2022-2023學(xué)年廣東省惠州市重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省惠州市重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期中聯(lián)考數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

TT/\

1.CoS五=()

ΛΛ^5+ΛΛ7B口--C?Γ~6+yJ~~2D.一三

-4?44

2.已知4,B,C,。為平面上四點(diǎn)，則“向量而〃而”是“直線4B〃CO”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)/(x)=sin(2x-3)在［0,竿］上的最小值為()

A.-1B.-WC.-≤?D.-?

222

4.若向量方，加滿足|町=1,|3|=2，且為與方的夾角為小則∣2+B∣=()

A.2B.√-5C.√r^6D.√^7

5.已知S譏2a=2-2CoS2α,則tɑ?Ia=()

C./(t)=cos(πt+今

D./(t)=cos(2t-

7.已知AABC的外接圓圓心為。，且2m=南+而，?A0?=?AB?=2,則瓦5?瓦s=()

A.0B.2C.4D.4√~3

8.智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過

主動(dòng)降噪芯片生成的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知噪聲的聲波曲線是y=2cos3x,通過主動(dòng)降

噪芯片生成的聲波曲線是丫=4§譏（3%+0）（其中2>0,ω>O,0≤φ<2π）,則@=（）

噪聲聲波

用來降噪的反向聲波兩者益加后

A.≡B,πC.?D.ξ

N2b

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列命題正確的是（）

A.空間中所有的單位向量都相等

B.若五=石,貝限〃B

C.若五,方滿足I五∣>∣B∣,且方，方同向，則五>方

D.對(duì)于任意向量五，石，必有|五+石I≤I五I+|另|

10.下列說法正確的是（）

A.向量五在向量另上的投影向量可表示為萼?金

?b?Ibl

B.若五不<0,則W與石的夾角。的范圍是€，兀］

C.若△4BC是等邊三角形，則而，灰的夾角為60。

D.若方i=0，則五1方

11.古代典籍倜易少中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響.如圖是受“八卦”的啟

示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若。是正八邊形4BCDEFGH的中心，且|四I=1,則（）

A.JTA+^DE=0B.ODOF=0

C.OA+OC=y∕~30BD.AC-CD=^

12.己知函數(shù)/O)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,?φ?<［的

部分圖象如圖所示，下列說法正確的是()

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為JT

B.函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-*0)對(duì)稱

C.函數(shù)f(x)圖象向右平移看個(gè)單位可得函數(shù)y=2s譏2x的圖象

D.若方程/(X)=m(m∈R)在［一看苧上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根久1，

x,

2則CoS(Xl+X2)=~γ^

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知|石|=2|何，若五與方的夾角為120。，則2方一B在方上的投影向量為.

14.已知sin。+Sin(O+》=1,則CoSG+26)=-

15.將函數(shù)/(x)=cos(2x+φ)(φ>0)的圖象向右平移工個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像，則

9的最小值是.

16.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟在儂政全

書)中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖1).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)簡(jiǎn)都

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖2,將筒車抽象為一個(gè)半徑為R的圓，設(shè)筒車按逆時(shí)針方向每旋一周用時(shí)

60秒，當(dāng)t=0時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)PO(2,-2，耳)，經(jīng)過t秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(X,y),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)

滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,a>0,?φ?<|),則。=；當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)45秒時(shí)，

盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖,在△ABC中,而=I四，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC上的三等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)C,設(shè)想=a，

CB=b-

(1)用五，方表示前，CDi

(2)如果乙4CB=60。，AC=2,且CDIEF,求|而「

18.(本小題12.0分)

已知IlHl=1,?~b'?=2.

(I)若丁〃^Γ,求^r?^Γ;

(Il)若/、T的夾角為60。,求+石I；

(Ill)若丁一方與H垂直，求當(dāng)k為何值時(shí)，(k~a"-~b')1(^α^+2T)?

19.(本小題12.0分)

已知角α以X軸的非負(fù)半軸為始邊，P(C,-1)為終邊上一點(diǎn).

