教師資格證考試高中數(shù)學模擬預測試卷（共五套）

教師資格考試數(shù)學學科知識與教學能力(高級中學)

標準預測試卷(一)

注意事項：

1.考試時間為120分鐘，滿分為150分。

2.請按規(guī)定在答題卡上填涂、作答。在試卷上作答無效，不予評分。

一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分)

1.若/1(盯,盯,彳3)=工：++6人工2攵3是正定二次型，則人的取值范圍是()O

2.設有非零向量a,b,c,若a"=0,axc=0,則5?c=()o

A.0B.—1

C.1D.3

3.設為隨機事件,P(N)>0,且條件概率P(M|N)=1,則必有()0

A.P(MUN)>P(M)

B.P(MUN)>P(N)

C.P(MUN)=P(M)

D.P(MUN)=P(N)

4.設丫是數(shù)域P上的三維線性空間，"是U上的線性變換。若/在基-苕2,多下的矩陣

，則/在基基，替2當下的矩陣為()。

—1—

,.、arcsinx

(x+l),x>0,

5.設/(%)=.,=0且aKO,則當a=（）時,!呼（%）存在。

o,

.ae*4-1,X<0,

A.1B.2

C.3D.-1

6.如果級數(shù)2（a“+b”）收斂,則級數(shù)與2晨）0

n=1n-1n=1

A.都收斂B.都發(fā)散

C.斂散性不同D.同時收斂或同時發(fā)散

7.高中數(shù)學課程是義務教育后普通高級中學的一門主要課程，具有基礎性、選擇性

和（）。

A.發(fā)展性B.創(chuàng)造性

C.前瞻性D.應用性

8.有限小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)的關(guān)系是（）。

A.對立關(guān)系B.從屬關(guān)系

C.交叉關(guān)系D,矛盾關(guān)系

二、簡答題（本大題共5小題,每小題7分，共35分）

1p~^x/>0

:'?二求X的數(shù)學期望。

{o,X<0,

10.討論a取何值時,下述線性方程組有唯一解？有無窮多解？無解?

raX1+42+43=1，

<X]+ax2+%3=1,

x}+x2+ax3=lo

—2—

11.設/（X）是區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，證明：存在fe［a，b］，使得。（動取=

f（E）（b-。）。

12.簡述邏輯推理的主要表現(xiàn)。

13.簡述高中數(shù)學課程設計的依據(jù)。

—3—

三、解答題（本大題1小題,10分）

a2]11

14.已知矩陣J,若矩陣M屬于特征值3的一個特征向量為。=?。求矩陣M

lc1JL1.

的逆矩陣AT）

四、論述題（本大題1小題,15分）

15.闡述在數(shù)學教學過程中如何處理好教師教與學生學的關(guān)系。

五、案例分析題(本大題1小題,20分)

16.在學習了“集合的基本運算”后，教師要求學生解決如下問題。

設4=\x\x2-x-6=0\,B={x12ax+1=0],若4nB=8,求符合條件的a有多少個？

一位學生給出的解法如下：

集合4={-2,3}，由4nB=8可知,BU4,當方程2ax+1=0的解為-2或3時,代入得

a='或a=---o所以符合條件的a有2個。

46

問題：

(1)請指出該解法的錯誤之處,分析錯誤原因，并給出正確解法；

(2)針對該題的教學,談談該如何設置問題，幫助學生避免出現(xiàn)上述錯誤。

—5—

六、教學設計題(本大題1小題,30分)

17.數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題

的過程。具體表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題,猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的

思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論。

請針對“互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像間的關(guān)系”這一課題,完成下列教學設計：

(1)請寫出本節(jié)課的教學目標；

(2)請寫出本節(jié)課的教學重點；

(3)請設計一個探究式教學過程。

—6—

教師資格考試數(shù)學學科知識與教學能力(高級中學)

標準預測試卷(二)

注意事項：

1.考試時間為120分鐘，滿分為150分。

2.請按規(guī)定在答題卡上填涂、作答。在試卷上作答無效，不予評分。

一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分)

1.設事件4與事件B互不相容，則()0

A.P(AB')=0

B.P(4B)=P(4)P(B)

