山東省青島市2024屆高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2024屆高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，，因?yàn)椋?，?故選：C2.復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），是z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，，解得，故選：B.3.在四邊形中，四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D坐標(biāo)分別是，，，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A.10 B.12 C.14 D.16〖答案〗A〖解析〗由題意，則，，.故選：A4.2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．而今“一帶一路”已成為當(dāng)今世界最受歡迎的國際公共產(chǎn)晶和最大規(guī)模的國際合作平臺(tái).樹人中學(xué)歷史學(xué)科組近期開展了“回望絲路”系列主題活動(dòng)，組織“一帶一路”知識競賽，并對學(xué)生成績進(jìn)行了匯總整理，形成以下直方圖.該校學(xué)生“一帶一路”知識競賽成績的第60百分位數(shù)大約為（）A.72 B.76 C.78 D.85〖答案〗B〖解析〗由題中頻率分布直方圖知區(qū)間的頻率為：則在區(qū)間的頻率為：，所以第60百分位數(shù)在區(qū)間，且設(shè)為，則，解得.故選：B5.已知等差數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，，，則其公差d為（）A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，所以，所以，所以，得，因?yàn)榈炔顢?shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以公差為正整數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楣顬檎麛?shù)，所以或，當(dāng)時(shí)，由，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，故選：C6.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與曲線E交于點(diǎn)A，B，若的最小值為14，則E的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，，設(shè)，則，且，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為，所以，得，所以拋物線E的準(zhǔn)線方程為，故選：D7.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，E，F(xiàn)是線段AC1上的點(diǎn)，且AE＝EF＝FC1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作與直線AC1垂直的平面α，β，則正方體夾在平面α與β之間的部分占整個(gè)正方體體積的（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗構(gòu)造平面，平面，則平面，平面，設(shè)正方體邊長為1，則，，，，設(shè)到平面的距離為，則，解得，平面，同理可得平面，正方體夾在平面與之間的部分體積為，∴體積之比是，故選：C．8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線左、右焦點(diǎn)依次為、，過點(diǎn)的直線與在第一象限交于點(diǎn)，若，，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，則，所以，，又因?yàn)椋?，，即，整理可得，即，所以，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題9.一個(gè)密閉的容器中裝有2個(gè)紅球和4個(gè)白球，所有小球除顏色外均相同．現(xiàn)從容器中不放回地抽取兩個(gè)小球．記事件A：“至少有1個(gè)紅球”，事件B：“至少有1個(gè)白球”，事件，則（）A.事件A，B不互斥 B.事件A，B相互獨(dú)立C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A,由于至少有一個(gè)紅球和至少有一個(gè)白球，可以同時(shí)發(fā)生，故事件A與事件B不互斥，A正確；對于BC，,,,所以，故B錯(cuò)誤；故，，故C錯(cuò)誤；對于D，,故,故D正確，故選：AD.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，在上單調(diào)遞減，．將的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.，C. D.為偶函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則周期，則由，可知函數(shù)圖象關(guān)于對稱，又函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以，所以，A正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，，B錯(cuò)誤；由，所以，C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，，則為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC11.若實(shí)數(shù)，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于選項(xiàng)A，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，不妨設(shè)，則得，解得：或，因，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，不妨設(shè)，則，解得：或，因，則，即，故B項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)C，由可得：，則，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)，有最小值，故C項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D，由可得：，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，由解得：，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.12.將函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線依然可以看作一個(gè)函數(shù)的圖象、以下函數(shù)中符合上述條件的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗若函數(shù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后所得函數(shù)仍是一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象與任一斜率為的直線均不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn).不對于，設(shè)，則，則為上的單調(diào)遞減函數(shù)，即方程只有一解，所以與只有一個(gè)交點(diǎn)，故符合題意，A正確；對于，設(shè)，,則在有零點(diǎn)，即方程不只有一解，所以與多個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，B錯(cuò)誤；對于，設(shè)，顯然為上減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即所以與只有一個(gè)交點(diǎn)，故符合題意，C正確；對于，設(shè)，則，顯然在和上各有零點(diǎn)，即所以與有多個(gè)交點(diǎn)，故不符合題意，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13.的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是__________（結(jié)果用數(shù)字表示）.〖答案〗〖解析〗展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是.故〖答案〗為：14.正八面體各個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8．拋擲一次該正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字,得到樣本空間為.已知事件,，，若但A，B與C均不獨(dú)立，則事件______．〖答案〗〖解析〗由已知又，所以，又A，B與C均不獨(dú)立，即，，，所以.故〖答案〗為：15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題意得，即圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，設(shè)，由于與關(guān)于對稱，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在點(diǎn)處的切線與平行，此時(shí)到的距離最小，最小值為，故的最小值為，則的最小值等于.故〖答案〗為：.16.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，令得，令，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，又，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，令得，令，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，其中，故，解得，由于，即在處連續(xù)，綜上，.故〖答案〗為：.四、解答題17.記的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、.（1）證明：若，則；（2）探究：是否存在一個(gè)，其三邊為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的兩倍？如果存在，試求出最大邊的長度；如果不存在，說明理由．（1）證明：若，則，所以，由正弦定理得：．（2）解：假設(shè)存在，其三邊為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)、、，設(shè)這三邊所對的角分別為、、，則若最大角是最小角的兩倍，即．由（1）知，，即．由余弦定理知，，所以，，即，因?yàn)?，解得，?jīng)檢驗(yàn)滿足條件．于是最大邊長為．因此，存在一個(gè)，其三邊為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，最大邊長為．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）證明：（法一）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號）（法二）當(dāng)時(shí)，令，可知于是在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號）．令，則由（1）知：故在單調(diào)遞增，因此．所以．19.如圖，在三棱錐中，底面分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)都在棱上，，且滿足平面.（1）求的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，則平面平面.因?yàn)槠矫嫫矫妫?因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的重心，所以，所以.由題意知，則是的中點(diǎn)，（2）由題意知底面，所以，兩兩垂直.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則所以，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.故，由圖象可知平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.為培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義接班人，某學(xué)校每月都會(huì)開展學(xué)農(nóng)實(shí)踐活動(dòng)．已知學(xué)農(nóng)基地前10個(gè)月的利潤數(shù)據(jù)如下表，月份用表示，，利潤用y（單位：萬元）表示，已知與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．x12345678910y4.6834.8193.2821.4861.0822.4414.3144.9793.8241.912t0.8410.9090.141-0.757-0.959-0.2790.6570.9890.412-0.544（1）求的值（結(jié)果精確到1）；（2）某班班主任和農(nóng)學(xué)指導(dǎo)教師分別獨(dú)立從該班5名班級干部名單中各隨機(jī)選擇2人作為組長，設(shè)被選出組長構(gòu)成集合M，集合M中元素的個(gè)數(shù)記為隨機(jī)變量X.（i）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ii）規(guī)定：進(jìn)行多輪選擇，每輪出現(xiàn)記為，出現(xiàn)記為，先出現(xiàn)為甲勝，先出現(xiàn)為乙勝．記表示“第一輪為A且最終甲勝的概率”，表示“第一輪為且最終甲勝的概率”，求，及甲勝的概率．參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)．其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，．解：（1）由已知公式得，所以，，所以.（2）（i）由題意知，X的可能取值為2，3，4，，，，其分布列為234．當(dāng)?shù)谝惠啚闀r(shí)，若第二輪為，則甲勝；若第二輪為，則乙勝，所以;當(dāng)?shù)谝惠啚闀r(shí)，若第二輪為，則最終甲勝的概率為，若第二輪為，則最終甲勝的概率為；所以，解得．故甲勝的概率．21.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，的左、右焦點(diǎn)恰為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，的離心率．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與相交于A，B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)W在曲線上．探究直線AB與雙曲線的位置關(guān)系.解：（1）由題可知：所以，，解得．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；．（2）設(shè)，，若直線l斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，可得，，設(shè)，則，，可得，，則，同理可得：，因W在曲線上，則，解得，聯(lián)立方程，消去y得：，所以，直線AB與相切．若直線l斜率不存在，由對稱性知W在x軸上，W在曲線，令