(1)求cos2α,tcm2α的值；

(2)求cos(α-2ττ)cos(?-α)tan(La)的值

sin(-α)cos(3ττ+ɑ)

20.(本小題12.0分)

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<今的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)先將函數(shù)y=/(x)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的)再將得到的函數(shù)圖象向左平移為個(gè)單位,

ZW

最后得到函數(shù)y=g(x),求g(x)在區(qū)間［。,勺上的值域.

21.(本小題12.0分)

設(shè)兩個(gè)向量五，b滿足INl=1,?b?=2.

(1)若(23一石)?0+石)=一3，求R，方的夾角。；

(2)若落石的夾角為60。，向量五+3與;I五+方的夾角為銳角，求實(shí)數(shù);I的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx+y∕-3cos2x?

(1)求f(x)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；

(2)若方程f(x)-k=。在定義域［0,g上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

6

【解析】解：COS?=COSG一+="：'N

12'34'22224

故選：A.

由"=E-.及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由直線4B〃CD,得荏〃而,必要性成立；由同〃訪，知直線4B和CD平行或重

合，充分性不成立.

故選:B.

根據(jù)向量共線與直線的平行或重合之間的關(guān)系，得解.

本題考查充分必要條件的判斷，向量共線的含義，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：當(dāng)Xe崎時(shí),2x-2∈[-∣,?],

則當(dāng)Xe[0,第時(shí),/(x)min=sin?=-sin≡=-?.

故選:B.

根據(jù)正弦型三角函數(shù)在區(qū)間上的最值的求解方法得出答案.

本題主要考查三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)镮磯=1，@=2,Z與3的夾角為全

所以為?b=lx2xg=l,

'^?a+b?=I(a+b)2=Ja2+b2+2a-b=√1+4+2=√^7?

故選：D.

根據(jù)I五+刈=J(為+方)2結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：sin2α=2-2cos2a,SP2sinacosa=2—2(1—2sin2a)=4sin2a,2sina(2sina-

cosa')—0.

.?.sina=0或2sina—cosa=0,則tcmα=0或t(ma=?,

故選：D.

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式，求得tαna的值.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為亭=τr(rαd∕s),射線y=√^‰對(duì)應(yīng)的角度為。=g

ΔJ

所以動(dòng)點(diǎn)P行程的射線OP對(duì)應(yīng)的角度為與+πt,

所以/(t)=COS(Trt+，

故選：C.

動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為Trrad∕s,射線y=「%對(duì)應(yīng)的角度為8=去故動(dòng)點(diǎn)P行程的射線OP對(duì)應(yīng)的角

度為g+7Γt,得到答案.

本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由2而=荏+石，得。為BC的中點(diǎn)，

又。為△ABC的外接圓圓心，.??OA=OB=0C,故BC為外接圓的直徑，

貝IJNBHC=90。，X∣7θ∣=?AB?=2,。48為正三角形，可得NHBC=60°,

ΛBA?BC=?BA???BC??cos60o=2×4×i=4.

故選：C.

由已知可得。為BC的中點(diǎn)，且乙4BC=60。，再由數(shù)量積公式得答案.

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查由已知條件求三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意可得通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是y=-2cos3x=2sin(3x+多)，從而可求W的

值.

【解答】

解：噪聲的聲波曲線是y=2cos3x,可得通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是y=-2cos3x=

2sin(3x+?),

故S=y.

故選：C.

9.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于4單位向量的大小相等，方向不一定相等，但相等向量的大小和方向都相等，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于氏相等向量的方向相同，所以B正確；

對(duì)于C,向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由向量加法的三角形法則知，。正確.

故選：BD.

由向量的相關(guān)概念逐一判斷各選項(xiàng)即可.

本題考查向量的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4,根據(jù)投影向量的定義可得向量方在向量至上的投影向量為2?g,故A

l*lW

正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,因?yàn)榉叫?I五IIBICOs。＜0，所以cos。＜0,

又0≤8≤τr,所以。6弓,兀］,故3正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,若AABC是等邊三角形,則近，刀的夾角為120。，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，因?yàn)槲?b=0,所以五_Lb或IRl=O或Ibl=0，故。錯(cuò)誤.

故選:AB.

