江西省贛州市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省贛州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，所以.故選：A.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以，故.故選：B.3.己知均為單位向量．若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，所以，則在上的投影向量為.故選：D.4.若拋物線上的動(dòng)點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離的最小值為1，則p的值為（）A.1 B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗設(shè)點(diǎn)，則，得，故，得，故選：C.5.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉殇J角，且，所以，即，所以，所以.故選：D.6.從集合的非空子集中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的集合A，B，則的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合的非空子集有、、、、、、，從中取兩個(gè)不同的集合共有種取法，其中的可能有：與，與，與，與，與，與共6種，故其概率.

故選：C.7.“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好．小樂(lè)同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時(shí)的速度為，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳．不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的，若石片接觸水面時(shí)的速度低于，石片就不再?gòu)椞?，沉入水底，則小樂(lè)同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗設(shè)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為,由題意得,即，得.因?yàn)?所以,即.故選：B.8.已知是圓上兩點(diǎn)．若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，因?yàn)椋?，所以向量、的夾角為，如圖，設(shè)，所以，且，因?yàn)?，所?故選：D.二、多選題9.有一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)，平均數(shù)為．若隨機(jī)別去其中一個(gè)數(shù)據(jù)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，則（）A.新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差B.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C.若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差D.若，則新數(shù)據(jù)的分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)〖答案〗AC〖解析〗不妨設(shè)原數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)，對(duì)于選項(xiàng)A：例如原數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)為，此時(shí)極差均為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：原數(shù)據(jù)中位數(shù)為，新數(shù)據(jù)中位數(shù)為，可知或，若，可得；若，可得；綜上所述：新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，可知去掉的數(shù)據(jù)為，則，可得，所以新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，可知去掉的數(shù)據(jù)為，因?yàn)?，可知原?shù)據(jù)的分位數(shù)為第3位數(shù)，，可知新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第2位數(shù)與第3位數(shù)的平均數(shù)，例如原數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)為，此時(shí)新數(shù)據(jù)的分位數(shù)、原數(shù)據(jù)的分位數(shù)均為3，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的中心，N為等邊的邊BE的中點(diǎn)，平面平面ABCD，則（）A. B.C.//平面 D.與平面所成的角為〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，對(duì)A：取中點(diǎn)為，連接，則；取中點(diǎn)為，連接，則//，，如下所示：由面面，面面，面，則面，又面，故，則；因?yàn)?/，故面面，故，則；故，A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?/，故，又，面，故面，又面，故，B正確；對(duì)C：連接，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，故//，又面面，故//面，C正確；對(duì)D：連接，作圖如下：由A中所證可知：面，故即為與平面所成的角；在直角三角形中，，，；故，故與平面所成的角不為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.若正數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，故可得，?dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)；對(duì)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B正確；對(duì)C：令，，故在單調(diào)遞增，，即當(dāng)，；，又，即，解得，故；故，也即，故C正確；對(duì)D：令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故的最大值為；由C可知，，則，故D正確；故選：BCD.12.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.的最小正周期為C.的最小值為 D.直線是曲線的切線〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，的定義域?yàn)?，又，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)周期，又，所以的最小正周期為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，則，則過(guò)，曲線的切線在處的切線為，D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題13.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，其中展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故〖答案〗為：14.某小區(qū)計(jì)劃修建一個(gè)圓臺(tái)形的花臺(tái)，它的上、下底面半徑分別為和．若需要的土才能把花臺(tái)填滿，則花臺(tái)高為_(kāi)_________．〖答案〗1〖解析〗圓臺(tái)形的花臺(tái)，它的兩底面半徑分別為1m和2m，高為m，則兩底面積分別為，，圓臺(tái)的體積，解得，所以花臺(tái)高為為1.故〖答案〗為：115.已知數(shù)列滿足，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則_________．〖答案〗15〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以，累加可得，因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.16.己知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由橢圓定義可知，,設(shè)，，有，由余弦定理有，即有，即，即有，，則，故有，化簡(jiǎn)得，即.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數(shù)列滿足．記．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）證明：由，可得，因?yàn)?，所以表示?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，，可得，記，則，，兩式相減，可得，即，所以.18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．（1）證明：因，由正弦定理及條件得，，整理可得，，又，于是，即，因?yàn)?，所以，所以或（舍去），所以；?）解：根據(jù)等面積法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.19.學(xué)生甲想加入?；@球隊(duì)，籃球教練對(duì)其進(jìn)行投籃測(cè)試．測(cè)試規(guī)則如下：①分別在罰球線處和三分線處投籃，每處有兩次投籃的機(jī)會(huì)；②只有在罰球線處投進(jìn)一個(gè)球，他才可以進(jìn)行三分線處的投籃，否則不予錄取；③他在罰球線處和三分線處各投進(jìn)一球，則錄取，否則不予錄?。阎獙W(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為．假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響．（1）求學(xué)生甲被錄取的概率；（2）在這次測(cè)試中，記學(xué)生甲投籃的次數(shù)為X，求X的分布列及期望．解：（1）記事件表示“甲罰球線處投籃，第i次投進(jìn)”，事件表示“甲在三分線處投籃，第i次投進(jìn)”．則設(shè)事件C表示“學(xué)生甲不被錄取”，則所以所以學(xué)生甲被錄取的概率為（2）X的可能取值為2，3，4所以X的分布列為X234P所以20.如圖，在三棱柱中，D為的中點(diǎn)，，平面平面．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，四棱錐的體積為，求平面與平面ABC所成角的余弦值．（1）證明：連接，設(shè)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以E為的中點(diǎn)，又因?yàn)椋?，則由平面平面，平面平面，可得，平面①，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，連接和FE．在中，由E和F分別是和AC的中點(diǎn)得，且，又因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形BDEF為平行四邊形，所以②，由①②可得，平面，又平面ABC，所以平面平面；（2）解：解法一：因?yàn)镈為的中點(diǎn)，故，又，四棱錐的體積為，所以，由（1）知，平面平面，且交線為，由，可得三棱錐的高為，因?yàn)?，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，故，從而，解得，連接，則為正三角形，又F為AC的中點(diǎn)，所以，故即為三棱錐的高，所以兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得解得，令，則，得，又為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面ABC所成角為，則，故平面與平面ABC所成角的余弦值為；解法二：因?yàn)镈為的中點(diǎn)，故，又，四棱錐的體積為，所以，由（1）知，平面平面，且交線為，由，可得三棱錐的高為，因?yàn)?，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，故，從而，解得，連接，則為正三角形，又為等腰直角三角形，故，延長(zhǎng)交CB于，連接，在中，因?yàn)镈為的中點(diǎn)，，故知，B是PC的中點(diǎn)，，又且，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，于是平面與平面ABC所成角是，由為正三角形，得四邊形為菱形且，故，故平面與平面ABC所成角的余弦值為21.設(shè)雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，漸近線方程為，且C過(guò)點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與C的兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為．記，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．解：（1）依題意知，雙曲線C關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱由漸近線方程可設(shè)C的方程為把點(diǎn)代入C的方程得，故C的方程為（2）依題意知，，把代入，可得，設(shè)，則依題意有，，即①于是，原點(diǎn)O到直線的距離②聯(lián)立①②，可得令，則，解