C.P(A)=1-P(B)

D.P(AUB)=1

2.若f(x)的一個原函數(shù)為Tnx,則f'(工)=()o

A.---B.Inx

X

C.eD.一

x

3.設函數(shù)/(x)滿足/(1)=0,⑴=1,求極限力1]]一=()。

I(y/l+x-1)arctanx

A.-2B.-1

C.1D.2

4.若三階方陣A的特征多項式為/(入)=V-7入+6,則|4|=()o

A.-6B.-4

C.4D.6

5.已知三點4(1,2,3),8(3,4,5),C(2,4,7),則△ABC的面積為()o

A.14B.572

C.2/14D./L4

■X1+x2-x3=A,

6.若非齊次線性方程組,與+與=A-1,有無窮多解，則A=()o

AX2-4X3=2

A.4B.3

C.2D.1

—7—

7.下列關(guān)于有理數(shù)系說法錯誤的是（）。

A.有理數(shù)系具有連續(xù)性

B.有理數(shù)系具有稠密性

C.正有理數(shù)、0、負有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

D.有理數(shù)的除法（除數(shù)不為0）具有封閉性

8.高中數(shù)學學習評價關(guān)注學生知識技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學學科（）的形式和發(fā)展,

制定科學合理的學業(yè)質(zhì)量要求，促進學生在不同學習階段數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的達成。

A.核心素養(yǎng)B.數(shù)學能力

C.數(shù)學方法D.數(shù)學技能

二、簡答題（本大題共5小題,每小題7分，共35分）

r121r

9.已知直線Ly=-ax+1在矩陣A=,,對應的變換作用下變?yōu)橹本€乙：y=-9+

L1-1Jo

求實數(shù)a,6的值。

D

，0-求過直線?。?2%+—34二y+5z—=。1，=0'且平行于z軸的平面方程。

—8—

11.設函數(shù)/（沒在[a,b]上連續(xù)，滿足f（[a,b]）U[a,b]o證明:存在質(zhì)e[a,b],使得

/（欠0）=%0O

12.簡述教學評價的原則。

13,給出“雙曲線”和“等差數(shù)列”的定義，并說明它們的定義方式。

—9—

三、解答題（本大題1小題,10分）

[Axx+B,y+C,z+。]=0,

14.直線方程八的系數(shù)滿足什么條件才能使:

（1）直線與工軸相交;（2）直線與x軸重合;（3）直線與x軸平行。

四、論述題（本大題1小題,15分）

15.敘述數(shù)學教育評價的含義，并闡述數(shù)學教育評價的作用。

—10—

五、案例分析題(本大題1小題,20分)

16.案例：

下面是高中“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”的部分教材內(nèi)容。

在初中，我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程、一元一次不等式，發(fā)現(xiàn)了三者之間的內(nèi)

在聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以更好地解決相關(guān)問題。對于二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不

等式，是否也有這樣的聯(lián)系呢？先來看一個問題。

問題：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區(qū)域種植花卉。若柵欄的長度是24m,圍成

的矩形區(qū)域的面積要大于20m?,則這個矩形的邊長為多少米？

設這個矩形的一條邊長為xm,則另一條邊長為(12-x)m,由題意，得(12-z)x>20,其

中xw|x|0<x<12),整理得x2-12x+20<0,xe{x|0<x<12］。①

求得不等式①的解集，就得到了問題的答案。

一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不

等式(quadricinequalityinoneunknown)o一元二次不等式的一般形式是ad+bx+c>?；?/p>

2

ax+bx+c<0o其中a,b,c均為常數(shù),aK0o

思考：

在初中，我們學習了從一次函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。類

似地，能否從二次函數(shù)的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？

下面，我們先考察一元二次不等式，-12x+20<0與二次函數(shù)y=x2-12x+20之間的

關(guān)系。

問題：

(1)閱讀這段教材中的“思考”，說明設置此欄目內(nèi)容的主要意圖；

(2)請說明二次函數(shù)在高中數(shù)學課程中的地位和作用。

—11—

六、教學設計題(本大題1小題,30分)