根據(jù)投影向量的定義即可判斷4根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可判斷B；根據(jù)向量夾角的定義即可判

斷C，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可判斷以

本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BD

【解析】解：連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF/∕BG,DE//CF,

所以凡4〃DE,又因?yàn)榉?=DE,

所以比?，灰是相反向量，所以瓦？+麗=6,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

1

-X--

又乙DoF42所以O(shè)OloF.所以O(shè)O.赤=0，8項(xiàng)正確;

由上過程可知OA，0C，連結(jié)AC交。8于點(diǎn)M,

在直角三角形04C中，M為AC的中點(diǎn)，

則瓦?+元=2OM-

又I歷?IElm=爭(zhēng)西=冷西,

所以萬？+元=√~Σ而，C項(xiàng)錯(cuò)誤；

又正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：j(8-2)×π=yt

延長(zhǎng)DC,AB,相交于點(diǎn)N,則NCBN=4BCN=%

所以NBNC=*故ABlCD,

所以前?麗=(AB+BC)-CD=ABCD+BC^CD=畫ICoS(Tr-與)=?，。項(xiàng)正確.

故選：BD.

連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF/∕BG,DE//CF,可判斷選項(xiàng)4；從而可得

zD0F=i×2π=≡,可判斷選項(xiàng)以連結(jié)AC交OB于點(diǎn)M,可判斷選項(xiàng)C：先判斷出ZBICD,

42

結(jié)合向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.

本題主要考查了相反向量的概念，考查了向量的加減運(yùn)算以及數(shù)量積的性質(zhì)和相關(guān)運(yùn)算，屬于中

檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：由圖可知4=2,J=J—卷=G所以7=生=兀，

43124ω

于是A正確，所以3=2,則/(x)=2siπ(2%+程)，

將點(diǎn)給,2)代入得：2sinζ+φ)=2,所以(+/=.+2kτr,fc∈Z,

又Ial<3所以W=*所以f(x)=2sin(2x+)；

對(duì)于B,因?yàn)?(一駕)=2sin(-^+§=-2,為最小值，

所以函數(shù)/0)的圖象關(guān)于直線工=-居對(duì)稱，點(diǎn)(-靜,0)不是對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,將函數(shù)f(x)圖象向右平移著個(gè)單位，可得函數(shù)y=2sin[2(x-^)+≡]=2sin2x,故C正確；

對(duì)于D,由條件結(jié)合圖象可知中=也于是乙+小屋，

所以COS(Xl+A?)=CoS'故。正確.

故選：ACD.

先根據(jù)圖象確定解析式，然后對(duì)應(yīng)y=SinX的性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

13.【答案】一|3

【解析】解：因?yàn)楱OE∣=2∣碼，且五與方的夾角為120。，所以2萬一方在It的投影向量為：

5

(2a-g)?g==∣S∣2×(-∣)-∣S∣2→3→

-臼?b=一沙

W——

故答案為：一|反

若。為方與方的夾角，則為在方上的投影向量為I磯cos/，=需?',由此類比可得所求.

本題考查投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】I

【解析】解：sin。+Sin(O+K=∣sinθ+4COSo

=y∕~^3(^-sinθ+?eosθ)=V^^3sin(0+7)=1>

ZL0

Sin(O+$=乎

則CoSG+20)=cos[2(≡+0)]=I-2sin2(θ+*=1-2X(?^)2=∣?

故答案為：?

利用輔助角公式化簡(jiǎn)sin。+sing+》=1,再利用倍角公式，計(jì)算即可.

本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】I

【解析】解：將函數(shù)/(X)=cos(2x+9)的圖象向右平移居個(gè)單位，

所得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=cos[2(x-y∣)+如=cos(2x-^+φ),

函數(shù)y=cos(2x-?+>)為奇函數(shù)，所以一3+⑴=T+∕C7Γ,k&Z,

所以9=等+∕ot,k∈Z,又w>0,所以令k=0,

得中的最小值是W=y-

故答案為：y?

先求出解析式，再根據(jù)三角函數(shù)奇偶性，誘導(dǎo)公式可得中的最小值.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】一百—2

【解析】解：由題意，得，R=J22+(-2√-3)2=4?ω==?,當(dāng)t=O,4s譏3=—

^Psinφ=一？，

所以勿=冶+2kτr或一號(hào)+2∕OT,fc∈Z,又|列＜*所以磔=/，所以/(t)=4sin(泉冶),

所以f(45)=4sin(y-≡)=4sin?=-2.

