教材?？贾攸c(diǎn)歸納講義-2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

沖刺2023年高考教材?？贾攸c(diǎn)歸納

-回歸教材贏得高考

良好的心態(tài)是穩(wěn)定發(fā)揮乃至超常發(fā)揮的前提.考前這幾天，最明智的做法就是回歸基礎(chǔ)，

鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力；最有效的心態(tài)調(diào)節(jié)方法就是每天練一組基礎(chǔ)小題——做到保溫訓(xùn)

練手不涼，每天溫故一組基礎(chǔ)知識(shí)——做到胸中有糧心不慌.

(一)集合與常用邏輯用語(yǔ)

必記知識(shí)

(1)集合的運(yùn)算性質(zhì)

①AUB=A=BUA；②ACB=B08UA；③4口旬源寸昭

⑵子集、真子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式

對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合〃，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次

為2",2"—1,2"~1,2"-2.

(3)集合運(yùn)算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；

若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解.

2.四種命題之間的相互關(guān)系

3.四種命題的真假關(guān)系

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

提醒(1)兩個(gè)命題互為逆否命題時(shí)，它們有相同的真假性.

(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

(3)如果一些命題的真假不容易直接判斷，則可以判斷其逆否命題的真假.

4.否命題與命題的否定的區(qū)別

否命題命題的否定

否命題既否定其條件，又否定其結(jié)論命題的否定只是否定命題的結(jié)論

區(qū)別命題的否定與原命題的真假總是相對(duì)立的，

否命題與原命題的真假無(wú)必然聯(lián)系

即一真一假

全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如下所述:

命題命題的否定

VxeM,p(x)

p(xo)YxRM,rp(x)

提醒由于全稱命題經(jīng)常省略量詞，因此，在寫這類命題的否定時(shí)，應(yīng)先確定其中的全

稱量詞，再改寫量詞和否定結(jié)論.

6.全稱命題與特稱命題真假的判斷方法

命題

真假判斷方法一判斷方法二

名稱

全稱真所有對(duì)象使命題真否定命題為假

命題假存在一個(gè)對(duì)象使命題假否定命題為真

特稱真存在一個(gè)對(duì)象使命題真否定命題為假

命題假所有對(duì)象使命題假否定命題為真

◎)

必會(huì)結(jié)論

(DAABUA,4C8UB；AU4UB；BUAUB,AUA=A,AU0=A,4U8=BUA；AHA

—A,4n0=0,AnB=BCA.

(2)若AUB,則AAB=4反之，若An8=A,則AUB.若AUB,則AUB=B；反之，若

AUB=B,則4UB.

(3)AC(luA)=0,AUQA)=U，CIXCUA)=A.

(4)lM4nB)=(CMU(CUB)，CtXAuB)=(C〃)c(1山).

2.一些常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定

正面正面正面

否定否定否定

詞語(yǔ)詞語(yǔ)詞語(yǔ)

等于不等于存在

是不是任意的

(=)(W)一個(gè)

不大于(小不都是(至

大于存在

于或等于，都是少有一個(gè)所有的

(>)一個(gè)

即"W”)不是)

不小于(大

小于至多有至少有

于或等于，且或

(<)一個(gè)兩個(gè)

即“》”)

至少有一個(gè)也沒(méi)

全為不全為或且

一個(gè)有

(1)定義法：正、反方向推理，若p=q,則p是g的充分條件(或夕是p的必要條件)；若

p=>q,且qKp,則/，是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件).

(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系.例如，若AUB,則A是8的充分條件(8是A的必

要條件)；若A=8,則A是B的充要條件.

(3)等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題.

易錯(cuò)剖析

易錯(cuò)點(diǎn)1忽視集合中元素的互異性

【突破點(diǎn)】求解集合中元素含有參數(shù)的問(wèn)題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值后，再

根據(jù)其互異性檢驗(yàn).

易錯(cuò)點(diǎn)2未弄清集合的代表元素

【突破點(diǎn)】集合的特性由元素體現(xiàn)，在解決集合的關(guān)系及運(yùn)算時(shí)，要弄清集合的代表

元素是什么.

易錯(cuò)點(diǎn)3遺忘空集

【突破點(diǎn)】空集是一個(gè)特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思維定式的

原因，在解題中常遺忘這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或解題不全面.

易錯(cuò)點(diǎn)4忽視不等式解集的端點(diǎn)值

【突破點(diǎn)】進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，可以借助數(shù)軸，要注意集合中的“端點(diǎn)元素”在運(yùn)算時(shí)

的“取”與“舍”.

易錯(cuò)點(diǎn)5對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)

【突破點(diǎn)】由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫，從而在進(jìn)行命題否定時(shí)易只

否定全稱命題的判斷詞，而不否定被省略的全稱量詞.

