2023年中考數(shù)學(xué)考前第14講：函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第14講：函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

1、最大利潤(rùn)問(wèn)題：這類問(wèn)題只需圍繞一點(diǎn)來(lái)求解，那就是：總利潤(rùn)=單件商品利潤(rùn)*銷售數(shù)

量。未知數(shù)時(shí)，總利潤(rùn)必然是因變量V,而自變量可能有兩種情況：①變量X是所漲價(jià)多少,

或降價(jià)多少；②自變量X是最終的銷售價(jià)格。

2、最優(yōu)方案問(wèn)題：解答方案型問(wèn)題的一般思路，是通過(guò)對(duì)題設(shè)信息進(jìn)行全面分析、綜合比

較、判斷優(yōu)劣，從中尋找到適合題意的最佳方案..解題策略：建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、

不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、統(tǒng)計(jì)模型等，依據(jù)所建的數(shù)學(xué)模型求解，從而設(shè)計(jì)方案,

科學(xué)決策.

3、拋物線型問(wèn)題：（1）建立變量與自變量之間的二次函數(shù)關(guān)系式：（2）結(jié)合實(shí)際意義，確

定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大值：可以利用配方法或公式求

出最大值或者最小值；也可以畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用簡(jiǎn)圖和性質(zhì)求出.

4、幾何面積最大值問(wèn)題：借助幾何圖形的特點(diǎn)，可根據(jù)圖形探尋幾何性質(zhì)并設(shè)其中一邊為

×,從而根據(jù)面積公式建立二次函數(shù)或其它函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系計(jì)算最大值問(wèn)題。

5、解直角三角形：仰角、俯角：如圖所示，當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所

成的銳角稱為仰角：當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角

②坡角、坡度：如圖⑥所示，通常把坡面的鉛垂高度h和水平寬度I的比叫做坡度，用.字母

i表示，即i=±；坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α,則有i="=tana

II

鉛

垂

線

解直角三角形常見(jiàn)模型：一個(gè)直角三角形包含在另一個(gè)直角三角形中，兩直角三角形有公

共直角和一條公共直角邊，其中這條公共直角邊是溝通兩直角三角形關(guān)系的媒介.

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【例題1】“綠水青山就是金山銀山“，為了保護(hù)環(huán)境和提高果樹(shù)產(chǎn)量，某果農(nóng)計(jì)劃從甲、乙

兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)用汽車向A,B兩個(gè)果園運(yùn)送有機(jī)化肥.甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)分別可運(yùn)出80噸和IOO

噸有機(jī)化肥；A,B兩個(gè)果園分別需用110噸和70噸有機(jī)化肥.兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)到A,B兩個(gè)果園

的路程如表所示：

_______________路程（「米）_______________

中倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)

八果園1525

/3果園2()20

設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往A果園X噸有機(jī)化肥，若汽車每噸每千米的運(yùn)費(fèi)為2元.

（1）根據(jù)題意，填寫下表.

運(yùn)量（噸）運(yùn)費(fèi)（元）

111倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)|||倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)

A果園?110—jc2×15.r2×25(110-,r)

/3果園————

（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往A果園多少噸有機(jī)化肥

時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最??？最省總運(yùn)費(fèi)是多少元？

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【例題2】近年我國(guó)多地出現(xiàn)霧霾天氣，某企業(yè)抓住商機(jī)準(zhǔn)備生產(chǎn)空氣凈化設(shè)備，該企業(yè)決

定從以下兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)進(jìn)行投資生產(chǎn)，方案一：生產(chǎn)甲產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本為a

元(a為常數(shù)，且40<aV100),每件產(chǎn)品銷售價(jià)為120元，每年最多可生產(chǎn)125萬(wàn)件；方案

二：生產(chǎn)乙產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本價(jià)為80元，每件產(chǎn)品銷售價(jià)為180元，每年可生產(chǎn)120萬(wàn)

件，另外，年銷售X萬(wàn)件乙產(chǎn)品時(shí)需上交0.5χ2萬(wàn)元的特別關(guān)稅，在不考慮其它因素的情況

下：

(1)分別寫出該企業(yè)兩個(gè)投資方案的年利潤(rùn)y∣(萬(wàn)元)、yz(萬(wàn)元)與相應(yīng)生產(chǎn)件數(shù)x(萬(wàn)件)(x為正

整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍：

(2)分別求出這兩個(gè)投資方案的最大年利潤(rùn)；

(3)如果你是企業(yè)決策者，為了獲得最大收益，你會(huì)選擇哪個(gè)投資方案？

【例題3】某校初三年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖，隊(duì)員甲正在投籃，己知球出手時(shí)離地面

—m,與籃圈中心的水平距離為7m,當(dāng)球出手后水平距離為4m時(shí)到達(dá)最大高度4m,籃

9

圈距地面3m,設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線.

