陜西省漢中市校際聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(理)（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省漢中市校際聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(理)第I卷一?選擇題1.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)，所以.故選：B.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，或，而，所以.故選：D3.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，所以.故選：D.4.在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C.16 D.8〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，由，可得，即，所以.故選：A5.某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，即側(cè)面展開圖的半徑為，側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為.又圓錐的底面周長(zhǎng)為，所以，即圓錐的母線長(zhǎng).所以圓錐的側(cè)面積為，解得.故選：D6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A.18 B.22 C.25 D.〖答案〗C〖解析〗執(zhí)行該程序框圖，成立，成立，成立，，不滿足，輸出的.故選：C7.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，?故選：D.8.已知為奇函數(shù)，則（）A. B.14 C. D.7〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，所以.故選：C9.如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在該拋物線上，點(diǎn)在軸上，若，則（）A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè),，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D.10.下圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的正方形構(gòu)成的，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自的概率分別記為，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，從而，因?yàn)?，所以，根?jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，，則故選：A.11.已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因?yàn)椋?由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時(shí)過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B.第II卷二?填空題13.已知向量滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，?故〖答案〗為：14.若滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__.〖答案〗〖解析〗畫出約束條件的可行域，由，可得，由，可得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時(shí)，，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時(shí)，，故目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故〖答案〗為：15.已知函數(shù).若存在，使不等式成立，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則，所以，因此在上的值域?yàn)椋舸嬖?，使不等式成立，則，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列，已知，且，則商品近30天的總銷量為__________.〖答案〗1020〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，中奇數(shù)項(xiàng)是公差為2，首項(xiàng)為20的等差數(shù)列，.商品近30天的總銷量為.故〖答案〗為：.三?解答題（一）必考題17.在三棱錐中，.（1）證明：.（2）若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接因?yàn)椋裕忠蚱矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：因?yàn)榍移矫嫫矫?，，面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的周長(zhǎng)為.（1）求的值；（2）求的最大值.解：（1），即.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以，解得.（2）由（1）可知.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)時(shí)，取得最大值.19.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將個(gè)樣本數(shù)據(jù)按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)通過頻率分布直方圖估計(jì)這份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若競(jìng)賽成績(jī)不低于分，則被認(rèn)定為成績(jī)合格，低于分說明成績(jī)不合格.從參加知識(shí)競(jìng)賽的市民中隨機(jī)抽取人，用表示成績(jī)合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（1）解：由頻率分布直方圖可知，份樣本數(shù)據(jù)的平均值為.（2）解：競(jìng)賽成績(jī)不低于分的頻率為，低于分的頻率為.由題意可知，，，，，，，所以分布列為期望.20.已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不在上，，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，記的面積為，的面積為，求.解：（1）將代入橢圓方程中，，解得則橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線軸時(shí)，為鈍角三角形，且，不滿足題意.設(shè)，由，可得，所以，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A不在上，所以，由化簡(jiǎn)得，.，所以，則，整理得，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為，恒過點(diǎn).由題意和對(duì)稱性可知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，21.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）已知，證明：.（1）解：，，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.所以的極大值為的極小值為.（2）證明；由，可得，所以.由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.由（1）可知在上的最大值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)榈忍?hào)不能同時(shí)取到，所以.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線和的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線，且與曲線相交于、兩點(diǎn)，與曲線相交于、兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.（1）解：在曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）中消去參數(shù)，可得，即，將，代入上式，得.在曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）中消去參數(shù)，可得，即，將，代入上式，得.所以，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）解：由題可設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，其中，將代入，得，將代入，得，所以，因