易錯(cuò)點(diǎn)6不清楚“否命題”與“命題的否定”的區(qū)別

【賣破點(diǎn)］“否命題”是既否定其條件，又否定其結(jié)論，而''命題的否定”只是否定

命題的結(jié)論.

易錯(cuò)快攻

易錯(cuò)快攻一遺忘空集

［典例1］集合A={x|x<-1或x23},8={x|ax+lW0},若照A,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.［J1)

B.1_

C.（-8,-1）U［O,+8）

D.-1,OjU（O,1）

I嘗試解題］

糾錯(cuò)技巧

注意空集的特殊性.由于空集是任何集合的子集，因此，本題中B=0時(shí)也滿足BQA.

解含有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意含參數(shù)的所給集合可能是空集的情況.空集是一個(gè)特殊的

集合，由于受思維定式影響，同學(xué)們往往在解題中易遺忘這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或解題不

全面.

易錯(cuò)快攻二對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)

［典例2］已知命題p：3n0eN,2n0>l000,則下為（）

A.VnCN,2"<1000B.V，停N,2"<1000

C.V/?eN,2Y1000D.V澗N,2"W1000

［嘗試解題I

糾錯(cuò)技巧

本題易忽視對(duì)量詞的否定致錯(cuò).在對(duì)含有全稱量詞或存在量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，要先

對(duì)全稱量詞或存在量詞進(jìn)行否定：全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，

然后對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定.簡(jiǎn)記為改量詞，否結(jié)論.

（二）不等式

必記知識(shí)

解一元二次不等式的步驟：一化（將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)）；二判（判斷/的符號(hào)）；三解（解

對(duì)應(yīng)的一元二次方程）；四寫（大于取兩邊，小于取中間）.

解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①二次項(xiàng)

系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開(kāi)口方向；②判別式它決定根的情形，一般分/>0,4=0,/<0

三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小.

2.一元二次不等式的恒成立問(wèn)題

\a>0,

（1）江+版+c>0（a/0）恒成立的條件是

U<0.

c_ia<0,

（2）以2+bx+c<0（aW0）恒成立的條件是

I/O.

3.分式不等式

；；>0(<0)0次x)g(x)>0(<0)；

于（X）f(x)g(x)20(WO),

g（X）g(x)WO.

提醒（1）不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出

錯(cuò).

（2）解形如一元二次不等式〃*+公+c>0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注

意分。>0,4<0進(jìn)行討論.

（3）應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形，不能把;（x）-WO直接轉(zhuǎn)化為

凡r>g（x）WO,而忽視g（x）W0.

4.圖解法求解線性規(guī)劃問(wèn)題的基本要點(diǎn)

（1）定域：畫出不等式（組）所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)

的對(duì)應(yīng).

(2)平移：畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線/,平行移動(dòng)直線，讓其與可行域有公共

點(diǎn)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；注意熟練掌握常見(jiàn)的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.

(3)求值：利用直線方程構(gòu)成的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值.

提醒(1)直線定界，特殊點(diǎn)定域：注意不等式中的不等號(hào)有無(wú)等號(hào)，無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫成

虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線.若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn)：若直線過(guò)原點(diǎn)，則特

殊點(diǎn)常選取(1,0),(0,1).

(2)線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，最優(yōu)

解不一定唯一，有時(shí)可能有多個(gè)；非線性目標(biāo)函數(shù)或非線性可行域的最值問(wèn)題，最優(yōu)解不一

定在頂點(diǎn)或邊界處取得.

5.利用基本不等式求最值

(1)對(duì)于正數(shù)x,y,若積巧，是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2五

(2)對(duì)于正數(shù)x,y,若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)，積孫有最大值52.

(3)已知a,b,x,ySR+,若ar+by=l,則有：+：=(ax+外)半》a

+b+2y[ab=(yJ7i+y[b)2.

(4)已知a,b,x,),GR+,若貝U有x+y=(x+y)g+m=a+8+半+,泊+匕

+2-^ah=(-\[ci+y[b)2.

提醒利用基本不等式求最大值、最小值時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三相等"，即：①所

求式中的相關(guān)項(xiàng)必須是正數(shù)；②求積xy的最大值時(shí)，要看和x+y是否為定值，求和x+y的

最小值時(shí)，要看積孫是否為定值，求解時(shí)，常用到“拆項(xiàng)”“湊項(xiàng)”等解題技巧；③當(dāng)且僅

當(dāng)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等時(shí)，才能取等號(hào).以上三點(diǎn)應(yīng)特別注意，缺一不可.