(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；

(2)此球能否準(zhǔn)確投中？

(3)此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前面Im處跳起攔截，已知乙的最大摸高為3.1m,那么他能否

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【例題4】如圖，為美化社區(qū)環(huán)境，滿足市民休閑娛樂(lè)需要，某社區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為60m,

寬為40m的矩形空地上修建四個(gè)面積相等的休閑區(qū)，并將余下的空地修建成橫向?qū)扻m,

縱向?qū)挒?xm的鵝卵石健身道.

Ix

(1)用含x(m)的代數(shù)式表示休閑區(qū)的面積S(m2),并注明X的取值范圍；

(2)若休閑區(qū)的面積與鵝卵石健身道的面積相等，求此時(shí)X的值；

(3)已知承建公司修建休閑區(qū)、鵝卵石健身道的前期投入及造價(jià)W∣(萬(wàn)元)、W2(萬(wàn)元)與修建面

積a(m2)之間的關(guān)系如下表所示，并要求滿足1WXW3,要使修建休閑區(qū)和鵝卵石健身道的總

價(jià)W最低，X應(yīng)取多少米，最低造價(jià)多少萬(wàn)元？

a(m2)010100

wι(萬(wàn)元)0.50.61.5

W2(萬(wàn)元)0.50.581.3

【例題5](如圖所示，為測(cè)量旗臺(tái)A與圖書館C之間的直線距離，小明在A處測(cè)得C在北

偏東30。方向上，然后向正東方向前進(jìn)100米至B處，測(cè)得此時(shí)C在北偏西15。方向上，求

旗臺(tái)與圖書館之間的距離.(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：^≈1.41,√3≈1.73)

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一、選擇題：

1.某商人將進(jìn)貨價(jià)為IOO元的商品按每件X元出售，每天可銷售（200-X）件.若商人獲取

最大利潤(rùn)，則每件定價(jià)X應(yīng)為（）

A.150元B.160元C.170元D.180元

2.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售某品牌的汽車.已知在甲、乙兩地的銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與

2

銷售量X（輛）之間分別滿足：yι=-×+10×,y2=2×,若該公司在甲、乙兩地共銷售15輛

該品牌的汽車，則能獲得的最大利潤(rùn)為（）

A.30萬(wàn)元B.40萬(wàn)元C.45萬(wàn)元D.46萬(wàn)元

3.某移動(dòng)通訊公司提供了.4、8兩種方案的通訊費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間X（分）之間的關(guān)

系，如圖所示，則以下說(shuō)法鎮(zhèn)送的是（）

A.若通話時(shí)間少于120分，則4方案比8方案便宜20元

B.若通話時(shí)間超過(guò)200分，則力方案比4方案便宜12元

c.若通訊費(fèi)用為60元，則H方案比4方案的通話時(shí)間多

D.若兩種方案通訊費(fèi)用相差10元，則通話時(shí)間是145分或185分

4.如圖，測(cè)量人員計(jì)劃測(cè)量山坡上一信號(hào)塔的高度，測(cè)量人員在山腳C處，測(cè)得塔頂A的

仰角為45。，測(cè)量人員沿著坡度i=l：韻的山坡BC向上行走100米到達(dá)E處，再測(cè)得塔頂

A的仰角為53。,則山坡的高度BD約為（精確到OB米,參考數(shù)據(jù)：sin53o≈0.8,cos53o≈0.6,

tan53o≈∣,√3≈1.73,修141）（）

A.100.5米B.110.5米C.113.5米D.116.5米

AK

人\\

I)

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5.如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右

行走20米到達(dá)點(diǎn)C,再經(jīng)過(guò)一段坡度（或坡比）為i=L0.75、坡長(zhǎng)為10米的斜坡CD到達(dá)

點(diǎn)D,然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A,B,C,D,E均在同一平面內(nèi)）.在E

處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為24。，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin24o≈0.41,

cos24°≈0.91,tan24o=0.45）（）

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

二、填空題：

6.函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題現(xiàn)有A、B兩個(gè)大型儲(chǔ)油罐，它們相距2km,計(jì)劃修建一條筆直的輸油

管道，使得A、B兩個(gè)儲(chǔ)油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km,輸油管道所在直線符

合上述要求的設(shè)計(jì)方案有一種.

7.某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件X元（20≤x≤30,且X為

整數(shù)）出售，可賣出（30-X）件，若使利潤(rùn)最大，則每件商品的售價(jià)應(yīng)為元.

8.如圖，一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開(kāi).已知

籬笆的總長(zhǎng)為900m（籬笆的厚度忽略不計(jì)），當(dāng)AB=m時(shí)，矩形土地ABCD的面積

最大.

9.2018年壽光菜博會(huì)上，“圣女果”經(jīng)營(yíng)戶有A,B兩種“圣女果”促銷，若買2箱A種“圣女

果”和1箱B種“圣女果”共需120元；若買3箱A種“圣女果”和2箱B種“圣女果”共需205

元.

