如圖〔g〕。比擬迭代法與共軛梯度法和最速下降法的收斂速度：迭代法的收斂速度在很大的程度上取決于的大小，當(dāng)?shù)闹祲蛐r(shí)，可以在很大程度上提升SI算法的收斂速度和提高精度?！?)SI算法的計(jì)算結(jié)果在的上升和下降過(guò)程非?？?，而CG算法結(jié)果那么相比之下緩慢得多〔2〕本文算法采用不對(duì)分尋優(yōu)法，且適時(shí)對(duì)誤差進(jìn)行修正，因此具有一定的處理誤差積累的功能，防止發(fā)生：隨著迭代的進(jìn)行，問(wèn)題的搜索區(qū)域?qū)⑹フ嬲淖顑?yōu)點(diǎn)，最終結(jié)果是搜索區(qū)域的當(dāng)量直徑到達(dá)了收斂準(zhǔn)那么，但算法給出的點(diǎn)卻偏離了正確的解圖〔g〕通過(guò)上述研究，我們得到以下結(jié)論：(1)本文提出的求解病態(tài)方程的簡(jiǎn)單迭代算法(SI)，其解序列收斂，且收斂到原方程的真解上。(2)與目前求解病態(tài)問(wèn)題效果較好的CG類方法相比，SI法的計(jì)算精度明顯高于后者，在計(jì)算速度上兩者差異不大。參考文獻(xiàn)棲文