17.針對“等差數(shù)列”的教學，某教師制定了如下教學目標。

目標一:理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式；

目標二:理解等差數(shù)列通項公式的推導方法,會運用等差數(shù)列的通項公式解決實際問題；

目標三:通過公式的推導過程，培養(yǎng)觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維能力。

(1)針對“等差數(shù)列”的內(nèi)容，回答下列問題：

①分析學生已有的知識基礎；

②設計一個等差數(shù)列的教學引入片段，并說明設計意圖。

(2)請針對上述教學目標，完成下列任務：

①根據(jù)教學目標一、二,設計一個習題，幫助學生理解等差數(shù)列，并說明設計意圖；

②根據(jù)教學目標二、三，設計推導等差數(shù)列通項公式的教學片段，并說明設計意圖。

12

教師資格考試數(shù)學學科知識與教學能力（高級中學）

標準預測試卷（三）

注意事項：

1.考試時間為120分鐘，滿分為150分。

2.請按規(guī)定在答題卡上填涂、作答。在試卷上作答無效，不予評分。

一、單項選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分）

1.下列函數(shù)在［-1,1］上滿足羅爾定理條件的是（）o

A.y=exB.y=In|x|

C.y=1-x2

TTT

2.向量%=(1,-l,2,4),a2=(0,3,l,2),a3=(2,l,5,10),a4=(l,-1,2,0尸的極

大線性無關(guān)組為()o

A.%，％,%B..”2，%

C.%。3，04D.

3.二次型f(Xi/2，%3)=%；+X2+X

3+42+43+4X2X3的規(guī)范型是()。

A.-z：-z；+Z3B.-z：-z：-z；

「2.2,2D.z；-z；+z；

C.Z]+z2+z3

比+1V-1z

4.若直線/滿足:①經(jīng)過原點;②垂直于直線I':一二==了;③平行于平面TT：2X+

3y+4z+5=0,則直線l的方程是()o

A.—=--=—B,土=工=三

1-2112-1

「4yz_X-1V+1z

c.---=—=一D.----=-----=—

-121121

r

5.已知隨機變量X的分布律為八…'常數(shù)C等于（）。

A.1B.e

C.e-1D.e'2

6.函數(shù)/<x）=x2--的間斷點及其類型是（）o

X

A.x=0,可去間斷點B.x=0,跳躍間斷點

C.工=0,第二類間斷點D.x=1，跳躍間斷點

—13—

7.最早使用“函數(shù)”（function）這一術(shù)語的數(shù)學家是（）o

A.約翰?貝努利B.萊布尼茨

C.雅各布?貝努利D.歐拉

8.數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的（）。

A.重要基礎B.重要方式

C.工具D.基本手段

二、簡答題（本大題共5小題,每小題7分，共35分）

9.設P（x）為多項式,a是P（x）=0的r重根。證明:a是P'（x）=0的r-1重根。

c—1<T<1

:"、'試求常數(shù)C,并求出X的分布

f.0,其他,

函數(shù)。

H.設曲線y=/（x）=x"在點（1,1）處的切線交工軸于點（工“,0）,求li碩冊）。

n—?oo

—14—

12.簡述數(shù)據(jù)分析的主要過程。

13.請闡述三段論推理的含義,并用集合知識解釋三段論。

三、解答題（本大題1小題,10分）

14.如圖所示，設0<a<b,函數(shù)/（工）在上連續(xù)，在（a,b）上可微，且/（x）>0,

/（a）=/（i）=0o設/為繞原點0可轉(zhuǎn)動的細棍（射線），放手后落在函數(shù)/（，）的圖像上并支撐

在點（？/（7））,從直觀上看，

7（?）=華。（*）

證明：函數(shù)F（x）="砧在x=4處取得最大值，并證明（*）式。

X

—15—

四、論述題（本大題1小題,15分）

15.導入環(huán)節(jié)的類型主要有哪幾種,簡要敘述,并舉例說明其適用情況。

五、案例分析題（本大題1小題,20分）

16.下列是三位教師對“等比數(shù)列概念”引入的教學片段。

【教師甲】

用實例引入，選了一個增長率的問題，有某國企隨著體制改革和技術(shù)革新，給國家創(chuàng)造的

利稅逐年增加，下面是近幾年的利稅值（萬元）：1000,1100,1210,1331,……，如果按照這個規(guī)