故答案為：—申—2.

筒車半徑即為P點(diǎn)到。點(diǎn)距離，而后根據(jù)題意求出其他參數(shù)，再代入計(jì)算即可.

本題主要考查三角函數(shù)與圓的關(guān)系，屬中檔題.

17.【答案】解：CI)因?yàn)槎?I福點(diǎn)E為ZC中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)C,

所以前=正+而=+g0=3加一^五，

CD=CA+AD=CA+^AB=CA+^(CB-CA)=∣C?+∣CB=∣K+∣α.

(2)由(1)可知，CD?EF=(∣h+∣α)?(?e-?ɑ)=0,

所以32一景2=0,由同=2,可得|1|=3,

222

所以I西=后=I(∣K+?=J?α+g≡?K+?K=∕g+∣∣×2×3×l+g=

'1Ny'55/，252525\2525225

6√^3

5

【解析】(1)利用向量的加減法法則結(jié)合圖形求解；

(2)由CDIEF,可得而?前=0，從而可得看2一筋a=。，結(jié)合已知可得∣1I=3，從而可求

?∣CD∣?

本題考查了平面向量基本定理，向量共線，向量模的求法等知識(shí)點(diǎn)，重在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏

輯推理，直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，屬中檔題.

18.【答案】解：(I)^r?T=±?~a?-?~b^I=±2(5分)

(∏)^^?T=?-a??~b∣cos60o=1.

∣-r+T∣2=∣^r∣2+2^r?T+∣T∣2=7,

.?.?~a+~bt?=/7(10分)

(i∏)若廿-T與H垂直

：.(a—h)-a=O

.?.^r?T=∣^r∣2=1

使得(kb-^Γ)1(丁+2萬*)，只要(∕cb-T)?(^α^<+2T)=0(12分)

即k∣k∣2+(2k-l)h?^Γ-2∣T『=0(14分)

???k=3(15分)

【解析】(I)由于丁〃^Γ,則兩向量共線，根據(jù)向量的數(shù)量積即得丁?^Γ;

(Il)直接根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可得到：~cT.~b=l?l.∣τICOS60。=1從而|丁+石|2=

∣^Γ∣2+2^r?T+∣TI2=7,開方后即得答案；

(In)利用兩個(gè)向量垂直的數(shù)量積條件，由PT-T與H垂直，得到?k=0,為使得

(k~cΓ-~by)1(^0"+2T),只要(Ick-T)?(?+2^Γ)=O代入數(shù)據(jù)即可求得k值.

本小題主要考查向量的模、數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：角α以X軸的非負(fù)半軸為始邊，P(L5—1)為終邊上一點(diǎn),

則比mɑ=--?

22n

(I)COS2α=cosa—sinα=S——?"=?tan2a7?=":

sinα+cos2atanα+l2l-tanz,α

cos(α-2τr)cos(^-α)tan(τr-a)_cosa?(-sina)?{-tana)

=tana6

⑵sin(-α)cos(3π+a)—sinɑ?(-cosa)T

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦、正切函數(shù)的二倍角公式，即可依次求解;

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解.

本題主要考查三角函數(shù)的二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)由圖可知，4=箕3=2,

函數(shù)/(%)的最小正周期為T=2×(y-2)=π,

?ω=γ=2,

V/(ξ)=2sin(2X[+(p)=2,

???sin(φ+≡)=1,

TrJ-TT

-?--2<Ψ<2'

則Y<0+g<m

O?O

JrTr∣-<.tTC

???8+§=2，則0=不，

故/(x)=2sin(2x+^);

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的：，可得到函數(shù)y=2sin(4x+看)的圖象，

再將得到的函數(shù)圖象向左平移去個(gè)單位，最后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，

則9。)=2sin[4(x+?)+=2sin(4x+≡),

當(dāng)0≤x≤押，^≤4x+^≤y,

則-？≤sin(4x+1)≤1>

-√-3≤g(x)≤2,

g。)在區(qū)間[0,勺上的值域?yàn)閇-√3,2].

【解析】(1)由圖可得出4的值，求