探索“一線(xiàn)三等角”模型（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角形全等、軸對(duì)稱(chēng)及幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題思維訓(xùn)練

專(zhuān)題07探索“一線(xiàn)三等角”模型

Q直角三角期中

?等腰直角三角形中

等邊三角

?一線(xiàn)三直角

【常見(jiàn)圖形】

【典例解析】

【例1】（2020?廣東高州期中）如圖1,已知NACB=90。，AC=BC,BDLDE,AE±DE,垂足分別為￡＞、￡（這

幾何模型具備“一線(xiàn)三直角”）如下圖1：

（1）①請(qǐng)你證明：Z?ACEZZ?CB3;②若AE=3,BD=5,求。E的長(zhǎng)；

（2）遷移：如圖2：在等腰Rf中，且NC=90。，CD=2,BD=3,D、E分別是邊BC,AC上的點(diǎn),

將OE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)E剛好落在邊AB上的點(diǎn)尸處，則CE=.（不要求寫(xiě)過(guò)程）

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②DE=8；（2）CE=I.

9

【解析】（1）證明：CBDLDE,AELDEt

ΛZE=ZD=90o.

VZACB=90o,

ΛZ1=Z2,

ZE=ZB

在△?!CE與4C5O中，INl=N2,

AC=BC

：.AACE44CBD；

②解：同（1）,得AACEgACBD,

：?CE=BD=5,AE=CD=3,

ΛDE=CE÷CD=5+3=8.

（2）過(guò)產(chǎn)作RW_LBC于M,

則NFMB=NFMD=90。,

VZC=90θ,AC=BC,

ΛZB=ZΛ=45o,

JZMFB=ZB=45o,

ZBM=MF,

9：DELDF,

：.ZEDF=ZFMD=ZC=90O,

.?.ZCED+/CQE=90。,NCDE+ZFQM=90°,

.?NCED=NFDM,

ZCED=ZMDF

在XCED和△"￡>/中，<NC=NFMD,

DE=DF

：.ACEDqXMDF,

VCZ>2,8力=3,

：.DM=CE,CD=FM=I=BM,

CE=OM=3-2=1,

故答案為1.

【例2】（2020?四川巴州期末）某建筑測(cè)量隊(duì)為了測(cè)量一棟居民樓EQ的高度，在大樹(shù)AB與居民樓EQ之間

的地面上選了一點(diǎn)C,使8,C,O在一直線(xiàn)上，測(cè)得大樹(shù)頂端A的視線(xiàn)AC與居民樓頂端E的視線(xiàn)EC的

夾角為90。，若AB=CD=12米，80=64米，請(qǐng)計(jì)算出該居民樓E。的高度.

E

田

A田

田

BCD

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：由題意可知：ZB=ZCDE=ZACE=90o

：.NACB+NOCE=90°

.?.AACB+ADCE=AACB+ABAC

：.NDCE=NBAC

又AB=CD

：.∕?ABC^∕?CDE

：.DE=BC,

：.BC=DE=BD-CQ=64-12=52

故該居民樓E。的高度為52米.

【例3】（2020?潮州市潮安區(qū)月考）問(wèn)題背景：

(1)如圖1,已知AABC中，ZBAC=90o,AB=AC,直線(xiàn)機(jī)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,80,直線(xiàn)，*,CEL直線(xiàn)加，垂足

分別為點(diǎn)。、E.求證：DE=BD+CE.

拓展延伸：

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D、4、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)，〃上，并且有/BD4

=NAEC=NBAC請(qǐng)寫(xiě)出OE、BD、CE三條線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系.(不需要證明)

實(shí)際應(yīng)用：

(3)如圖，在AACB中，NACB=90。，AC=BC,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一6,3),請(qǐng)直

接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】（1）證明：VBD±w,CELm,

：.N4。B=NCEA=90°

'：NBAC=90。

.,.ZBAD+ZCAE=90o

?：ZBAD+/480=90。

：.NCAE=ZABD

NABD=NCAE

在^ADB和^CEA中，,NADB=NCEA

AB=CA

：.AADBmACEA

.'.AE=BD,AD=CE

.?.DE=AEA-AD=BD+CE

即：DE=BD+CE

（2）數(shù)量關(guān)系：DE^BD+CE

理由如下：在AABO中，ZABD=180o-ZADB-ZBAD,

'：ZCAE=?mo-ZBAC-^BAD,ZBDA=ZAEC,

：.ZABD^ZCAE,

NABo=NCAE

在△ABl）和△CAE中，＜NBDA=ZAEC

AB=CA

，IXABD馬叢CAE

.'.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE^BD+CE；

（3）解：過(guò)4作AELX軸于E,過(guò)8作X軸于尸,

由（1）可知，AAEgACFB,

：.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

.?.OF=CF-OC=I,

點(diǎn)8的坐標(biāo)為8（I,4）.