律發(fā)展下去，下一年會給國家創(chuàng)造多少利稅呢？

【教師乙】

以具體的等比數(shù)列引入，先給出四個數(shù)列。

1,2,4,8,16,1,—1,1,—1,1,,,,—4,2,—1,,,,1,1,1,1,1,…

由同學們自己去研究，這四個數(shù)列中，每個數(shù)列相鄰兩項之間有什么關(guān)系？這四個數(shù)列有

什么共同點？

【教師丙】

以等差數(shù)列引入，開門見山，明確地告訴學生，“今天我們這節(jié)課學習等比數(shù)列，它與等差

數(shù)列有密切的聯(lián)系，同學們完全可以根據(jù)已學過的等差數(shù)列來研究等比數(shù)列。”什么樣的數(shù)列

叫等差數(shù)列？你能類比猜想什么是等比數(shù)列嗎？列舉出一兩個例子，試說出它的定義。

問題：

（1）請分析三位教師教學引入片段的特點？

（2）在（1）的基礎上,談談你對課題引入的觀點。

—16—

六、教學設計題(本大題1小題,30分)

17.等比數(shù)列是高中數(shù)列學習的重要內(nèi)容之一。它與我們?nèi)粘Ｉ?、生產(chǎn)和科學研究有著

緊密的聯(lián)系,尤其體現(xiàn)在資產(chǎn)折舊、貸款利率的計算等方面。針對“等比數(shù)列”的教學，請完成

下面的任務：

(1)設計一個生活中的實例,加深學生對等比數(shù)列概念的理解，并說明設計意圖；

(2)寫出等比數(shù)列教學的教學目標；

(3)根據(jù)擬定的教學目標，設計一個探索、發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列及其通項公式的教學過程，并說

明設計意圖。

—17—

教師資格考試數(shù)學學科知識與教學能力（高級中學）

標準預測試卷（四）

注意事項：

1.考試時間為120分鐘，滿分為150分。

2.請按規(guī)定在答題卡上填涂、作答。在試卷上作答無效，不予評分。

一、單項選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分）

1.點4(4,-3,1)在平面”逐+2曠-2-3=0上的投影是()。

A.(5,-1,0)B.(5,1,0)

C.(-5,1,0)D.(5,-1,1)

2.若尸=(2,l,t)T可由q=(-1,2,4)13=(-2,1,5>線性表出，則

()o

A.-2B.-3

C.1D.2

3.下列級數(shù)中，不收斂的是()

???o

00

00]

A.2B.2

2

n=1n=1n-n+1

(幾！尸

D.y

4(2n)!

4.設隨機變量X~且E(X)=L6,D(X)=1.28,則()o

A.n=5,p=0.32B.n=4=0.4

C.n=8,p=0.2D.n=7,p=0.45

5.設函數(shù)/(%)=asinx+%sin2”,在4°=p處取得極值，則()o

A.a=TT/(IT)是極小值

B.a=PJ(宣)是極大值

C.a=2pJ(n)是極小值

D.a=2“J(p)是極大值

■11r

6.設A=201乃是3階非零矩陣，且A3=O,則Q=()O

.-1a0.

A.-1B.0

C.2D.1

——18——

7.邏輯推理是得到數(shù)學結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的（）0

A.標準B.認知規(guī)律

C.基本保證D.內(nèi)涵

8.《九章算數(shù)注》的作者是（）o

A.劉徽B.秦九韶

C.楊輝D.趙爽

二、簡答題（本大題共5小題,每小題7分，共35分）

9.求到平面4x-2y-4z-5=0的距離等于2的點的軌跡方程。

10.設ai，a2,a3線性無關(guān),證明:%+a2,a2+?3，?1+出線性無關(guān)。

—19—

11.計算積分卜arctanxd%。

12.在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，信息技術(shù)的廣泛應用正在對數(shù)學教育產(chǎn)生深刻影響。請簡要說明

信息技術(shù)在數(shù)學教育中的影響。

13.以直線和平面的關(guān)系為例，說明教學過程中涉及的開放性問題的作用。

—20—

三、解答題（本大題1小題,10分）

a[0

14.設A=，當a,b為何值時,存在矩陣C使得AC-CA=3,并求所有

0.