必會(huì)結(jié)論

解不*式恒成立問(wèn)題的常用方法

(1)若所求問(wèn)題可以化為一元二次不等式，可以考慮使用判別式法求解，利用二次項(xiàng)系數(shù)

的正負(fù)和判別式進(jìn)行求解，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

(2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于零的問(wèn)題，一般的轉(zhuǎn)化

原理是：在閉區(qū)間D上，段)20恒成立=⑥)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上；

人在區(qū)間。上的圖象在x軸下方或x軸上.

(3)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)的問(wèn)題，即

或“式x)Wa”型不等式恒成立問(wèn)題，通常利用函數(shù)最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其一般的轉(zhuǎn)化

原理是：在閉區(qū)間D上恒成立=Kx)min》a(xe。)；兀v)Wn在閉區(qū)間D上恒成立

Uy(X)max<a(xG力).

(4)分離參數(shù)法：將恒成立的不等式F(x,⑼力0(或W0)(血為參數(shù))中的參數(shù)機(jī)單獨(dú)分離出

來(lái)，不等號(hào)一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，該方法主要適用于參

數(shù)與變量能分離和函數(shù)的最值易于求出的題目，其一般轉(zhuǎn)化原理是：當(dāng)，"為參數(shù)時(shí)，g(M>

於)=g(m)>/(X)max；g(.m)<?r)=g(/n)<^x)min.

易錯(cuò)剖析

易錯(cuò)點(diǎn)1不能正確應(yīng)用不等式性質(zhì)

【突破點(diǎn)】在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式

兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)N次方時(shí)，一

定要注意使其能夠這樣做的條件.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽視基本不等式應(yīng)用的條件

【突破點(diǎn)】(1)利用基本不等式標(biāo)以及變式MW(審)等求函數(shù)的最值時(shí)，

務(wù)必注意a,6為正數(shù)(或凡b非負(fù))，特別要注意等號(hào)成立的條件.

(2)對(duì)形如y=ax+§(4,歷>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ar,

軻號(hào).

易錯(cuò)點(diǎn)3解不等式時(shí)轉(zhuǎn)化不等價(jià)____________

【突破點(diǎn)】如求函數(shù)兀r)Ng(x)2?？赊D(zhuǎn)化為?r)Ng(x)>0或危>擊(x)=0,否

則易出錯(cuò).

易錯(cuò)點(diǎn)4解含參數(shù)的不等式時(shí)分類討論不當(dāng)

【突破點(diǎn)】解形如加+法+。>0的不等式時(shí)，首先要考慮對(duì)丁的系數(shù)進(jìn)行分類討論.當(dāng)

a=0時(shí)是一次不等式，解的時(shí)候還要對(duì)6,c進(jìn)一步分類討論；當(dāng)nWO且/>0時(shí)，不等式可

化為a(x—xi)(x—%2)>0,再求解集.

易錯(cuò)點(diǎn)5不等式恒成立問(wèn)題處理不當(dāng)

【突破點(diǎn)】應(yīng)注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別，如對(duì)任意句都有?x)Wg(x)成

立，即貢>)-g(x)WO的恒成立問(wèn)題，但對(duì)存在xG［a,句，使y(x)Wg(x)成立，則為存在性問(wèn)

題，可化為7(X)minWg(X)max,應(yīng)特別注意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關(guān)系.

易錯(cuò)點(diǎn)6尋找最優(yōu)整數(shù)解的方法不當(dāng)

【■突破點(diǎn)】線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解一般在可行域的端點(diǎn)或邊界處取得，而最優(yōu)整數(shù)解

的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，所以最優(yōu)整數(shù)解不一定在邊界或端點(diǎn)處取得，一般先把端點(diǎn)或邊界處

的整點(diǎn)找出，然后代入驗(yàn)證.

易錯(cuò)快攻

易錯(cuò)快攻忽視基本不等式的應(yīng)用條件

［典例］函數(shù)—3(“>0,“W1)過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線加x+〃y=~~2(m>0,">o)

上，則2+5的最小值為()

A.3B.2啦

3+2/D.亨

2

［嘗試解題］

糾錯(cuò)技巧

應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)必須遵循"一正、二定、三相等”的順序.本題中求出5+〃=

1后，若采用兩次基本不等式，有如下錯(cuò)解：

5+〃=122、禺，所以我W乎，卷①又任，②

所以5+!22啦.選B.

此錯(cuò)解中，①式取等號(hào)的條件是3=〃，②式取等號(hào)的條件是即兩式的等號(hào)

不可能同時(shí)取得，所以2啦不是5+1的最小值.