（1）設(shè)A,B兩種“圣女果.”每箱售價(jià)分別為a元，b元，則a,b的值是一；

（2）B種“圣女果”整箱的成本是40元，若按（1）中求出的單價(jià)銷售，每.天可銷售B種“圣女

果”100箱；若銷售單價(jià)每上漲1元，B種“圣女果”每天的銷售量就減少5箱.

①則每天B種“圣女果”的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式是；

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②則銷售單價(jià)為元時(shí)，B種“圣女果”每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是

10.開(kāi)學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購(gòu)買學(xué)習(xí)用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆

記本；小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.

⑴每支鋼筆的價(jià)格為;每本筆記本的價(jià)格為;

(2)校運(yùn)會(huì)后，班主任拿出200元學(xué)校獎(jiǎng)勵(lì)基金交給班長(zhǎng)，購(gòu)買上述價(jià)格的鋼筆和筆記本共

48件作為獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)給校運(yùn)會(huì)中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有

種購(gòu)買方案？請(qǐng)你_一寫出.

三、解答題：

11.某公司2017年初剛成立時(shí)投資IOoO萬(wàn)元購(gòu)買新生產(chǎn)線生產(chǎn)新產(chǎn)品，此外，生產(chǎn)每件該

產(chǎn)品還需要成本40元.按規(guī)定，該產(chǎn)品售價(jià)不得低于60元/件且不得超過(guò)160元/件，且每

年售價(jià)確定以后不再變化，該產(chǎn)品銷售量y(萬(wàn)件)與產(chǎn)品售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出X的取值范圍；

(2)求2017年該公司的最大利潤(rùn)？

(3)在2017年取得最大利潤(rùn)的前提下，2018年公司將重新確定產(chǎn)品售價(jià)，能否使兩年共盈利

達(dá)980萬(wàn)元，若能，求出2018年產(chǎn)品的售價(jià)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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12.為了測(cè)量豎直旗桿AB的高度，某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD,并在地面

上水平放置一個(gè)平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上.如圖所示，該小組在標(biāo)桿的F

處通過(guò)平面鏡E恰好觀測(cè)到旗桿頂A（此時(shí)/AEB=NFED）在F處測(cè)得旗桿頂A的仰角為

39.3°,平面鏡E的俯角為45。,FD=1.8米，問(wèn)旗桿AB的高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）（參

考數(shù)據(jù)：tan39.3°≈0.82,tan84.3o≈10.02）

13.如圖，工人師傅用一塊長(zhǎng)為IOdm,寬為6dm的矩形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器，

需要將四角各裁掉一個(gè)正方形（厚度不計(jì)）.

（1）在圖中畫出裁剪示意圖，用實(shí)線表示裁剪線、虛線表示折痕，并求長(zhǎng)方體底面面積為12

dm?時(shí)，裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大？

（2）若要求制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的五倍，并將容器進(jìn)行防銹處理，側(cè)面每平

方分米的費(fèi)用為0.5元，底面每平方分米的費(fèi)用為2元.裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大時(shí)，總費(fèi)用

最低，最低為多少？

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14.某游樂(lè)園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱

為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池

中心的裝飾物處匯合.如圖所示，以水平方向?yàn)閄軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅

站立時(shí)必須在離水池中心多少米以內(nèi)？

(3)經(jīng)檢修評(píng)估，游樂(lè)園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下,

把水池的直徑擴(kuò).大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)

處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度.

y

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789、

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15.為了“創(chuàng)建文明城市，建設(shè)美麗家園“，我市某社區(qū)將轄區(qū)內(nèi)的一塊面積為1OOOO?的空

地進(jìn)行綠化，一部分種草，剩余部分栽花.設(shè)種草部分的面積為x(m2),種草所需費(fèi)用y∣(元)

kιx(0<x<600),

與x(m2)的函數(shù)關(guān)系式為y∣=?―其圖象如圖所示.栽花所需費(fèi)用y2(元)

k2x÷b(600<x<l000),

與x(m2)的函數(shù)關(guān)系式為y2=-0.01χ2-20x+30000(0WxWl000).

yI

26θθθk-----------Λ

(1)請(qǐng)直接寫出由，IQ和b的值；

(2)設(shè)這塊1000m2空地的綠化總費(fèi)用為w(元)，請(qǐng)利用W與X的函數(shù)關(guān)系式，求出綠化總費(fèi)

用W的最大值；

(3)若種草部分的面積不少于7001峭，栽花部分的面積不少于IoOm2,請(qǐng)求出綠化總費(fèi)用W

的最小值.

