湖南省名校教育聯(lián)盟2024屆高三下學期入學摸底考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省名校教育聯(lián)盟2024屆高三下學期入學摸底考試數(shù)學試題一、單項選擇題1.設復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗由復數(shù)，解得，所以|.故選：D．2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以又因為，所以.故選：A．3.下圖為某商家2023年1月至10月某商品的月銷售量，則下列說法正確的是（）A.這10個月的月銷售量的中位數(shù)為28B.這10個月的月銷售量的平均數(shù)為31C.這10個月的月銷售量的第75百分位數(shù)為34.5D.前5個月的月銷售量的方差大于后5個月的月銷售量的方差〖答案〗B〖解析〗將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10個月的月銷售量的中位數(shù)為，A錯誤；這10個月的月銷售量的平均數(shù)為，B正確;根據(jù)百分位數(shù)的定義可知，則這10個月的月銷售量的第75百分位數(shù)為第8個數(shù)36，C錯誤；由圖形可知，前5個月的月銷售量的波動小于后5個月的月銷售量的波動，所以前5個月的月銷售量的方差小于后5個月的月銷售量的方差，D錯誤.故選:B．4.設正四面體的棱長為1，E為的中點，F(xiàn)，G分別是棱上的點，且滿足，平面，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由平面，平面平面，平面，得，因為，于是，則，解得.故選：C．5.已知正項等比數(shù)列（其公比）的前項積為，設甲：，乙：有最大值，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為是正項等比數(shù)列，且，可得，又因為，所以，因為，所以有最大值；若有最大值，則，因為，所以，所以不一定有.故選：A．6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，則.故選：D．7.已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線與C交于兩點，若為的準線上一點，且，則ABD的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：不妨設點在第一象限，由題設及拋物線定義知，直線AD與拋物線的準線垂直．因為，所以，即，又焦點F（1，0），由A，F(xiàn)，B三點共線可得，，故．故選：C．8.已知函數(shù)，若，且，恒有，則正實數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨設，又，則，所以，即恒成立，故單調(diào)遞減，則恒成立，即．當時，成立，符合題意；當時，設，則，故單調(diào)遞增，由得恒成立，即成立．設，，則時，，當時，，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，所以.故選：B．二、多項選擇題9.一個正方體的頂點都在球面上，過球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗當截面平行于正方體的一個側(cè)面時得C；當截面過正方體的體對角線時可得D；當截面既不過體對角線又不與任一側(cè)面平行時，可得A；但無論如何都不能截得B．故選：ACD10.如圖，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于A，B兩點，且，過點A任作一條直線與圓相交于M，N兩點，則（）A.圓C的方程為B.圓C與圓的相交弦所在直線方程為C.D.〖答案〗AC〖解析〗由圓C與x軸相切于點T（1，0），可設圓C的方程為，所以，所以圓C的方程為，故A正確；圓C與圓O的方程相減得，此方程即為其相交弦所在直線方程，故B錯誤；設為圓O上任意一點，則，所以，所以，，故C正確，D錯誤，故選:AC．11.已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的取值可能為（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為在上單調(diào)，，所以，因為，所以，又，如下圖依次討論對應為點四種情況，若，則，滿足；若，則，滿足；由，若，則，滿足；若，則，不滿足，其它情況均不符合.故選：ACD三、填空題12.甲、乙、丙、丁共四名同學進行勞動技能比賽，決出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第4名，則這4個人名次排列的可能情況共有______種．〖答案〗14〖解析〗直接法：當乙是第1名時，甲、丙、丁共3名同學有種排法；當乙不是第1名時，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同學共有種排法，所以這4個人名次排列共有14種．間接法：這4個人名次排列的可能情況共有種．故〖答案〗為：1413.若數(shù)列滿足，，則的最小值是______．〖答案〗〖解析〗由已知，，…，，，所以，又也滿足上式，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值是．故〖答案〗為：14.已知的三個頂點都在橢圓上，其中A，B分別為的左頂點和上頂點，若以B為頂角的等腰恰好有3個，則直線AB的斜率的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由題意知的第三個頂點C在以B為圓心，以為半徑的圓上，要使以B為頂角的等腰恰好有3個，則需要滿足橢圓與圓有四個公共點；由，得，所以或；當時，橢圓與圓有兩個交點，分別為左右頂點，當C位于右頂點處滿足條件；當時，要滿足橢圓與圓有兩個不同交點，需要，即，即，且，，解得，因為，，所以，所以直線AB的斜率的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題15.在中，已知．（1）求角C的大??；（2）若，，試判斷的形狀并說明理由．解：（1）因為，所以，由，有，則，所以，得，故．（2）由，可知．設，則，．在中，，由正弦定理得，即，化簡得，即，因為，所以，所以，．故是直角三角形．16.如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的正方形，D，E分別為AB，的中點，若，平面ABC⊥平面．（1）求證：CD⊥平面；（2）若三棱柱的體積為4，求直線AE與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為D，E分別為，的中點，是正方形，所以，因為，，平面,平面,所以平面，故．因為平面ABC⊥平面，平面平面，且平面，所以平面ABC，平面ABC,故．因為平面，平面,所以平面．（2）解：由三棱柱中的體積為4可得．以DA所在直線為x軸，過D作AB的垂線為y軸，DC所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則A（1，0，0），B（－1，0，0），C（0，0，2），，E（－1，1，0），．設平面的法向量為，由得?。O直線AE與平面所成角為，則．故直線AE平面所成角的正弦值為．17.某電視臺綜藝節(jié)目邀請甲、乙兩位好友參加了“心有靈犀、竟猜謎語”活動：即從5個謎語中隨機抽取個，讓甲負責比劃，乙負責猜謎語．已知甲會比劃其中3個謎語，這3個謎語乙猜對的概率都為，另外2個不會比劃的謎語乙無法猜對．（1）求甲、乙配合猜對1個謎語的概率；（2）設甲、乙配合猜對謎語個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．解：（1）設“抽中甲會比劃謎語的個數(shù)為”為事件，“乙猜對的謎語的個數(shù)為”為事件，“甲乙配合猜對1個謎語”為事件．甲乙配合猜對1個謎語，則，所以甲乙配合對1個謎語的概率為．（2）由題意，隨機變量可能取值為，，，，．所以的分布列為X023P數(shù)學期望．18.設動點與定點的距離和它到定直線的距離之比等于，記點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設過點的直線與C的右支相交于A，B兩點，是內(nèi)一點，且滿足，試判斷點是否在直線上，并說明理由．解：（1）由動點與定點的距離和它到定直線的距離之比等于，可得，化簡得，故所求曲線C的方程為．（2）點在直線上．因為，設點的坐標分別是，由題設得，解得，當軸時，，，代入有，所以點在直線上，當AB不與軸垂直時，設直線AB的方程是，因為曲線C的漸近線的斜率為，且直線AB與曲線C的右支相交于兩點，所以，聯(lián)立方程組，整理得，此時，可得，則，同理．于是，，所以，所以點在直線上．19.已知函數(shù)．（1）若是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若存在三個零點，且，求的取值范圍．解：（1）由題設知恒成立．若，當且，，不符合題意；若，則，滿足題意；若，令，則，令，得．當時，則即單調(diào)遞減，時，則即單調(diào)遞增，故的最小值為．由題設知，即．綜上可知的取值范圍是．（2）因為，所以是函數(shù)的一個零點．若是函數(shù)的零點，即，則，即是函數(shù)的零點，故函數(shù)在和上各有一個零點，且它們互為倒數(shù)．由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，不符合題意；當，時，，單調(diào)遞增，因此，即在上不存在零點，此時也只有一個零點，不符