2023-2024學(xué)年上海市青浦高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市青浦高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題(第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，共54分)

1.等差數(shù)列｛為｝首項(xiàng)為2,公差為2,則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為例=

【正確答案】2〃

【分析】直接根據(jù)基本量寫出等差數(shù)列通項(xiàng)公式

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛見｝的公差為"，由題意，α,ι=2+(π-1)×2=2?.

故2〃

2.兩數(shù)1與4的等比中項(xiàng)為

【正確答案】±2

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的概念進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】1與4的等比中項(xiàng)為±Ji74=±2.

故答案為.±2

3.將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)：0,23=(循環(huán)節(jié)為23)

23

【正確答案】—

99

【分析】利用無窮等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解

【詳解】根據(jù)b∣<l時(shí)，q+αq+…6/'"+…=言可得:

…1102323

0.23=0.23+0.23X——+0.23×―→???=°:二—

100IO(T1199.

100

故2,3

99

4.無論我們對(duì)函數(shù)y=e'求多少次導(dǎo)數(shù)，結(jié)果仍然是它本身；這就像我們?cè)谏钪袩o論遇到多少艱難險(xiǎn)阻,

都要，堅(jiān)持自我，按照自己制定的目標(biāo)，奮勇前行！已知函數(shù)/(x)=x?ejt,則它的導(dǎo)函數(shù)/'(X)=

【正確答案】(l+χ)ev

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的乘法法則，計(jì)算即可得出答案.

【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，

可知(X.e)'=/?e`+X?(e`j=(1+X)er，

所以，∕,(x)=(l+x)ev.

故答案為.(l+x)ev

5.設(shè)函數(shù)/(X)=中，則/'(D=

【正確答案】1

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)?(X)=叱，所以/'(X)=匕學(xué)，所以/，(1)=匕詈=1；

XX1

故1

(

6.函數(shù)/(x)=SinX在π處的切線方程為____

\62)

【正確答案】也—昱4

2122

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)切點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，由點(diǎn)斜式寫出方程.

【詳解】/(x)=SinX,則f'(x)=cosx,于是在處的切線斜率為/且，故切線方程為:

162J<6J2

7.二項(xiàng)式(l+x)5的展開式中，所有的系數(shù)之和為

【正確答案】32

【分析】令X=1,即可得出答案.

【詳解】令x=l,

即可得出二項(xiàng)式展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為25=32?

故答案為.32

8.某同學(xué)有4本相同的小說書，1本散文書.從中取出4本書送給4個(gè)朋友，每人1本，則不同的贈(zèng)法有

______種

【正確答案】5

【分析】根據(jù)題意，分為選出的4本書都是相同的小說書和選出的4本書中3本相同的小說和1本散文書,

兩種情況，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【詳解】若選出的4本書都是相同的小說書時(shí)，此時(shí)只有1中贈(zèng)法；

若選出的4本書中3本相同的小說和1本散文書時(shí)，有4中不同的贈(zèng)法，

由分類計(jì)數(shù)原理得，共有1+4=5種不同的贈(zèng)法.

故答案為.5

9.數(shù)列｛4,,｝滿足：4=1,a2-3,且α.+2=a“+i—α,,〃eN〃>O,則該數(shù)列前IOO項(xiàng)和岳皿=

【正確答案】5

【分析】根據(jù)遞推公式求得數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察可得｛/｝是以6為周期的數(shù)列.進(jìn)而求出

ai+a2+ai+a4+a5+a6^0,即可根據(jù)周期性得出答案.

【詳解】由已知可得，α3=2,α4=-1,as--3,aβ--2,

dZ7=1=6Z1,4=3=%，Qg=2=?，

所以，｛《,｝是以6為周期的數(shù)列.

又％+&+/+。4++。6=0，

所以，

Slofl=q+。2++。4+4+。6+L+。99+°100=16(tZ∣+<7,+e?+∏4+ɑ?+《)+。］++/+%

=1+3+2-1=5.

故5.