【例4】（2020?廣東廣州月考）如圖，AELAB3.AE=AB,8CJ_C。且8C=C。，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù),

計(jì)算圖中實(shí)線(xiàn)所圍成的圖形的面積S是.

【解析】解：?.?∕E4尸+N8AG=90。,ZEAF+ZΛEF≈90o,

.?.NBAG=NAEF,

ZF=ΛAGB=90o

在^AEF和^BAG中，?NAEF=ZBAG,

AE=AB

：.Δ.AEF^?BAG,(AAS)

同理△BCGq/XCDH,

.?.AF=8G=3,AG=EF=6,GC=DH=4,BG=CH=3,

'：梯形DEFH的面積=-(EF+Dff)?FH=8O,

2

1

SAAEF=SAABCJ=—AF?AE=9,

2

SABCG=SACDH=—CH?DH=6,

2

圖中實(shí)線(xiàn)所圍成的圖形的面積：80-2×9-2×6=50,

故答案為：50.

【例5】(2020.曲阜月考)如圖，己知點(diǎn)P(2m—1,6機(jī)一5)在第一象限角平分線(xiàn)OC上，一直角頂點(diǎn)P在

OC上，角兩邊與X軸y軸分別交于A點(diǎn)，B點(diǎn),貝IJoA+BO=

【解析】解：作過(guò)尸PE_Ly軸于E,PFJ_x軸于F,

.?.2m-l=6m-5,

m-1,

：.P(1,I),

VZEPF=90o,

VZBZ?=90o,PE=PF=T,

：.AEPB=AFPA,

ZPEB=ZPFA=90o

在^BEP和^AFP中，＜PE=PF

ZEPB=ZFPA

.?ΛBEP^∕?AFP(ASA),

JBE=AF,

：?OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE,

VP(1,1),

ΛOE=OF=I,

???04+03=2.

故答案為:2.

【習(xí)題專(zhuān)練】

1.（2020?廣東英德期末）（1）如圖1,已知：在ΔABC中，ZA4C=90o,AB^AC,直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

BDLl,CEjJ垂足分別為點(diǎn)。、E.證明：①NCAE=ZABD；②DE=BD+CE.

圖1

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在ΔA8C中，AB=AC,。、A、E三點(diǎn)都在/上，并且有

NBa4=NAEC=N84C=c,其中C為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論Z）E=BD+CE是否成立？如成立,

請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

（3）如圖3,過(guò)AABC的邊A3、AC向外作正方形ABOE和正方形ACFG,A"是BC邊上的高，延

長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I,求證：/是EG的中點(diǎn).

BHC

圖3

【答案】見(jiàn)解析

【解析】解：(1)①YBDU,CELl

JNBDA=NCEA=90。

?/ZBAC=90o

???NBA。+NCAE=90。

?.βNB40+NABO=90。

.??ZCAE=ZABD

/ABD=ZCAE

②在△AO8和△CEA中，＜ZBDA=ZCEA

AB=AC

：?ΔADB^ΔCEA

：.AE=BD,AD=CE

：,DE=AE+AD=BD+CE;

(2)成立：QE=8。+CE證明如下：

VNBDA=NBAGa

ΛZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-α

???ZDBA=ZCAE

ZABD=ZCAE

在AAD3和ACE4中，＜ZBDA=ZCEA

AB=AC

：.ΛADB^ΔCEA

：.AE=BD,AD=CE

：.DE=AE+AD=BD+CE;

（3）過(guò)E作EM_LH/于M,GN_L4/的延長(zhǎng)線(xiàn)于N

：.ZEMI=GNI=QOO

由（I）和（2）的結(jié)論可知⑸W=A"=GN

LEM=GN

ZGlH=ZEIM

在△EMl和△GNI中,（EM=GN

ZGHI=ZEMI

：.AEM咨AGNl

：.EI=GI

2.（2020?湖北武漢月考）如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,3）,B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3.0）,。為X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AELAO,

（2）求證:M為BE的中點(diǎn)

（3）當(dāng)。點(diǎn)在X軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)?，探索:絲為定值

BD

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：（1）過(guò)E點(diǎn)作EFJ_y軸于F,

ZAOD=ZAFE=WO

'：ZDAO+ZEAF=90o,

Z￡AF+ZA￡F=90°

，ZDAO=ZAEF

ND4。=ZAEF

在^AOD和△EEA中，＜ZAOD=ZAFE

AD=AE

：.?AEM(AAS)

J.EF=OA=3AF=0D=5

：.。尸=AF-OA=5-3=2

即￡(3,-2)

(2)Q點(diǎn)有3個(gè)位置

又，：ZAEF+ZEAF=90o,

：.ZAEF=ZDAO

：.ZXAOD絲ZXE"

,OB=EF,ZBoM=ZEMF=90°

.".Z?80M絲ZkEFM(AAS)

1

：.BM=EM=-BE.

