2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-對(duì)角互補(bǔ)的三種模型（講+練）（原卷版）

專題03對(duì)角互補(bǔ)的三種模型

對(duì)角互補(bǔ)模型：即四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要分為含90。與

120°的兩種對(duì)角互補(bǔ)類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明

兩個(gè)三角形全等或者相似.

模型一、含90°的全等型

1.如圖，已知NAOB=NDCE=90。，OC平分NAOB.

則可以得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=丫今OC，③

2.如圖，已知NDCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,ZAOB=ZDCE=90°,OC平分/

AOB.

則可得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD=CE,@OE-OD=y/2OC,③一=J。。.

例1.如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,RtAMPN,NMPN=90°，點(diǎn)

尸在AC上，PM交AB于點(diǎn)E,PN交BC于點(diǎn)F,當(dāng)PE=2P尸時(shí)，AP=.

【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形4BCD與正方形。例NP的邊長(zhǎng)均為10,點(diǎn)。是正方形A8C。

的中心，正方形

OMNP繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無(wú)論正方形。MNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個(gè)正方形重疊部分的

面積總是一個(gè)定

值，并求這個(gè)定值.

A?---------1DAII口

o2一…L

【變式訓(xùn)練2】四邊形ABCO被對(duì)角線8。分為等腰直角和直角△CB。，其中和

NC都是直角，

另一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為2,求四邊形A8C。的面積.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD頂點(diǎn)A(0,2),B點(diǎn)在立軸

上，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M,OM=3-72,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

模型二、含60°與120。的全等型

如圖，已知/AOB=2/DCE=120。，OC平分/AOB.

則可得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③+￡^（冶=畢。。？.

例.如圖，在ZiABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，若NA=60°,

ZEDF+ZA-18O0,求證：BE+CF=^AB.

【變式訓(xùn)練】在等邊4ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，ZEDF=120°,射線DE與線段

AB相交于點(diǎn)E,射線DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F.

（1）如圖1,若DFLAC,直接寫出DE與AB的位置關(guān)系；

（2）如圖2,將（1）中的/EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于

點(diǎn)F,

求證：DE=DF；

（3）在NEDF繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接用等式表示線段BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)

系.

模型三、相似型

例.【提出問(wèn)題】

(1)如圖1,在等邊△4BC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),連結(jié)AM,

以AM為邊作等邊連結(jié)CN.求證：BM=CN.

【類比探究】

(2)如圖2,在等邊△ABC中，點(diǎn)M是8c延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)C),其它條件

不變,(1)中結(jié)論BM=CN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在等腰△ABC中，B4=BC,AB=6,AC=4,點(diǎn)M是8C上的任意一點(diǎn)(不含端

點(diǎn)、B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角NAMN=/ABC.連結(jié)CM試探究

8M與CN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

課后訓(xùn)練

1.如圖所示，在四邊形ABCD中，AD=3,CD=2,/ABC=/AC8=NAOC=45。,則80的長(zhǎng)

2、如圖，在AABC中,NABC=6(r,A8=2%三8,以AC為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰△

ACQ且NOAC=120。,貝！|BD的長(zhǎng)為.

A.\>E

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE,作EF_LBE,

EF

垂足為E,直線EF交線段DC于點(diǎn)F,則石石=.

4.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F分別為AD、CD上的點(diǎn),

若AE=4,CF=3,且OE_LOF,求EF的長(zhǎng).

6.如圖，在正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,

直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交D