【方法點(diǎn)津】

基本不等式加以引申，可得到如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，4>

b

嗒生為平方平均數(shù)、稱皆為算術(shù)平均數(shù)、

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.其中稱

稱屈為幾何平均數(shù)、稱高為調(diào)和平均數(shù)，它們分別包含了兩個(gè)正數(shù)的平方之和a2+b\

a+b

兩個(gè)正數(shù)之和。+從兩個(gè)正數(shù)之積加、兩個(gè)正數(shù)的倒數(shù)之和!只要已知這四個(gè)代數(shù)式的

其中一個(gè)為定值，就可以求解另外三式的最值，應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)加以重視.

(三)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

必記知識(shí)

(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法

①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍.

②若己知/(x)的定義域?yàn)橐?，回，則人g(x))的定義域?yàn)椴坏仁絘Wg(x)W6的解集；反之，

已知共g(x))的定義域?yàn)?,b],則火x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)(xe[a,切)的值域.

(2)常見(jiàn)函數(shù)的值域

①一次函數(shù))=丘+8氏#0)的值域?yàn)镽.

②二次函數(shù)y=o?+法+c(aWO)：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)橐皇唬?°°J>當(dāng)”<。時(shí)，值域

(4ac-h2'

為1-8,-4a_|；

③反比例函數(shù)y=§(A#O)的值域?yàn)閧yWR|yrO}.

提醒(1)解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，要樹(shù)立定義域優(yōu)先原則.

(2)解決分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意與解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍.

2.函數(shù)的奇偶性、周期性

(I)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，

都有大一x)=-/(x)成立，則兀v)為奇函數(shù)(都有人一x)=ym)成立，則yu)為偶函數(shù)).

(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)人r),如果對(duì)于定義域內(nèi)

的任意一個(gè)x的值，若區(qū)x+7)=Ax)(r#o),則y(x)是周期函數(shù)，r是它的一個(gè)周期.

提醒判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整

理，但必須注意使定義域不受影響.

3.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì).

①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)為，X2G[fl,b],

那么(xi—X2).Xi)一/(X2)]>O卜[('‘)>00大只在[4,b]上是增函數(shù)：

X\一X2

(XI—X2)一㈤)一y(X2)]<oJ二f(X2)<o^x)在[a,句上是減函數(shù).

一X2

②若函數(shù)y(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，40+ga)是減函數(shù)；若函數(shù)和

g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，/U)+g(x)是增函數(shù);根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))

的單調(diào)性.

提醒求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“u”和“或”連接，可用“與”

連接或用“，”隔開(kāi).單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替.

4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)定點(diǎn)：y—ax(a>0,且“#D恒過(guò)(0,1)點(diǎn)；

y=logd(">。，且aWl)恒過(guò)(1,0)點(diǎn).

(2)單調(diào)性：當(dāng)”>1時(shí)，在R上單調(diào)遞增；y=log?x在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<。<1時(shí)，在R上單調(diào)遞減；y=logaX差(0,+8)上單調(diào)遞減.

5.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1沖(必)的幾何意義：曲線)，=/U)在點(diǎn)(尤0，/0))處的切線的斜率，該切線的方程為y-/Uo)

=/(xo)(x—xo).

(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y=/(x)上；②在切線上.

6.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①求函數(shù)於)的定義域；

②求導(dǎo)函數(shù)了⑴；

③由/(x)>0的解集確定函數(shù);(x)的單調(diào)增區(qū)間，由/(x)<0的解集確定函數(shù)九r)的單調(diào)減

區(qū)間.

(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

①若可導(dǎo)函數(shù)./U)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則了⑴20(x6M)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)Hx)在區(qū)

間用上單調(diào)遞減，則/(x)WO(xWM)恒成立(注意：等號(hào)不恒成立)；

②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間,了。)>0(或了x()<0)在該區(qū)間上存在解集；

③若已知人x)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出兀v)的單調(diào)區(qū)間，則

/是其單調(diào)區(qū)間的子集.

提醒已知可導(dǎo)函數(shù)共處在(“，份上單調(diào)遞增(減)，則了(x)》O(WO)對(duì)VxEQ,力恒成立，

不能漏掉“="，且需驗(yàn)證“=”不能恒成立：已知可導(dǎo)函數(shù)火x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(〃，

b),則/(x)>0(<0)的解集為(a,b).

7.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

(1)求函數(shù)的極值的一般步驟

①確定函數(shù)的定義域；

②解方程/(x)=0;

③判斷了(x)在方程/(x)=0的根須兩側(cè)的符號(hào)變化；

若左正右負(fù)，則必為極大值點(diǎn)；

若左負(fù)右正，則xo為極小值點(diǎn)：

若不變號(hào)，則xo不是極值點(diǎn).

(2)求函數(shù)兀0在區(qū)間［m句上的最值的一般步驟

①求函數(shù)y=y(x)在3，句內(nèi)的極值；

②比較函數(shù)y=/(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值人〃)，人切的大小，最大的一個(gè)是最大值,

最小的一個(gè)是最小值.