10.星期一小明在參加數(shù)學(xué)期中考試，那么再過2∣°°天后是星期(填一、二、三、四、五、六、日)

【正確答案】三

【分析】化簡(jiǎn)2∣°°=(23)33?2=(7+1)33?2,結(jié)合二項(xiàng)展開式求得除以7的余數(shù)，即可求解.

【詳解】由題意，可得2K)°=(23)33?2=(7+l)33?2.

又由(7+1)33.2=2?(Cj7"+C372+???+C*7+l),

所以2網(wǎng)除以7的余數(shù)為2,所以再過2項(xiàng)天后是星期三.

故三

11.(I+'+2//的展開式中，含有d的項(xiàng)為

【正確答案】195X4

【分析】(l+x+2χ2)*i表示有6個(gè)(1+X+2/)因式相乘，根據(jù)的來源分析即可.

【詳解】(1+X+2∕)6表示有6個(gè)(1+X+2/)因式相乘，/可能來源如下：

(1)有4個(gè)0+x+2χ2)提供X,剩下的2個(gè)提供常數(shù)1,此時(shí)/系數(shù)是C：=15；

(2)有2個(gè)(l+x+2χ2)提供2f,剩下的4個(gè)提供常數(shù)1，此時(shí)一系數(shù)是22χCj=60;

⑶有2個(gè)(1+X+2/)提供X,1個(gè)提供2χ2,1個(gè)提供常數(shù)1,此時(shí)一系數(shù)是c；Xc(X2=120；

于是￡?的系數(shù)為15+60+120=195,含有√t的項(xiàng)為195/.

故195χ4

12.某數(shù)學(xué)興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊(cè)》中數(shù)列的課后閱讀之后，對(duì)斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了濃厚

的興趣.書上說，斐波那契數(shù)列｛月｝滿足：G=K=ι,E,=￡I+E-2(〃N3),｛月｝的通項(xiàng)公式為

1Γfl+Mfl-√5Yl

F,,=J=-?-——六?在自然界，兔子的數(shù)量，樹木枝條的數(shù)量等都符合斐波那契數(shù)列.該

學(xué)習(xí)興趣小組成員也提出了一些結(jié)論：

①數(shù)列｛Λ,+l-4,｝是嚴(yán)格增數(shù)列：②數(shù)列｛月｝的前〃項(xiàng)和S,滿足S,,=Fn+2-ι..

③k+可+…+咒=工耳…?F1F2+F2F3+.→F2n,iF2n=(F2n+2γ.

那么以上結(jié)論正確的是(填序號(hào))

【正確答案】②③

【分析】根據(jù)數(shù)列的特征以及遞推公式，即可判斷①；由已知可得月+1-月=EI,累加法即可得出②：

=FxF2,變形可得〃22時(shí)?，F(xiàn)：=F"F“.「F,iF”,然后累加，即可得出③；舉例〃=1,驗(yàn)證，即可

判斷④.

【詳解】對(duì)于①，由題意可知，F(xiàn)2-Fy=0,Fi-F2=Fi-l,F4-F3-F2=1.

由已知￡>0,則當(dāng)〃≥2時(shí)，｛￡｝單調(diào)遞增.

所以，〃23時(shí)，由已知"+「耳,=41可知，｛4用―工｝單調(diào)遞增，且工一工一>0.

所以數(shù)列｛r+i-月｝在“23時(shí)，為嚴(yán)格增數(shù)列.

但是該數(shù)列的前三項(xiàng)不滿足，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)〃≥2時(shí)，有

耳=1,

6一月=0，

F「區(qū)=與,

L,

F”+「F“=FLl

工+2一居+1=F1,,

兩邊同時(shí)相加可得，E,+2=I+O+G+8+-+E,=I+S,,

所以，S,=月+2τ，故②正確；

對(duì)于③，由己知可得，=FyF2,

F==Fz(Fs-R)=FE-FA

F^=F3(F4-F2)=F3F4-F2Fi,

琮=Ftl（F,「F.J=FFe-F.凡,

兩邊同時(shí)相加可得，耳2+以+…+招2=耳耳+五罵一耳耳+居罵一耳罵+…+F"Fe一FrIT工=FllFn+i,

故③正確；

對(duì)于④，當(dāng)〃=1時(shí)，左邊為耳8=1,右邊為（居）2=（g+罵）2=9,顯然不成立，故④錯(cuò)誤.