矩陣C

四、論述題（本大題1小題,15分）

15.針對上課期間教師提出問題后學生出現(xiàn)沉默的現(xiàn)象,分析為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象，并

給出解決辦法。

—21—

五、案例分析題（本大題1小題,20分）

16.在學習了“雙曲線”后，教師要求學生解決如下問題。

已知雙曲線--y2=3,直線y=k{x+1）,討論直線與雙曲線交點的個數(shù)。

下面是某位同學的解答過程：

3?—v2—3

'消去y得（1-標）/-2幺x-（標+3）=o,當△=（-2儲）2+

{y=A（x+1）,

4（1-心）（標+3）=0,即"=±§時，方程組只有一個解，故直線與雙曲線有一個交點；當A=

（-2儲產(chǎn)+4（1-*）（*+3）＞0,即＜§時，方程組有兩個解，故直線與雙曲線有

兩個交點；當A=（-2廿）2+4（1-K）（公+3）＜。陽k＞與或k＜-g時，方程組無解，故

直線與雙曲線沒有交點。

問題：

（1）指出該解法的錯誤之處,分析錯誤原因，并給出正確解法；

（2）針對該題的教學,談談如何設置問題,幫助學生避免出現(xiàn)上述錯誤。

—22—

六、教學設計題(本大題1小題,30分)

17.“平面向量的數(shù)量積”的教學目標設計如下：

目標一:知道平面向量數(shù)量積定義的產(chǎn)生過程，掌握其定義，了解其幾何意義；

目標二:掌握平面向量數(shù)量積的公式；

目標三:能用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的關(guān)系。

(1)請設計一個實例,加深學生對平面向量的數(shù)量積的理解；

(2)請針對上述教學目標,設計平面向量的數(shù)量積的教學過程；

(3)針對目標三，設計兩道例題,以幫助學生進一步鞏固向量數(shù)量積公式及其應用o

—23—

教師資格考試數(shù)學學科知識與教學能力(高級中學)

標準預測試卷(五)

注意事項：

1.考試時間為120分鐘，滿分為150分。

2.請按規(guī)定在答題卡上填涂、作答。在試卷上作答無效，不予評分。

一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分)

^arctanx

1.設F(x)=1/⑺市J⑷連續(xù)，則F'(x)=()。

A.arctanx)-af[a}

1+x

B.r/*(arctanx)-ax\naf(a)

1+%

C.arctanx)+ax\naf(a)

1+x

D.---rf(arctanx)-ax\nxf(ax)

1+%

?i

2.--x”的收斂域為()o

n=i2,n

A.[-2,2)B.[-2,2]

C(-2,2]D.(-2,2)

oor■300'

3.設矩陣A=010,B=030，則A與8()0

Jo0.00-1.

A.合同且相似

B.合同但不相似

C.不合同但相似

D.既不合同也不相似

4.平面yOz內(nèi)的一條直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形不可能是()o

A.旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面B.圓柱面

C.圓錐面D.平面

伙〃，。且￡(

5.已知隨機變量X~2),21+1)=5,則〃=()o

A.0B.-1

C.2D.1

—24—

6.已知多項式f(x)=x3-2x2-x+2,g(x)=x3+4x2+54+2,那么(f(x),

g(X))=()o

A.(x+I)2B.(x-1)

C.(x+2)D.(x+1)

7.《學記》中提出“道而弗牽，強而弗抑,開而弗達”。這體現(xiàn)了下列哪項教學原則？()

A.啟發(fā)式原則B.因材施教原則

C.循序漸進原則D.鞏固性原則

8.在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中逐步形成和發(fā)展的數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：()、直

觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等。

A.分類討論B.數(shù)學建模

C.數(shù)形結(jié)合D.分離變量

二、簡答題(本大題共5小題,每小題7分，共