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第14講：函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題答案

解析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

1、最大利潤(rùn)問(wèn)題：這類問(wèn)題只需圍繞一點(diǎn)來(lái)求解，那就是：總利潤(rùn)=單件商品利潤(rùn)*銷售數(shù)

量。未知數(shù)時(shí)，總利潤(rùn)必然是因變量y,而自變量可能有兩種情況：①變量X是所漲價(jià)多少,

或降價(jià)多少；②自變量X是最終的銷售價(jià)格。

2、最優(yōu)方案問(wèn)題：解答方案型問(wèn)題的一般思路，是通過(guò)對(duì)題設(shè)信息進(jìn)行全面分析、綜合比

較、判斷優(yōu)劣，從中尋找到適合題意的最佳方案.解題策略：建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、

不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、統(tǒng)計(jì)模型等，依據(jù)所建的數(shù)學(xué)模型求解，從而設(shè)計(jì)方案,

科學(xué)決策.

3、拋物線型問(wèn)題：（1）建立變量與自變量之間的二次函數(shù)關(guān)系式；（2）結(jié)合實(shí)際意義，確

定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大值：可以利用配方法或公式求

出最大值或者最小值：也可以畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用簡(jiǎn)圖和性質(zhì)求出.

4、幾何面積最大值問(wèn)題：借助幾何圖形的特點(diǎn)，可根據(jù)圖形探尋幾何性質(zhì)并設(shè)其中一邊為

X.從而根據(jù)面積公式建立二次函數(shù)或其它函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系計(jì)算最大值問(wèn)題。

5、解直角三角形：仰角、俯角：如圖所示，當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所

成的銳角稱為仰角：當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角

②坡角、坡度：如圖⑥所示，通常把坡面的鉛垂高度h和水平寬度I的比叫做坡度，用字母

i

fh

i表示,即仁廣;坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α,則有i=—=tanα

/

鉛1視線

7

垂4∣角…

與水平或

線

視線

圖⑴圖(2)圖(3)

解直角三角形常見(jiàn)模型：一個(gè)直角三角形包含在另一個(gè)直角三角形中，兩直角三角形有公共

直角和一條公共直角邊，其中這條公共直角邊是溝通兩直角三角形關(guān)系的媒介.

第11頁(yè)共27頁(yè)

【例題1］（“綠水青山就是金山銀山”，為了保護(hù)環(huán)境和提高果樹(shù)產(chǎn)量，某果農(nóng)計(jì)劃從甲、乙

兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)用汽車向A,B兩個(gè)果園運(yùn)送有機(jī)化肥.甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)分別可運(yùn)出80噸和IOO

噸有機(jī)化肥；A,B兩個(gè)果園分別需用110噸和70噸有機(jī)化肥.兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)到A,B兩個(gè)果園

的路程如表所示：

_________________路程（「米）_________________

中倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)

八果園1525

B果園2()20

設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往A果園X噸有機(jī)化肥，若汽車每噸每千米的運(yùn)費(fèi)為2元.

（1）根據(jù)題意，填寫下表.

運(yùn)量（噸）運(yùn)費(fèi)（元）

∣∣∣倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)|||倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)

A果園?110—jc2×15.r2X25(110—7)

/3果園————

（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往A果園多少噸有機(jī)化肥

時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最?。孔钍】傔\(yùn)費(fèi)是多少元？

解：（1）填表如下：

第12頁(yè)共27頁(yè)

運(yùn)吊(噸)運(yùn)費(fèi)(元)

中倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)1|1倉(cāng)庫(kù)乙倉(cāng)庫(kù)

A果園?11()1.r2×15,r2×25(ll()-.r)

B果［后80一72-1()2X20(80—彳)2X2()(L10)

(2)y=2×15x+2×25(110-χ)+2×20(80-χ)+2×20(χ-10),

即y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式為y=-20x+8300.

V-20<0,且IOWXW80,

當(dāng)x=80時(shí)，總運(yùn)費(fèi)y最省，

此時(shí)yβ,b=-20×80+8300=6700.

答：當(dāng)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往A果園80噸有機(jī)化肥時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省總運(yùn)費(fèi)是6700元.

【例題2】近年我國(guó)多地出現(xiàn)霧霾天氣，某企業(yè)抓住商機(jī)準(zhǔn)備生產(chǎn)空氣凈化設(shè)備，該企業(yè)決

定從以下兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)進(jìn)行投資生產(chǎn)，方案一：生產(chǎn)甲產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本為a

元(a為常數(shù)，且40<aV100),每件產(chǎn)品銷售價(jià)為120元，每年最多可生產(chǎn)125萬(wàn)件；方案

二：生產(chǎn)乙產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本價(jià)為80元，每件產(chǎn)品銷售價(jià)為180元，每年可生產(chǎn)120萬(wàn)

件，另外，年銷售X萬(wàn)件乙產(chǎn)品時(shí)需上交0.5χ2萬(wàn)元的特別關(guān)稅，在不考慮其它因素的情況

下：

(1)分別寫出該企業(yè)兩個(gè)投資方案的年利潤(rùn)y∣(萬(wàn)元)、yz(萬(wàn)元)與相應(yīng)生產(chǎn)件數(shù)x(萬(wàn)件)(x為正