所以，結(jié)論正確的是②③.

故②③.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：由遞推公式推得，F(xiàn)n^-Fn=Fn,x,進(jìn)而累加法，逐項(xiàng)相消即可得出S,,.

二、選擇題（13,14題每題4分，15,16題每題5分，共18分）

13.5個(gè)人排一排，甲乙不相鄰，不同的排法有（）

A.144種B.72種C.36種D.18種

【正確答案】B

【分析】由題意可先安排除甲乙之外的3人，再用插空法排甲乙2人，即得答案.

【詳解】由題意5個(gè)人排一排，甲乙不相鄰，先排其余3人，再將甲乙插空即可，

故不同的排法有A；A；=72種，

故選：B

14.二項(xiàng)式（1+『的展開式中，有理項(xiàng)有（）項(xiàng)

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】C

【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)（I=G,xχt進(jìn)而即可得出「滿足的條件，即可得出答案.

【詳解】二項(xiàng)式（1+4『展開式的通項(xiàng)為

=CJ2X產(chǎn)x（4J=C[2xχ5,r=0,l,2,???,12.

所以，當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，即r=0,2,4,6,8,10,12,共7項(xiàng).

故選：C.

15.對(duì)于以下結(jié)論：

①若公比4G[-1,0)=(0,1),那么等比數(shù)列前〃項(xiàng)和存在極限；

②％.為數(shù)列｛4｝最大的項(xiàng)，那么%.〉/對(duì)任意的〃("∈N,〃>0,"W%)都成立；

③函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為/'(x),若/'(x0)=0,那么X=XO為函數(shù)的極值點(diǎn)；

④函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為/'(x),若/'(x)20恒成立，那么/(x)是嚴(yán)格增函數(shù).

正確的有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【正確答案】A

【分析】取特殊值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)，即可說明各個(gè)結(jié)論，進(jìn)而得出答案.

【詳解】設(shè)數(shù)列前〃項(xiàng)和為S.，

對(duì)于①，當(dāng)4=T時(shí)，an=ai(-I)"'>

所以，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，S11=α1；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Sn=O.

又q≠0,所以此時(shí)，S,沒有極限，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，對(duì)于數(shù)列%=1,可知｛%｝中的每一項(xiàng)都為數(shù)列中最大的項(xiàng)，但是顯然為>?！安怀闪?，故②錯(cuò)

誤；

對(duì)于③，對(duì)于函數(shù)/Cr)=/,有/'(x)=3/20恒成立，

所以，函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù)，即函數(shù)沒有極值點(diǎn).

又/'(0)=0,顯然x=0不是/(x)的極值點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，對(duì)于常函數(shù)/(x)=l,有/'(x)=0≥0恒成立,

但顯然/(X)不是單調(diào)遞增函數(shù)，故④錯(cuò)誤.

所以，正確的個(gè)數(shù)為0個(gè).

故選：A.

16.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在R上的導(dǎo)數(shù)存在，且/'(x)>g'(x),則當(dāng)x∈(α∕)時(shí)()

A./(x)<g(x)B./(x)>g(x)

C./(x)+g(?)<g(x)+∕(?)D./(x)+g(a)>g(x)+∕(tz)

【正確答案】CD

【分析】對(duì)于AB,利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對(duì)于CD,構(gòu)造函數(shù)MX)=/(x)-g(x),利用

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得MX)在R上單調(diào)遞增，從而得以判斷.