提醒/(x)=0的解不一定是函數(shù)次x)的極值點(diǎn).一定要檢驗(yàn)在X=次的兩側(cè)/(x)的符號(hào)是

否發(fā)生變化，若變化，則為極值點(diǎn)；若不變化，則不是極值點(diǎn).

必會(huì)結(jié)論

(1)若大x+“)=/(x—“)3/0),則函數(shù)人x)的周期為2同；若火x+a)=—兀v)(aHO),則函數(shù)

式x)的周期為21al.

⑵若危+a)=-7%(aW0,./(x)W0),則函數(shù)危)的周期為2間；若於+4)=八寧(。W0,

犬x)WO),則函數(shù)式x)的周期為21al.

(3)若/(x+a)=7(x+/>)3WZ>),則函數(shù)的周期為以一夙

(4)若函數(shù)y(x)島圖象關(guān)于直線x=a與x=b(aWb對(duì)稱，則函數(shù)外)的周期為2也一切.

(5)若函數(shù)/U)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a(aWO)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為21al.

(6)若函數(shù)7U)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a(aWO)對(duì)稱，則函數(shù)7U)的周期為41al.

2.函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=/U)滿足大a+x)=/3—x),即兀0=*2。-x),則兀0的圖象關(guān)于直線x=a

對(duì)稱；

(2)若函數(shù)y=/(x)滿足_A“+x)=一大〃-x),即KX)=—?LX),則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)3，

0)對(duì)稱；

(3)若函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/(Z>—x),則函數(shù)4x)的圖象關(guān)于直線x=g”對(duì)稱.

3.三次函數(shù)的相關(guān)結(jié)論

給定三次函數(shù)yCOua^+Af+cx+cA/z￥。)，求導(dǎo)得則

(1)當(dāng)4(〃-3農(nóng)戶0時(shí)，/(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即兀v)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)4(/—3ac)W0

時(shí)，火x)無(wú)極值點(diǎn).

(2)若函數(shù)?r)的圖象存在水平切線，則/(x)=0有實(shí)數(shù)解，從而4(/-3")20.

(3)若函數(shù)兀v)在R上單調(diào)遞增，則?>0且4(〃-3ac)W0.

易錯(cuò)剖析

易錯(cuò)點(diǎn)I函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準(zhǔn)確

【突破點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)的幾個(gè)不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾

個(gè)區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可.

易錯(cuò)點(diǎn)2判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)忽略定義域

【突破點(diǎn)】一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果

不具備這個(gè)條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).

易錯(cuò)點(diǎn)3用判別式求函數(shù)值域，忽視判別式存在的前提

【突破點(diǎn)】(1)確保二次項(xiàng)前的系數(shù)不等于零.

(2)確認(rèn)函數(shù)的定義域沒(méi)有其他限制.

(3)注意檢驗(yàn)答案區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求.

易錯(cuò)點(diǎn)4函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)

【突破點(diǎn)】只有函數(shù)式x)在區(qū)間［a,句上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有犬“加匕)<0時(shí)，

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,份內(nèi)才有零點(diǎn)，但/(〃求8)>0時(shí)，不能否定函數(shù)y=y(x)在(a,b)內(nèi)有零

點(diǎn).

易錯(cuò)點(diǎn)5不清楚導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系

【突破點(diǎn)】(1爐。0)=0只是可導(dǎo)函數(shù)人x)在xo處取得極值的必要條件，即必須有這個(gè)

條件，但只有這個(gè)條件還不夠，還要考慮/(X)在松兩側(cè)是否異號(hào).

(2)已知極值點(diǎn)求參數(shù)要進(jìn)行檢驗(yàn).

易錯(cuò)點(diǎn)6混淆“切點(diǎn)”致誤

【突破點(diǎn)】注意區(qū)分“過(guò)點(diǎn)A的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”的不同.“在”

說(shuō)明這點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過(guò)”只說(shuō)明切線過(guò)這個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)不一定是切點(diǎn).

易錯(cuò)點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不準(zhǔn)確

【突破點(diǎn)】(1?(x)>O(<O)(xe(a,份)是犬X)在(a,份上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件.

(2)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)於)在(〃，份上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對(duì)于任意b),有

”x)20(W())且7(x)在3,與內(nèi)的任何子區(qū)間上都不恒為零.若求單調(diào)區(qū)間，可用充分條件.若

由單調(diào)性求參數(shù)，可用充要條件.即/(x)20(或_/U)WO),否則容易漏解.