整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；

(2)分別求出這兩個(gè)投資方案的最大年利潤(rùn)；

(3)如果你是企業(yè)決策者，為了獲得最大收益，你會(huì)選擇哪個(gè)投資方案？

解：(1)由題意得：

yι=(120-a)x(l≤x<125,X為正整數(shù))，

y2=(18θ-80)χ-0.5x2=z100χ-0.5x2(l<x<120,X為正整數(shù))；

(2)φV40<a<100,

Λ120-a>0,

即yι隨X的增大而增大，

???當(dāng)X=125時(shí)，yι最大伯=(120-a)χ125=15000—125a(萬(wàn)元)，

即方案--的最大年利潤(rùn)為(15000—125a)萬(wàn)元；

②y2=-0.5(χ-lOO)2+5000,

第13頁(yè)共27頁(yè)

V-0.5<0,

.，?當(dāng)X=Ioo時(shí),y2量大(s=5000(萬(wàn)元),

即方案二的最大年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；

(3)由150()0-125a>5000,

解得aV80,

當(dāng)40<a<80時(shí)，選擇方案一；

由15000—125a=5000,解得a=80,

.?.當(dāng)a=80時(shí)，選擇方案一或方案二均可；

由15000—125a<5000,得a>80,

當(dāng)80<a<100時(shí)，選擇方案二.

【例題3】某校初三年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖，隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面

—m,與籃圈中心的水平距離為7m,當(dāng)球出手后水平距離為4m時(shí)到達(dá)最大高度4m,籃

9

圈距地面3m,設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線.

(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；

(2)此球能否準(zhǔn)確投中？

(3)此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前面Im處跳起攔截，己知乙的最大摸高為3.1m,那么他能否

解：(1)根據(jù)題意，求出手點(diǎn)、最高點(diǎn)和籃圈的坐標(biāo)分別為：(0,§)，(4,4),(7,3),

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(χ-h>+k,由題知h=4,k=4,即y=a(χ-4>+4,

將點(diǎn)(0,第代入上式可得16a+4.,

解得a=-1,

9

.?.拋物線解析式為y=-1(χ-4)2+4(0<x<7);

(2)將(7,3)點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：

第14頁(yè)共27頁(yè)

-lχ(7-4)2+4=3,

Λ(7,3)點(diǎn)在拋物線上，

此球一定能投中：

(3)能攔截成功，

理由：將X=1代入y=-3x—4戶+4得y=3,

V3<3.1,

???他能攔截成功.

【例題4】如圖，為美化社區(qū)環(huán)境，滿足市民休閑娛樂(lè)需要，某社區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為60m,

寬為40m的矩形空地上修建四個(gè)面積相等的休閑區(qū)，并將余下的空地修建成橫向?qū)扻m,

縱向?qū)挒?xm的鵝卵石健身道.

Ix

(1)用含x(m)的代數(shù)式表示休閑區(qū)的面積S(m2),并注明X的取值范圍；

(2)若休閑區(qū)的面積與鵝卵石健身道的面積相等，求此時(shí)X的值；

(3)已知承建公司修建休閑區(qū)、鵝卵石健身道的前期投入及造價(jià)W∣(萬(wàn)元)、W2(萬(wàn)元)與修建面

積a(n?)之間的關(guān)系如下表所示，并要求滿足1SXW3,要使修建休閑區(qū)和鵝卵石健身道的總

價(jià)W最低，X應(yīng)取多少米，最低造價(jià)多少萬(wàn)元？

a(m2)0IO100

wι(萬(wàn)元)0.50.61.5

W2(萬(wàn)元)0.50.581.3

解：(l)S=40×60-2x×40×3-60×x×3+2xχ-9=18x2-420x+2400;

僅VIo

60—2x×3>0,

????,得LV%

40—x×3>0IX3

:?0<x<l0,

ΛS=18x2-420x+2400(0<x<l0)；

(2)由題意得：18χ2-420x+2400=幺詈，化簡(jiǎn)得3χ2—70x+200=0,

解得x∣=g,X2=20(不合題意，舍去)，.?.此時(shí)X為gm；

第15頁(yè)共27頁(yè)

(3)由表可知：修建休閑區(qū)前期投入0.5萬(wàn)元，每平方米造價(jià)0.01萬(wàn)元；修建鵝卵石健身道

前期投入0.5萬(wàn)元,每平方米造價(jià)0.008萬(wàn)元，由上述信息可得：w=0.01χ(18χ2-420x+2400)

ɑQC

+0.008×(-18x2+420x)+l,整理，Ww=0.036x2-0.84x+25,配方后，得W=盒(X一半F

201

lI,

10

：a>0,當(dāng)XV復(fù)時(shí)，W隨X的增大而減小，

3

Vl<x<3,二當(dāng)x=3時(shí)，W(M、=0.036x9-0.84x3+25=22.804(萬(wàn)元)，

答：當(dāng)X的值取3米時(shí)，最低造價(jià)為22.804萬(wàn)元.