2

(3)根據(jù)(2)可知，D點(diǎn)在可以在3個(gè)位置，

當(dāng)。點(diǎn)如下圖的位置時(shí)，過(guò)。作直線(xiàn)a，X軸于。，過(guò)A作AG_La于G,

由(2)知4BoM冬AEFM,

：.EF=OB,

由(I)知AAOOZZXEE

即：EF=OA=OB,AF=OD

：.OF=AF-OA=OD-OB,

11

?：0M=-OF=-BD

22

.OM1

?-----=一，

BD2

當(dāng)C在另外兩個(gè)位置時(shí)，同理可證:

3.(2019?黑龍江齊齊哈爾期中)觀察推理：如圖1,AABC中，NAe8=90。，AC=BC,直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)力、

8在直線(xiàn)/同側(cè)，BDVl,AEU,垂足分別為。、E.

(1)求證：4AEC會(huì)ACDB；

(2)類(lèi)比探究：如圖2,RfAABC中，NACB=90。，AC=6,將斜邊AB繞點(diǎn)月逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AS,連接

B'C,求△/力C的面積;

(3)拓展提升：如圖3,NE=60。，EC=EB=Acmf點(diǎn)。在3C上，且OC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線(xiàn)EC

以2cm∕s速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OP,將線(xiàn)段O尸繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線(xiàn)段OF.要使點(diǎn)尸恰好落在射線(xiàn)EB

上，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：(l)???NACB=90。,

.?ZACE+ZDCB=90o,

VBD±∕,AELl1

ΛZAEC=ZBDC=90o,

ΛZEAC+NACE=90。,

???ZEAC=ZDCB,

YAC=BC,

：.AAECB4CDB；

(2)過(guò)夕作BDLAC于D,

,o

ZBAC+ZBAC=Wt

又N3+NCA3=900,

1

：?ZB=ZBACf

.?BfD=AC=6,

△A夕C的面積=6x6÷2=18;

(3)由旋轉(zhuǎn)知，OP=OF,

A

cCP

???CE是等邊三角形，

???NCBE=NBCE=60。

工NOCP=NFBo=I20。,NCPO+NCOP=60°,

VZPOF=120°,

o

：.ZCOP+ZBOF=Wf

：.∕CPO=∕BOF,

在ABO尸和APCO中，ZOBF=ZPCO=120o,ZBOF=ZCPO,OF=OP

MBOFQZXPCO,

：?CP=OB,

?/EC=BC=4cm,0C=3cnι1

：.OB=BC-OC=1,

ΛCP=1,

：.EP=CE+CP=5,

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：5÷2=2.5秒.

4.(2020?三臺(tái)縣月考)王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻,

木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板(AC=BC,∕ACB=90),點(diǎn)C在OE上，點(diǎn)A和B分別與

木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離.

B

DCE

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】解：由題意得：

AC=BC,∕AC8=90°,ADLDE,BE上DE

/4/）C=NCE8=90°

ΛZBCE=ZDAC

NADC=NCEB

在AACC和A8CE中，NDAC=NBCE,

AC=BC

，AADgACEB

由題意得：A∕>CE=6,CD=BE=14,

.".DE=CD+CE=20

答：兩堵木墻之間的距離為20cm.

5.（2019?舞鋼市月考）小強(qiáng)為了測(cè)量一幢樓的高度AB,在旗桿C。與樓之間選定一點(diǎn)P（如圖）.測(cè)得視線(xiàn)

PC與地面所成的夾角NQPC=36。，視線(xiàn)∕?與地面所成的夾角NAP8=54。，己知旗桿的高度CZ）是10米，

量得P到樓底距離PB也是10米，量得旗桿與樓之間距離為08=25米，小強(qiáng)計(jì)算出了樓高，（旗桿與樓都和

【解析】解：由題意，得：ZD=90o,ΛDPC=36o,

：.ZPCD=180°-90°-36o=54o,

VNAPB=54。,

.?.ZAPB=ZPCD,

?ΔAPBPCD中,

VZAPB=ZPCD,PB=CO=IO米，NABP=ND=90。,

：.?APB^?PCD,

：.AB=DP,

?."=25米，PB=Io米，

.?.OP=15米，即A8=15米.

故答案為：15.

6.（2019??？谑性驴迹┰冢珹8C中，NACB=90。，AC=BC,直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，且4。J_MN于O,

BELMN于E?

(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，

①求證：ADC^ΛCEB-.

②求證：DE=AD+BE;

(2)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，(1)中的結(jié)論②還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立,

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】證明：(1)?'：AD±MN,BE工MN,

二NADC=NBEC=90。,

??NAcB=90。，

ZACD+/8CE=90。，ZDAC+ZACf>=90o,

NDAC=NBCE,

又YAC=BC,

Λ?ADC^ΔCEB；

②?.FAD%4CEB,

：.CD=BE,AD=CE,

?'DE=CE+CD,

：.DE=AD+BE-,

(2)OE=AO+BE不成立，DE=AD-BE