易錯(cuò)快攻

易錯(cuò)快攻一函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)

⑶+1(xWO),

［典例1］設(shè)函數(shù)負(fù)工)=“一八、若關(guān)于x的方程/(X)—3+2求》)+3=0恰好有

l|10gu|(A->0),

六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(一2小—2,2小一2)

B.(2小-2,|］

C.+8)

D.(2小一2,+°°)

糾錯(cuò)技巧

(l)F(g(x))=0的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化所給條件，其轉(zhuǎn)化思路為：先進(jìn)行

整體換元，將P(g(x))=0轉(zhuǎn)化為方程F(f)=O(f=g(x))的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后轉(zhuǎn)化為f=g(x)的

根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為y=，與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

(2)“以形助數(shù)”是研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)常采用的策略，本題在作函數(shù)兀行的圖象時(shí)，要注意

指數(shù)函數(shù)3v>0.

(3)由關(guān)于t的一元二次方程的實(shí)根分布情況得到關(guān)于a的不等式組是求解本題的一個(gè)關(guān)

鍵點(diǎn)，注意一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題一般需要從一元二次方程根的判別式，對(duì)應(yīng)二次函

數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)所取值的正負(fù)，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系三方面考慮.

易錯(cuò)快攻二混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間”

［典例2］［2022?山東臨沂高三期末］已知函數(shù)1/(x)=e*—ax—cosx,g(x)=J(x)—x,aWR.

(1)若貝x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，求a的最大值；

(2)當(dāng)。取(1)中所求的最大值時(shí)，討論g(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明g(x)>-A/i

糾錯(cuò)技巧

(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的常用解法有兩種：一種是子區(qū)間法，即利

用集合思想求解；另一種是恒成立法，即若函數(shù)_/u)在區(qū)間。上單調(diào)遞減，則/a)wo在區(qū)間

D上恒成立(且不恒等于0).若函數(shù)<x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則/(x)20在區(qū)間。上恒成立(且

不恒等于0).

(2)求函數(shù)./U)的單調(diào)遞減區(qū)間的方法是解不等式求函數(shù)./U)的單調(diào)遞增區(qū)間的方

法是解不等式”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)"，一定要弄清題意，勿因“=”

出錯(cuò).

(四)三角函數(shù)與平面向量

必記知識(shí)

六

公式一二三四五

2E+71

角Ti+a—a兀-Q5-a兀2+1a

Q/EZ)

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa-cosasina—sina

正切tanatana一tana-tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

提醒奇變偶不變，符號(hào)看象限

“奇、偶”指的是方的倍數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)，“變與不變”指的是三角函數(shù)名稱的變

化，“變”是指正弦變余弦(或余弦變正弦).“符號(hào)看象限”的含義是：把角a看作銳角，看

7T

是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào).

2.三彳沖三角函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

工

圖象

2H：2

7TTT

在［—2+2E”+2E］/eZ)在［—兀+24兀,

單調(diào)2航］(keZ)上單調(diào)遞2+內(nèi)t，2+

性上單調(diào)遞增；在彥+2E,y增；在［2E,兀+

E)(kez)上單調(diào)遞增

2E］(%GZ)上單調(diào)遞減

+2E］(kGZ)上單調(diào)遞減

7T

對(duì)稱中心:(E,o)(rwz)；對(duì)對(duì)稱中心：傷+E,對(duì)稱中心：號(hào),

對(duì)稱

TT

性稱軸：x=2+E(k￡Z)0)(A￡Z)；對(duì)稱軸：x=

0)()1ez)

E(Z￡Z)

提醒求函數(shù)/(x)=Asin(①x+s)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A與o的符號(hào)，當(dāng)①<0時(shí)，需

把切的符號(hào)化為正值后求解.

3.三角函數(shù)圖象的變換

由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ft>x+^)(A>0,①>0)的圖象的兩種方法

提醒圖象變換的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)的坐標(biāo)的變換，所以三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換可以利用

兩個(gè)函數(shù)圖象上的特征點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點(diǎn)或最低

點(diǎn)，當(dāng)然也可以選取在原點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)即可確定變

換的方式、平移的單位與方向等.

4.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

sin(a±夕)=sinacos夕土cosasin(i.

cos(a±￡)=cosacos加sinasin￡.

tana±tan0

tan(a土馀=

1+tanatan/

sin(a+￡)sin(a-￡)=sin%—'sin節(jié)(平方正弦公式).

cos(a+￡)cos(a-^?)=cos2a—sin2^.

5.二倍角、輔助角及半角公式

(1)二倍角公式

sin2a=2sinacosa.

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a_1=1—2sin2a.

-2tana

tan26z=~."5-.

1-taira

①1+sin2a=(sina+cosa)2.

②1—sin2a=(sina—cosa)2.