【例題5】(如圖所示，為測(cè)量旗臺(tái)A與圖書館C之間的直線距離，小明在A處測(cè)得C在北

偏東30。方向上，然后向正東方向前進(jìn)100米至B處，測(cè)得此時(shí)C在北偏西15。方向上，求

旗臺(tái)與圖書館之間的距離.(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：√2≈1.4b√3≈1.73)

解：如圖，由題意知NMAC=30。，/NBC=15。,

.?.∕BAC=60°,ZABC=75o,

.?.ZC=450.

過(guò)點(diǎn)B作BE_LAC,垂足為E.

在Rt?AEB中，

VZBAC=60o,AB=Ioo米，

.?.AE=cos∕BAC?AB=Tx100=50（米），

BE=SinNBACAB=FXloo=503（米）.

在Rt?CEB中,

VZC-45o,BE=5O√5米，

.?.CE=BE=5θ3米，

.?.AC=AE+CE=5O+5O√5≈137（米）.

第16頁(yè)共27頁(yè)

答：旗臺(tái)與圖書館之間的距離約為137米.

一、選擇題：

1.某商人將進(jìn)貨價(jià)為IOO元的商品按每件X元出售，每天可銷售（200-X）件.若商人獲取

最大利潤(rùn)，則每件定價(jià)X應(yīng)為（）

A.150元B.160元C.170元D.180元

【解答】設(shè)商人獲取的最大利潤(rùn)為W,貝∣J:

W=（χ-100）（200一x）=-×2+3OO×-20000,

?.'a=—1<0,

.?.當(dāng)X=—上-=150時(shí)，W有最大值，

Ia

故選：A.

2.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售某品牌的汽車.已知在甲、乙兩地的銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與

2

銷售量X（輛）之間分別滿足：y1=-×+10×,y2=2×,若該公司在甲、乙兩地共銷售15輛

該品牌的汽車，則能獲得的最大利潤(rùn)為（）

A.30萬(wàn)元B.40萬(wàn)元C.45萬(wàn)元D.46萬(wàn)元

【解答】設(shè)利潤(rùn)為W,在甲地銷售X輛，則在乙地銷售（15-x）輛，

由題意得：W=-×2+10x+2（15-×）=-×2+8×+30,

V-KO,

.,,h:4■：（I）?308：,u/—、

??lw聚大的===46（兀）,

4a4x（-1）

故選：D.

3.某移動(dòng)通訊公司提供了.4、〃兩種方案的通訊費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間X（分）之間的關(guān)

系，如圖所示，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若通話時(shí)間少于120分，則“方案比"方案便宜20元

B.若通話時(shí)間超過(guò)200分，則A方案比4方案便宜12元

第17頁(yè)共27頁(yè)

C.若通訊費(fèi)用為60元，則"方案比4方案的通話時(shí)間多

D.若兩種方案通訊費(fèi)用相差10元，則通話時(shí)間是145分或185分

3(XO<x≤l2O)

【解析】A方案的函數(shù)解析式為：V-?

-Xll?t>120)

5O(O<Λ?≤2OO)

B方案的函數(shù)解析式為：1.2

-X-30(x>2()0)

5

當(dāng)B方案為50元，A方案是40元或者60元時(shí)，兩種方案通訊費(fèi)用相差10元，

將yA=40或60代入，得x=145分或195分，故D錯(cuò)誤；

觀察函數(shù)圖象可知A、B、C正確.

故選D.

4.如圖，測(cè)量人員計(jì)劃測(cè)量山坡上一信號(hào)塔的高度，測(cè)量人員在山腳C處，測(cè)得塔頂A的

仰角為45。，測(cè)量人員沿著坡度i=l：3的山坡BC向上行走100米到達(dá)E處，再測(cè)得塔頂

A的仰角為53。，則山坡的高度BD約為(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù):sin53o≈0.8,cos53o≈0.6,

tan53o≈∣,√3≈1.73,√2≈1.41)()

A.100.5米B.110.5米C.113.5米D.116.5米

【解析】如解圖，作EG_LCD于點(diǎn)G,則EF=DG、FD=EG,

?.?i=段=血ΛZECG=30o,

CG3

;CE=IOO,.?.FD=EG=ECsin300=50,GC=ECCoS30°=503，設(shè)BF=x,

YNBEF=/BCD=30°,ΛDG=EF=———=√3x,

tanZBEF

由NAEF=53。知AF=EFtanNAEF≈4√5x,

3

VZACD=45o,ΛAD=CD,W5O+-√3x=√3x+5O√3,

3

第18頁(yè)共27頁(yè)

解得X=150-50√L

則BD=BF+DF=150-50√3+50=200-50√3≈113.5.

