江蘇省東臺(tái)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省東臺(tái)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂〖答案〗選項(xiàng).）1.設(shè)集合，則下列選項(xiàng)正確是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：由元素與集合的關(guān)系可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由元素與集合的關(guān)系可知，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由元素與集合的關(guān)系可知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由集合與集合的關(guān)系可知，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.已知，則“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗充分性：若，又，則，故充分性成立；必要性：若，，則，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.科學(xué)家以里氏震級(jí)來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)為地震時(shí)所散發(fā)出來的相對(duì)能量程度，則里氏震級(jí)可定義為.2008年5月12日四川省汶川縣發(fā)生里氏8.0級(jí)地震，2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生里氏6.2級(jí)地震，則汶川地震所散發(fā)出來的能量與積石山縣地震所散發(fā)出來的能量的比值為（）A.10 B.100 C.1000 D.10000〖答案〗C〖解析〗設(shè)汶川地震所散發(fā)出來的能量為，積石山縣地震所散發(fā)出來的能量為，所以，，所以，，所以.故選：C.4.函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所?故選：A.5.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由角終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，即，解得或（舍去），所以或（舍去），所以.故選：A.6.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且，，所以.故選：D.7.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位〖答案〗A〖解析〗，設(shè)，，令，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.故選：A.8.已知，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，又，所以，記，則，從而，，令，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂〖答案〗選項(xiàng).）9.冪函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C. D.函數(shù)的值域?yàn)椤即鸢浮紸D〖解析〗由為冪函數(shù)可得，解得或，又，所以，所以，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，知函數(shù)為偶函數(shù)，由于，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，所以的值域?yàn)?，故D正確.故選：AD.10.狄里克雷是德國(guó)數(shù)學(xué)家，是〖解析〗數(shù)論的創(chuàng)始人之一，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，于1837年提出函數(shù)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點(diǎn)，用其名字命名的“狄里克雷函數(shù)”為，下列敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A：當(dāng)x是有理數(shù)，則-x是有理數(shù)，當(dāng)x是無理數(shù)，則-x是無理數(shù)，所以，則是偶函數(shù)，故正確；B：當(dāng)x是有理數(shù)，則x+2有理數(shù)，當(dāng)x是無理數(shù)，則x+2是無理數(shù)，所以，故正確；C：當(dāng)時(shí)，，，故錯(cuò)誤；D：當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，，當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)，，故正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小正周期為B.為偶函數(shù)C.在區(qū)間內(nèi)的最小值為1D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，可得，，故選項(xiàng)A正確；由得，又，所以，所以，所以，因?yàn)槎x域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)，可得，所以，所以，故在區(qū)間內(nèi)的最小值為1，選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，即函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（）A.，B.函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)C.方程有唯一解D.直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗由題意，A項(xiàng)，在中，作出函數(shù)圖象如下圖所示，由上圖可知，，故正確；B項(xiàng)，在中，當(dāng)時(shí)，，即與的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象如下，可知函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，B正確；C項(xiàng)，在中，作出兩函數(shù)的圖象如下圖所示，∴兩函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，方程有4解，∴方程不止有唯一解，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由圖可知，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，D正確.故選：ABD.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，計(jì)20分.不需寫出解答過程，請(qǐng)把〖答案〗寫在答題紙的指定位置上）13.計(jì)算______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán).已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長(zhǎng)為，內(nèi)弧線的長(zhǎng)為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為______.〖答案〗3〖解析〗依題意可得弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為，設(shè)扇形的中心角的弧度數(shù)為，如圖，則，則，即，因?yàn)?，所以，則，所以該扇形的中心角的弧度數(shù).故〖答案〗為：3.15.若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)于任意的，，都有，且時(shí)，有，若的最大值為，最小值為，則的值為______.〖答案〗4048〖解析〗令得，所以，令得，所以，令，則，，因?yàn)椋侄x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，所以，即，所以.故〖答案〗為：4048.16.已知函數(shù)，若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________________________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則，令，則方程為，即，，又，當(dāng)時(shí)，若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，只需只有一解，即函數(shù)與，只有一個(gè)交點(diǎn)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即；當(dāng)時(shí)，，方程的解為和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無解，顯然方程只有一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，，方程的解為和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無解，顯然方程只有一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同解，只需有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)與，有兩個(gè)不同的個(gè)交點(diǎn)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.三、解答題（本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請(qǐng)把〖答案〗寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).）17.設(shè)集合，.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由得，，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述，.18.已知.（1）化簡(jiǎn)函數(shù)；（2）若，求.解：（1）.（2）因?yàn)?，所以，所?19.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期|的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，見下表：0

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（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫出函數(shù)的〖解析〗式，并求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）根據(jù)五點(diǎn)法的表格中，，，可知，，，所以，，，得，所以，令，，解之得，，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）由于，則，所以，則，因?yàn)樵趨^(qū)間恒成立，所以，所以的取值范圍為.20.國(guó)內(nèi)某大型機(jī)械加工企業(yè)在過去的一個(gè)月內(nèi)（共計(jì)30天，包括第30天），其主營(yíng)產(chǎn)品在第x天的指導(dǎo)價(jià)為每件（元），且滿足，第天的日交易量（萬件）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第x天12510Q(x)（萬件）14.011210.810.38（1）給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中為常數(shù).請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來擬合該產(chǎn)品日交易量（萬件）的函數(shù)關(guān)系；并且從四組數(shù)據(jù)中選擇你認(rèn)為最簡(jiǎn)潔合理的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的推理和運(yùn)算，求出的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該企業(yè)在未來一個(gè)月（共計(jì)天，包括第天）的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)水平維持上個(gè)月的水平基本不變，由（1）預(yù)測(cè)并求出該企業(yè)在未來一個(gè)月內(nèi)第天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并確定取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的.解：（1）由給出數(shù)據(jù)可知：隨著自變量增大，函數(shù)值在變小，同時(shí)函數(shù)模型①是遞增的指數(shù)型函數(shù)，又模型②為遞減的反比型函數(shù)，故選擇模型②，觀察表格中的4組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)簡(jiǎn)潔并且易于計(jì)算的角度，理應(yīng)選擇中間兩組數(shù)據(jù)，即，解得，可以檢驗(yàn)相對(duì)合理，從而.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故在時(shí)，有最小值，最小值為萬元，又，綜上所述，當(dāng)時(shí)取得最小值.21.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值并用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若方程在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，則，于是得，解得，所以，滿足，函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：，，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又，則，于是得，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由是上的奇函數(shù)，可化為，由在上單調(diào)遞增可得，即，，則，令，當(dāng)，即時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.已知非常值函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖谡龑?shí)數(shù)，使得，都有恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷下列函數(shù)是否