(2)輔助角公式__________

y=asinx+bcosx=y]a1+b2(sinxcos^+cosxsin(p)=yjcr+b2sin(x+99),其中角勿的

終邊所在象限由a,h的符號(hào)確定，角(p的值由tan夕=，(4/0)確定.

6.正、余弦定理及其變形(在△A8C中，若角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為

△ABC外接圓半徑)

定理正弦定理余弦定理

a1=b1+c1-2bccosA；

q=上

內(nèi)容=3=2Rh2=a2+c2-2accosB；

sinAsinBsinC

c1=a1+b2-2abcosC

(l)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rsin

C；

⑵sinA=^，sin8=4,sinC=

h^+c2—a2

cosA-2bc；

c

1

2R；cr+cr—b

變形cosB~2ac；

(3)。：b:c=sinA：sinB：sinC；

(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,a

cosC-2ab

sinC=csinA；

_a+b+ca

“sinA+sinB+sinCsinA

提醒在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，要注意檢臉解是否滿足“大邊對(duì)大角”，避免

增解.

7.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知非零向量。=。1，）"），力=。2，”），。為向量。，）的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=y[a^a⑷=返+4

數(shù)量積a'b=\a\\b\cos0a-b=x\X2+y\y2

八加及+-1」2

aab

夾角c°s”⑷向山；+代也+陵

a-Lb的充要條件ab=0x\X2+y\y2=0

la創(chuàng)WM/1

|a創(chuàng)與|a||b|

（當(dāng)且僅當(dāng)?！╞

的關(guān)系“X；+￡-yjx2+族

時(shí)等號(hào)成立）

提醒（1）要特別注意零向量帶來(lái)的問(wèn)題：0的模是0,方向任意，并不是沒(méi)有方向：0

與任意非零向量平行.

（2）.力＞0是《a,b〉為銳角的必要不充分條件；a仍＜0是〈a,b〉為鈍角的必要不充分條

件.

必會(huì)結(jié)論

1.降幕、升鬲公式

(1)降幕公式

1—cos2a

2

@sina—-2

1+cos2a

(g)cos2a=

2

(3)sinacosa=]sin2a.

(2)升嘉公式

@1+cosQ=2COS]；

(2)1—cosa=2sin2?；

③l+sina=(sin/cos?)；

三(.aaY

(4)1—sina=lsin2-cos2I.

2.常見(jiàn)的輔助角結(jié)論

(1)sinx±cosx=yl2sin

(2)cosx±sinx=-\/2cos

(3)sinx±^3cosx=2sin鬲).

(4)cosx±\/3sinx=2cos"亍).

(5h/5sinxicosx=2sin&).

(6h/3cosx±sinx=2cosLr+^J

易錯(cuò)剖析

易錯(cuò)點(diǎn)1忽視零向量

【突破點(diǎn)】零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長(zhǎng)度為0,其方向是任意的，

零向量與任意向量都共線.

易錯(cuò)點(diǎn)2向量投影理解錯(cuò)誤

【突破點(diǎn)】把向量投影錯(cuò)以為只是正數(shù).事實(shí)上，向量a在向量力上的投影Mlcos。是

一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是零.

易錯(cuò)點(diǎn)3不清楚向量夾角范圍

【突破點(diǎn)】數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時(shí)把

這些因素考慮到，是解題成功的關(guān)鍵，如當(dāng)am<0時(shí)，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意

隱含的情況.

易錯(cuò)點(diǎn)4忽視正、余弦函數(shù)的有界性

【突破點(diǎn)】許多三角函數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決，在換元時(shí)注

意正、余弦函數(shù)的有界性.

易錯(cuò)點(diǎn)5忽視三角函數(shù)值對(duì)角的范圍的限制

【突破點(diǎn)】在解決三角函數(shù)中的求值問(wèn)題時(shí)，不僅要看已知條件中角的范圍，更重要

的是注意挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)6忽視解三角形中的細(xì)節(jié)問(wèn)題

【突破點(diǎn)】(1)解三角形時(shí)，不要忽視角的取值范圍.

(2)由兩個(gè)角的正弦值相等求兩角關(guān)系時(shí)，注意不要忽視兩角互補(bǔ)的情況.

(3)利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，切忌出現(xiàn)漏解情況.

易錯(cuò)點(diǎn)7三角函數(shù)性質(zhì)理解不透徹

【■突破點(diǎn)】(1)研究奇偶性時(shí)，忽視定義域的要求.

(2)研究對(duì)稱性時(shí)，忽視y=Asin(tox+p),y=Acos(GX+S)的對(duì)稱軸有無(wú)窮條、對(duì)稱中

心有無(wú)數(shù)個(gè).

(3)研究周期性時(shí)，錯(cuò)將y=Asin(cox+9),y=Acos(①x+9)的周期寫成號(hào).