5.如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)“先沿水平方向向右

行走20米到達(dá)點(diǎn)C,再經(jīng)過(guò)一段坡度（或坡比）為i=l:0.75、坡長(zhǎng)為10米的斜坡CD到達(dá)

點(diǎn)D,然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A,B,C,D,E均在同一平面內(nèi)）.在E

處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為24。，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin24o≈0.41,

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

【分析】作BM_LED交ED的延長(zhǎng)線于M,CNJ_DM于N.首先解直角三角形RtACDN,求

I?f

出CN,DN,再根據(jù)tan24。=二一,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題;

EM

【解答】解：作BM_LED交ED的延長(zhǎng)線于M,CN_LDM于N.

A

(?\4

在RtZ?CDN中，：==,設(shè)CN=4k,DN=3k,

DN0.753

ΛCD=IO,

(3k)2+(4k)2=100,

第19頁(yè)共27頁(yè)

ΛCN=8,DN=6,

???四邊形BMNC是矩形，

ΛBM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,

在Rt^AEM中，tan24°=——

EM

.8+.4S

..0n.y4ιc5=-----------

66

ΛAB=21.7（米）,

故選：A.

二、填空題：

6.函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題現(xiàn)有A、B兩個(gè)大型儲(chǔ)油罐，它們相距2km,計(jì)劃修建一條筆直的輸油

管道，使得A、B兩個(gè)儲(chǔ)油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km,輸油管道所在直線符

合上述要求的設(shè)計(jì)方案有4種.

【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B的可以在直線的兩側(cè)或異側(cè)兩種情形討論即可；

【解答】解：輸油管道所在直線符合上述要求的設(shè)計(jì)方案有4種，如圖所示；

故答案為4.

7.某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件X元(20≤x≤30,且X為

整數(shù))出售，可賣出(30-X)件，若使利潤(rùn)最大，則每件商品的售價(jià)應(yīng)為元.

【解答】：設(shè)利潤(rùn)為W元，

貝IJW=(×-20)(30-x)=-(x-25)2+25,

V20≤×≤30,

當(dāng)x=25時(shí),二次函數(shù)有最大值25,

故答案是：25.

8.如圖，一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開(kāi).已知

籬笆的總長(zhǎng)為900m(籬笆的厚度忽略不計(jì))，當(dāng)AB=m時(shí)，矩形土地ABCD的面積

最大.

第20頁(yè)共27頁(yè)

【分析】根據(jù)題意可以用相應(yīng)的代數(shù)式表示出矩形綠地的面積；即可解答本題.

【解答】：(1)設(shè)AB=Xm,則BC=-(900-3x),

2

由題意可得，S=AB×BC=××-(900-3x)=--(×2-300x)=--(x-150)2+33750

222

???當(dāng)x=150時(shí)，S取得最大值，此時(shí),S=33750,

ΛAB=150m,

故答案為：150.

9.(2018?壽光模擬)2018年壽光菜博會(huì)上，“圣女果”經(jīng)營(yíng)戶有A,B兩種“圣女果”促銷，若買

2箱A種“圣女果”和1箱B種“圣女果”共需120元；若買3箱A種“圣女果”和2箱B種“圣

女果”共需205元.

(1)設(shè)A,B兩種“圣女果”每箱售價(jià)分別為a元，b元，則a,b的值是一；

(2)B種“圣女果”整箱的成本是40元，若按(1)中求出的單價(jià)銷售，每天可銷售B種“圣女

果”100箱；若銷售單價(jià)每上漲1元，B種“圣女果”每天的銷售量就減少5箱.

①則每天B種"圣女果''的銷售利潤(rùn)y(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式是

②則銷售單價(jià)為元時(shí)，B種“圣女果”每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是.

'2a+b=120,

解：(1)根據(jù)題意得

3a+2b=205,

a=35,

解得

b=50.

(2)①由題意得y=(χ-40)[100-5(χ-50)]

Λy=-5x2+550χ-14000.

②：y=—5χ2+550χ-14000=-5(χ-55)2+l125,

,當(dāng)x=55時(shí)，yβ*=l125.

答：銷售單價(jià)為55元時(shí)，B商品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1125元.

10.開(kāi)學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購(gòu)買學(xué)習(xí)用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆

記本；小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.

⑴每支鋼筆的價(jià)格為:每本筆記本的價(jià)格為：

第21頁(yè)共27頁(yè)

(2)校運(yùn)會(huì)后，班主任拿出200元學(xué)校獎(jiǎng)勵(lì)基金交給班長(zhǎng)，購(gòu)買上述價(jià)格的鋼筆和筆記本共

48件作為獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)給校運(yùn)會(huì)中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有

種購(gòu)買方案？請(qǐng)你—一寫出.

