貴州省部分重點中學2024屆高三上學期模擬數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省部分重點中學2024屆高三上學期模擬數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)個〖答案〗C〖解析〗由題意，中的元素滿足，可解得，故選：C.2.設，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件〖答案〗D〖解析〗的解集為，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：D.3.在的展開式中，含的項的系數(shù)為（）A.8 B.28 C.56 D.70〖答案〗B〖解析〗展開式的通項公式，當時，即時，有，所以含的項的系數(shù)為，故選：B.4.如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū)甲秀路，是該市的標志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，，在點測得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，，所以，又因，由正弦定理，可得：，解得，又因為，所以，故選:C.5.若數(shù)列滿足，且，那么數(shù)列的前項和的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)，可得，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，再由，可得，，所以，，所以前項和取到最小值時，，故選：B.6.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對稱中心為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，可得，所以，因為，所以，可得，所以，由，可得，因為，所以，，所以.令，可得，所以對稱中心為，故選：A.7.已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為F，的中點為M，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)橢圓方程，可得，，，，利用，整理得，把，代入得.又，所以，離心率，故選：C.8.已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上單調遞增，設，，，則的大小關系是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為為奇函數(shù)，所以，函數(shù)的定義域為R，由是偶函數(shù)，得，即，所以，所以函數(shù)是以4為周期的奇函數(shù)，又在上單調遞增，所以可得在上單調遞增；又，，，顯然，即，因此可得，故選：B.二、多項選擇題9.已知，，則下列結論正確的是（）A.B.C.與的夾角為D.在方向上的投影向量是〖答案〗AC〖解析〗因為，，所以，則，所以，故A正確；因為，所以，故B錯誤；，因為，所以，故C正確；在方向上的投影向量是，故D錯誤.故選:AC.10.定義：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（）A.， B.函數(shù)的極大值與極小值之和為2C.函數(shù)有三個零點 D.在區(qū)間上單調遞減〖答案〗AB〖解析〗由，可得，，令，得，因為函數(shù)圖象的對稱中心為，因此，解得，，故選項A正確；由以上過程可知，，且當或時，；當時，.于是在和上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故選項D錯誤；因為關于點對稱，所以的極大值與極小值之和為，故選項B正確；因為函數(shù)極小值，由三次函數(shù)性質知，只有一個零點，所以選項C錯誤，故選：AB.11.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，.設平面與平面的交線為，點為上的點，為上的點.下列說法正確的是（）A.平面B.四棱錐外接球的半徑為C.點到的距離為D.三棱錐的體積為〖答案〗ACD〖解析〗在正方形中，，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，因為平面，平面，所以，正方形中，，平面，所以平面，所以平面，故A正確；設四棱錐外接球半徑為，由題意知PD，DC，AD兩兩垂直，則，故，故B錯誤；因為，所以點到的距離等于點到的距離，等于，故C正確；因為，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，所以，故D正確.故選：ACD.12.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.若，且，則為直角三角形B.若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個，則C.若平面內有一點滿足：，且，則為等邊三角形D.若，則為鈍角三角形〖答案〗BC〖解析〗對于選項A，因為，，分別為單位向量，所以的角平分線與BC垂直，所以，所以.又因為，即，因為，所以，所以，所以為等邊三角形，故選項A錯誤；對于選項B，要使?jié)M足條件三角形有且只有兩個，則，因為，，所以，即，所以，故選項B正確；對于C，因為，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，結合，故，可得，故為等邊三角形，C正確；對于D.，而，所以A，B，C都為銳角，D錯誤；故選：BC.三、填空題13.已知函數(shù)，則的最大值是______.〖答案〗16〖解析〗由，而，因為單調遞增，所以，則的最大值是16.故〖答案〗為：1614.拓撲結構圖在計算機通信、計算機網(wǎng)絡結構設計和網(wǎng)絡維護等方面有著重要的作用.某樹形拓撲結構圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點，每一個節(jié)點都有兩個子節(jié)點，則到第10層一共有______個節(jié)點.（填寫具體數(shù)字）〖答案〗1023〖解析〗由圖可知，每一層節(jié)點的個數(shù)組成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以到第10層節(jié)點的總個數(shù)是.故〖答案〗為：1023.15.過點作曲線的切線，請寫出切線的方程______.〖答案〗或〖解析〗設切點為，而，所以切線的斜率，故切線方程為，因為切線過點，，化簡可得或，則切點為或，則代入得切線方程為：或，故〖答案〗：或.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當取最小值16時，面積的最大值為______.〖答案〗32〖解析〗題意得，故，如圖所示，則，當且僅當M，，N三點共線時兩個等號同時成立，所以的最小值為，所以，即，當且僅當時，等號成立，而到漸近線的距離，又，故，所以，即面積的最大值為32.故〖答案〗為：32.四、解答題17.甲、乙、丙為完全相同的三個不透明盒子，盒內均裝有除顏色外完全相同的球.甲盒裝有4個白球，8個黑球，乙盒裝有1個白球，5個黑球，丙盒裝有3個白球，3個黑球.（1）隨機抽取一個盒子，再從該盒子中隨機摸出1個球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球屬于乙箱子的概率.解：（1）記取到甲盒子為事件，取到乙盒子為事件，取到丙盒子為事件，取到黑球為事件B：由全概率公式得，故摸出的球是黑球的概率是.（2）由條件概率公式得，故此球屬于乙箱子的概率是18.在中，內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角大小；（2）若，，求邊上的高.解：（1）因為，由正弦定理可得，又因為，則，所以，整理得到，即，因為，所以，所以，所以.（2）由余弦定理，且，則有，又，解得或（舍去），所以邊上的高.19.如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面底面，，是的中點.（1）證明：；（2）若，，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：因為四邊形為矩形，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，又因為平面，所以，因為，是的中點，所以.因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，.（2）解：因為平面，平面，則，因為，，、平面，所以，平面，又因為四邊形為矩形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為，則、、，設平面的法向量為，則，，則，取，則，易知平面一個法向量為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，（其中p，m，q成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.解：（1）當時，由得：，所以，則，所以數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列；當時，，，.（2）假設存在滿足題意的項，由（1）得：，又，所以.因為，，成等比數(shù)列，所以，即，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，所以，整理可得：，又，，即，解得：，則，這與題設矛盾，所以假設錯誤，即不存在滿足題意的3項.21.已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點A，B和M，N.設線段，的中點分別為P，Q，求證：直線恒過一個定點.（1）解：因為拋物線的焦點F為，雙曲線的漸近線方程為：，即，則，解得，故拋物線的方程為：.（2）證明：設A，B兩點坐標分別為，，則點P的坐標為.由題意可設直線的方程為，由得，，因為直線與曲線C交于A，B兩點，所以，，所以點P的坐標為.由題知，直線的斜率為，同理可得點Q的坐標為.當時，有，此時直線PQ的斜率，所以直線PQ的方程為，整理得，于是直線PQ恒過定點.當時，直線PQ的方程為，也過定點.綜上，直線PQ恒過定點.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，證明：.（1）解：由題可知，定義域為R，則