【詳解】對(duì)于AB,不妨設(shè)/(χ)=2x,g(x)=l,貝IJr(X)=2,g'(x)=O,滿足題意，

若X=IG(α∕),則/(x)=2>l=g(x),故A錯(cuò)誤(排除)，

若X=O∈(α∕),則y(χ)=0<l=g(χ),故B錯(cuò)誤(排除)；

對(duì)于CD,因?yàn)?'(X),g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)存在,且/"(x)>g'(x),

令MX)=/(x)-g(x),則/(x)=/'(X)-g'(x)>O,所以MX)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閤∈(α,b),即“<χ<b,所以Ma)<<∕z(b),

由∕z(x)<∕z(b)得/(x)-g(x)<∕(6)-g(b),

則/(x)+g(b)<g(x)+∕(6)，故C正確；

由〃(n)<∕I(X)得f(α)-g(α)<∕(x)-g(x),

則/(x)+g(α)>g(x)+∕(α),故D正確.

故選：CD.

三、解答題(14+14+14+18+18,共78分)

17.(1)已知等比數(shù)列｛%｝首項(xiàng)為q,公比為q(qkl),前〃項(xiàng)和為S“，請(qǐng)推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式:

(2)已知等差數(shù)列｛，｝前"項(xiàng)和為7；,滿足偽=5,h=耳，求

【正確答案】(1)答案見解析；(2)(Mllf).

"2

【分析】(1)直接利用錯(cuò)位相減法即可求解；

(2)先求等差數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列前”項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】(1)｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)和為

Sfl=Q]+a?+%+…+=q+%q÷%q~+…+Q]∕'∣,①

2

兩邊同乘公比qWqSn=axq+alq+q/+…+。聞""+〃聞",②

①-②得(l-q)S“=q-qq"=q(l-q"),

a(?-qn?

因?yàn)閝≠ll,所以S,,=』y_12.

1-q

(2)設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d,則Tji=1叫+—^―d=55+55d,d=b∣+5d=5+5d,

因?yàn)樗?5+55d=5+5d,所以d=-l,所以々=b∣+(〃-1"=6—〃，

所以7=坐+△）=MlTL

"22

18.已知二項(xiàng)式（4+4）〃eN〃>0的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10:1.

（1）求展開式中含XT的項(xiàng)

（2）求系數(shù)最大的項(xiàng)

【正確答案】（1）Ti=??2x-'

1711

（2）I=I792√τ或4=1792XT

【分析】（1）由已知得出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為r∣=2'c>x丁，然后根據(jù)已知列出方程式，整理求解

8-5尸

即可得出〃=8.進(jìn)而由-----=-1,得出r=2,代入通項(xiàng)即可得出答案；

2

a..>a

（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)為。川=2'?C>然后求解不等式組{Trr,得出r=5或r=6.代入通項(xiàng)，

IA+12+2

即可得出答案.

【小問1詳解】

由已知可得，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為

B∣J1———=IOx————,

4!(n-4)!2!(w-2)!

整理可得，“2-5〃-24=0，解得〃=8,或〃=—3(舍去負(fù)值),

所以，“=8.

.8--5r_

由-----=T可z得，Y=2,

2

所以，展開式中含XT的項(xiàng)為4=22?c}XT=Il2χT.

【小問2詳解】

由（1）可知，該二項(xiàng)式展開的第r+l項(xiàng)的系數(shù)為a”1=2'?C；.

設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則應(yīng)有《

、%+1—%+2

2,?q>2r-'?q-'

即《

2,?q>2r+1?q+l,

r≤2(9-r)

即｛?∕o「解得5WY6.

r+1l≥2(8-r)

因?yàn)閺V∈N,所以尸=5或r=6.

8-25_j7

當(dāng)r=5時(shí)，7；=25?C^?X-=1792/5；

8-30

β

當(dāng)r=6時(shí)，T1=2-C↑?x~=1792x^"?

17..

綜上所述，系數(shù)最大的項(xiàng)為［=i792x^5或。=W92χT.