【解析】(1)設(shè)每支鋼筆X元，每本筆記本y元，依題意得：解得：-

[2x+5>>=31[y=5

所以，每支鋼筆3元，每本筆記本5元.

(2)設(shè)買a支鋼筆，則買筆記本(48-a)本

依題意得：+解得：2()S0S24,所以，一共有5種方案

；48-o>A

即購(gòu)買鋼筆、筆記本的數(shù)量分別為：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.

三、解答題：

11.(2018合肥廬陽(yáng)區(qū)一模)某公司2017年初剛成立時(shí)投資1000萬(wàn)元購(gòu)買新生產(chǎn)線生產(chǎn)新產(chǎn)

品，此外，生產(chǎn)每件該產(chǎn)品還需要成本40元.按規(guī)定，該產(chǎn)品售價(jià)不得低于60元/件且不

得超過(guò)160元/件，且每年售價(jià)確定以后不再變化，該產(chǎn)品銷售量y(萬(wàn)件)與產(chǎn)品售價(jià)x(元)

之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出X的取值范圍;

(2)求2017年該公司的最大利潤(rùn)？

(3)在2017年取得最大利潤(rùn)的前提下，2018年公司將重新確定產(chǎn)品售價(jià)，能否使兩年共盈利

達(dá)980萬(wàn)元，若能，求出2018年產(chǎn)品的售價(jià)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

y/萬(wàn)件

15

10X.

O60160x∕元

k=-

60k+b=1520

解：(1)設(shè)y=kx+b,則根據(jù)題圖可知,解得f

∪60k+b=10b=18

；.y與X的函數(shù)關(guān)系為y=-^x÷18(60<x<160);

(2)設(shè)公司的利潤(rùn)為W萬(wàn)元，則W=(X-40)(一景+18)—1000=U(X-200)2+280,

又：--L<0,

20

.?.當(dāng)xV200時(shí),W隨X增大而增大，則60Wx≤160,

第22頁(yè)共27頁(yè)

.?.當(dāng)x=160時(shí)，W最大,最大值為200,

Λ2017年該公司的最大利潤(rùn)為200萬(wàn)元;

（3）根據(jù)題意可得：

（χ-40）（-?+18）+200=980,

解得Xl=IO0,X2=300（舍）,

.?.當(dāng)X=IoO時(shí),能使兩年共盈利達(dá)980萬(wàn)元.

12.（2018?安徽中考）為了測(cè)量豎直旗桿AB的高度，某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)

桿CD,并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上.如圖所示，該

小組在標(biāo)桿的F處通過(guò)平面鏡E恰好觀測(cè)到旗桿頂A（此時(shí)NAEB=NFED）在F處測(cè)得旗桿

頂A的仰角為39.3。，平面鏡E的俯角為45。，F(xiàn)D=1.8米，問(wèn)旗桿AB的高度約為多少米？

（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：tan39.3o≈0.82,tan84.3tj≈10.02）

解：由題意可得/FED=45。.

在RtZ?DEF中，?.?∕FDE=90°,ZFED=45°,

.?.DE=DF=1.8米，EF=SDE=辛（米）.

：NAEB=∕FED=45°,

二NAEF=1800-NAEB-NFED=90°.

在Rt?AEF中，

,.?ZAEF=90o,NAFE=39.3°+45°=84.3°,

ΛAE=EF?tan/AFE≈"χ10.02=18.036蝕米）.

在RtZ?ABE中，VZABE=90o,ZAEB=45o,

二AB=AE?sinNAEBR8.036√5x418（米）.

答：旗桿AB的高度約為18米.

13.（2017濰坊）如圖，工人師傅用一塊長(zhǎng)為IOdm,寬為6dm的矩形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)

方體容器，需要將四角各裁掉一個(gè)正方形（厚度不計(jì)）.

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（1）在圖中畫出裁剪示意圖，用實(shí)線表示裁剪線、虛線表示折痕，并求長(zhǎng)方體底面面積為12

dm?時(shí)，裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大？

（2）若要求制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的五倍，并將容器進(jìn)行防銹處理，側(cè)面每平

方分米的費(fèi)用為0.5元，底面每平方分米的費(fèi)用為2元.裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大時(shí)，總費(fèi)用

最低，最低為多少？

▼

解：（1）裁剪示意圖如解圖:

設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為Xdm.

根據(jù)題意可得：（10-2x）（6-2x）=12,

即x2-8x+12=0,

解得xι=2,x2=6（不合題意，舍去）,

.?.裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2dm；

(2)由題意可得10-2x<5(6-2x),解得0<x≤2.5,

設(shè)總費(fèi)用為y元,

根據(jù)題意得y=2[x(10-2x)+x(6-2x)]x0.5+2(10-2x)(6-2x)=4χ