廣西壯族自治區(qū)桂林市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)桂林市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.2.請?jiān)诖痤}卡上答題（在本試卷上答題無效）.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.故選：C.2.一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué)，現(xiàn)從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競賽，則不同的選派方法數(shù)為.（）A.4 B.5 C.9 D.20〖答案〗C〖解析〗第一類從女同學(xué)中選1名，有4種不同的選法；第二類從男同學(xué)中選1名，有5種不同的選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法.故選：C3.橢圓的長軸長為（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗由橢圓知，，即，所以橢圓的長軸長為.故選：D4.已知在件產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，件產(chǎn)品中有件次品，件正品，從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，表示要從件次品中抽取件，從件正品中抽取件，故.故選：B.5.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)含 C.相交 D.外離〖答案〗C〖解析〗圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，則，故兩圓相交.故選：C.6.已知，分別為直線，的一個(gè)方向向量，且，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，解得故選：B7.設(shè)小明乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6，0.4.汽車和火車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.7，0.9，則小明正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（）A.0.78 B.0.82 C.0.87 D.0.49〖答案〗A〖解析〗小明正點(diǎn)到達(dá)目的地，由兩個(gè)互斥事件構(gòu)成，分別為乘汽車正點(diǎn)到達(dá)和乘火車正點(diǎn)到達(dá)，所以.故選：A8.已知點(diǎn)，、是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，為線段的中點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，因?yàn)?、是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，為線段的中點(diǎn)，由垂徑定理可知，，則，所以，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，則.當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某服裝公司對1-5月份的服裝銷量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：月份編號(hào)x12345銷量y（萬件）5096142185227若與線性相關(guān)，其線性回歸方程為，則下列說法正確的是（）A.線性回歸方程必過 B.C.相關(guān)系數(shù) D.6月份的服裝銷量一定為272.9萬件〖答案〗AB〖解析〗對于A，因?yàn)椋跃€性回歸方程必過，所以A正確；對于B，由線性回歸直線必過，所以，解得，所以B正確；對于C，因?yàn)?，所以相關(guān)系數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，所以可預(yù)測6月份的服裝銷量約為272.9萬件，所以D錯(cuò)誤．故選：AB．10.某市對歷年來新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重，則下列結(jié)論正確的是（）A.該正態(tài)分布的均值為 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)?，對于A選項(xiàng)，該正態(tài)分布的均值為，A對；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，D錯(cuò).故選：AB.11.已知雙曲線，則下列說法正確的是（）A.的離心率 B.的漸近線方程為C.的焦距為 D.的焦點(diǎn)到漸近線的距離為〖答案〗ABD〖解析〗對于雙曲線，，，，對于A選項(xiàng)，的離心率，A對；對于B選項(xiàng)，的漸近線方程為，即，B對；對于C選項(xiàng)，的焦距為，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，D對.故選：ABD.12.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線與直線平行B.直線與底面所成的角為C.直線與直線的距離為D.直線到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則對于選項(xiàng)A：且不是同一條直線，，正確；對于選項(xiàng)B：底面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與底面所成的角為，則，故直線與底面所成的角不為，錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：，在中，，所以到的距離為，即直線與直線的距離為，正確；對于選項(xiàng)D：由A得面，面，所以面，到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)為．則三棱錐的體積等于三棱錐的體積，在正方體中，又到平面的距離即為棱長2，所以：，在中，，所以．即．即直線到平面的距離為．正確．故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線，，則與的距離為______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，所以，直線與的距離為.故〖答案〗為：.14.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.〖答案〗24〖解析〗因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，，所以當(dāng)，即時(shí)，，故〖答案〗為：2415.用、、、、這個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為______（用數(shù)字作答）.〖答案〗〖解析〗先排首位，可在、、、中選擇一個(gè)數(shù)排，然后在剩余四個(gè)數(shù)中選擇兩個(gè)數(shù)排十位和個(gè)位，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故〖答案〗為：.16.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn).設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若從的右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿足，且，則的離心率為______.〖答案〗〖解析〗由題意，可作圖如下：則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)給出文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知直線與直線相交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的方程.解：（1）聯(lián)立，解得，即點(diǎn).（2）因?yàn)橹本€的傾斜角為，則該直線的斜率為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，故直線的方程為，即.因此，直線的方程為.18.年月日，中共中央政治局召開會(huì)議，審議《關(guān)于優(yōu)化生育政策促進(jìn)人口長期均衡發(fā)展的決定》并指出，為進(jìn)一步優(yōu)化生育政策，實(shí)施一對夫妻可以生育三個(gè)子女政策及配套支持措施.某市為了解政策開放后已婚女性生育三孩意愿的情況，選取“后”和“后”已婚女性作為調(diào)查對象，隨機(jī)調(diào)查了位，得到數(shù)據(jù)如表：生育三孩意愿無生育三孩意愿合計(jì)“后”“后”合計(jì)（1）請根據(jù)題目信息，依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求出、的值；（2）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，是否有以上的把握認(rèn)為“已婚女性生育三孩意愿與年齡有關(guān)”，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：（參考公式：，其中）解：（1）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，.（2）列聯(lián)表如下表所示：生育三孩意愿無生育三孩意愿合計(jì)“后”“后”合計(jì)由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可得，因此，有有以上的把握認(rèn)為“已婚女性生育三孩意愿與年齡有關(guān)”.19.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).（1）求的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；（2）求的面積.解：（1）對于拋物線，，則，，所以，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、，易知直線過拋物線的焦點(diǎn)，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，由拋物線的焦點(diǎn)弦長公式可得，原點(diǎn)到直線的距離為，因此，的面積為.20.某校高二（1）班的元旦聯(lián)歡會(huì)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)抽獎(jiǎng)游戲：準(zhǔn)備了張相同的卡片，其中只在張卡片上印有“獎(jiǎng)”字.（1）采取放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片張數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；（2）采取不放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求第一次抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片的條件下，第三次抽到未印有“獎(jiǎng)”字卡片的概率.解：（1）由題意可知，，則，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，，.（2）記事件第一次抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片，事件第三次抽到未印有“獎(jiǎng)”字卡片，則，.由條件概率公式可得，所以，在第一次抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片的條件下，第三次抽到未印有“獎(jiǎng)”字卡片的概率為.21.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).（1）求二面角的余弦值；（2）若點(diǎn)滿足，求直線與直線所成角的正弦值.解：（1）在直三棱柱中，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意，、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，則，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，故二面角的余弦值為.（2）易知、、、點(diǎn)滿足，則，則，且，所以，則，因此，直線與直線所成角的正弦值為.22.已