19.某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件，并且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率尸與每日生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)

X(XW\，)間的關(guān)系為尸=UJO-X’,每生產(chǎn)一件正品盈利4000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2000元.

'4500

(注：正品率=產(chǎn)品的正品件數(shù)十產(chǎn)品總件數(shù)XlOo%)

(1)將日利潤.Y(元)表示成日產(chǎn)量X(件)的函數(shù)；

(2)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤最大？并求出日利潤的最大值.

4,

【正確答案】(1)y=-1彳一+3600工(.、.w.ISXS40)(2)該廠的日產(chǎn)量為30件時(shí)，日利潤最大，其最

大值為72000元

【分析】(1)由題為實(shí)際問題，可利用題目給出的條件：正品率=產(chǎn)品的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)XIO0%,和

4200-X2

P=,建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；(注意定義域).

4500

(2)由(1)已知函數(shù)的解析式，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.即：/'(x)>0為函數(shù)的增區(qū)

間，反之為減區(qū)間.結(jié)合實(shí)際意義可得.

4200-X24200-X24,

【詳解】(1)y=4000Xυυx%-2000X(1-)x=3600χ一一d

450045003

4

所求的函數(shù)關(guān)系是?=3600%-yX3(x∈^?,l≤x<40).

(2)顯然y=3600—4χ2,令y=0,解得χ=30.

列出X,，/的變化情況如下表所示：

X(1,30)30(30,+∞)

y'+O-

極大值

y/?

72000

4

由上表得，當(dāng)x=30時(shí)，函數(shù)y=3600x-]χ3(χwN*,l<x≤40)取最大值，

4

最大值為3600x30--×30s=72000(元)

3

.?.該廠的日產(chǎn)量為30件時(shí)，日利潤最大，其最大值為72000元.

20.已知數(shù)列｛?｝滿足q=1,a,,=3"T+α.τ(“≥2).

⑴求。2，a3

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

γι2

⑶如果數(shù)列也J滿足4=α“一J,5=l-(?)n,若Z≤S“一F≤3對(duì)”wN,〃>0恒成立,求

2nJ”

8-Z的最小值

【正確答案】(1)4=4；?=13

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列遞推式即可求得答案；

(2)利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)利用(2)的結(jié)論可得4，以及S.=1-(4)”的表達(dá)式，分類討論求得S“=1—3J的最大值和最

22

小值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得S,,-不的最值，再結(jié)合/≤S“-7≤8恒成立，可得4B范圍，即可求得

答案.

【小問1詳解】

212

由題意得a2=3+4τ=3+q=4;%=3"+a3_]=3+α2=9+4=13；

【小問2詳解】

a

n=3"'+?,,-1(?≥2),.?.an—4“T=y',

2,71

：.a2-al=3?a3-a2=39a4-a3=…-an_x=3-,

3(3"τ-1)3"-3

I23,,

累加可得an-ai=3+3+3+...+3^'

3n-l

aa，又q=l也適合該式,

乂↑=1>?'?n=

【小問3詳解】

∈N,n>0)，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，s,,=1—W=i+［；，

???S“單調(diào)遞減，且1+(；)>1，

13

.?.1<5<5,=1+-=-；

"'22

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，SZI=I—=Iu，

???s”單調(diào)遞增，且ι-(g)<1.

門Y33

.?.S<S<?,而其=1--=-,：.-<S,<\，

2n2⑶44"

332

綜上，S,的最大值和最小值分別為萬，函數(shù)V=，-7在(o,+力)上單調(diào)遞增,

2

由力<S〃一F?5對(duì)〃∈N,n>0恒成立，

3”

21.已知函數(shù)/(x)=InX+4x+l

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，求/(x)的最大值

(2)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性

(3)對(duì)任意的x∈(0,+8),都有/(x)≤xe'成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍

【正確答案】⑴O

(2)答案見解析(3)(-∞,1]?

【分析】(1)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出最值；

(2)結(jié)合函數(shù)的定義域，分類討論。的范圍，解導(dǎo)函數(shù)的不等式即