易錯(cuò)點(diǎn)8圖象變換方向或變換量把握不準(zhǔn)確

【突破點(diǎn)】圖象變換若先作周期變換，再作相位變換，應(yīng)左(右)平移日(°>0)個(gè)單位.另

外注意根據(jù)。的符號(hào)判定平移的方向.

易錯(cuò)快攻

易錯(cuò)快攻一忽視向量的夾角范圍致誤

|典例1］［2022?山東淄博高三期末］已知向量。滿足⑷=|臼=2,且“一6在a上的投影

的數(shù)量為2+小，則〈a,b)=()

兀c兀

A-6B-3

-2兀-57r

c-TD-T

［嘗試解題I

糾錯(cuò)技巧

求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：根據(jù)向量的數(shù)量積定義，得到cos〈a,人=編.求解時(shí)，要

注意兩向量夾角的取值范圍為［0,兀］.

易錯(cuò)快攻二函數(shù)圖象平移的方向把握不準(zhǔn)

［典例2］已知函數(shù)_/U)=sin2^+小cos2x的圖象向右平移p(0〈少百個(gè)單位長(zhǎng)度后，其

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則9=()

［嘗試解題］

糾錯(cuò)技巧

⑴函數(shù)尸$山的。>0的圖象向左9>0)或向右(9<0)平移號(hào)個(gè)單位長(zhǎng)度("左加右減”)，

得到y(tǒng)=sin(cox+o)的圖象.

(2)解此類題時(shí)需要特別注意的地方有：①三角函數(shù)圖象變換的口訣為“左加右減，上加

下減”；②自變量的系數(shù)在非"1”狀態(tài)下的“提取”技巧.

(五)數(shù)列

必記知識(shí)

設(shè)S”為等差數(shù)列｛如｝的前n項(xiàng)和，則

(1)an=ai+(7?-1)d=a,n+(n—in)d,若p+q=m+nf則ap+aq=am+an.

Q)cip=q,&=p(pWg)=a'+q=0；

S/H+”SmIS”Imud.

G)Sk，S?LSk，$3左一S唳，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.

(吟=5+(m—9是關(guān)于〃的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)歹曙｝也是等差數(shù)列.

…cn(ai+a〃)n(々2+?！?1)n(。3+。〃-2)

(5)SZJ=2=2=2=…?

(6)若等差數(shù)列｛斯｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2加(m￡N*),公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶

數(shù)項(xiàng)之和為Sis，則所有項(xiàng)之和S2,"=〃7(a/n+a,"+i)(a,"，M+i為中間兩項(xiàng))，SK-Sa=md,獸=

J奇

a〃-1

Clm

(7)若等差數(shù)列｛斯｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m一1(機(jī)WN*),所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之

和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m-i=(2m—1)〃加3加為中間項(xiàng))，S奇=〃261巾，S偶=(m一1)。陽(yáng)，S奇一5

_S-m

偶=a，7T"-7.

mS偶m~1

(8)若S"[=〃，Sn=幾),則S”+”=—(加+〃).

2.等比數(shù)列

(1)%=%可「7斯+"=。悶'"=?！╭"(加，〃￡N’).

(2)若加+〃=〃+夕，則即?因；反之，不一定成立(加，n,p,HN*).

(3)3。2的…斯”即+防+2…。2,〃，。2m+1。2小+2…的〃，…成等比數(shù)列(mWN*).

(4)S〃，S2〃一S〃，S3〃一S2n，…,SE—S(I)〃，…成等比數(shù)列(九，2,且〃WN*).

(5)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃(〃WN)公比為/奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則

⑹｛如｝，｛仇｝成等比數(shù)列，貝3｝,陽(yáng)，｛“,以｝，慌成等比數(shù)列(4￥0,nGN*).

(7)通項(xiàng)公式a“=aq"—|=子勺"，從函數(shù)的角度來(lái)看，它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于“

的指數(shù)函數(shù)的積，其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點(diǎn).

(8)與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng)；兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩

個(gè)，它們互為相反數(shù).

(9)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為*x,xq；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這

q

四個(gè)數(shù)分別為末，”q,x-

提醒；

(I)如果數(shù)列｛/｝成等差數(shù)列,那么數(shù)列｛A""｝(A"”總有意義)必成等比數(shù)列.

(2)如果數(shù)列｛斯｝成等比數(shù)列，且斯>0,那么數(shù)列｛log木"｝(。>1且a#l)必成等差數(shù)

列.

(3)如果數(shù)列｛為｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛a,,｝是非零常數(shù)列；數(shù)列｛斯｝

是常數(shù)列僅是數(shù)列｛斯｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件.

(4)如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，

且新等差數(shù)列的公差是原來(lái)