2023-2024學(xué)年重慶高二年級下冊期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年重慶市高二下冊期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

C.(三)=^-D.(cos(πx))=πsin[^πx^

【正確答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則、四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)一一判斷即可.

【詳解】對A,fl)=--L,故A錯(cuò)誤；

l?jX"

對B,(J^y==_LXa=—!—，故B錯(cuò)誤；

2

kJ2√X

(X、e`—?e?1—Y

對C,—=--?■■=—,故C正確，

?eJ∣ev)e

對D,(cos(Ttr))'=-πsin(7tx),故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，ala3=4,a2+ai=?。，則公比4=()

A.2B.-2C.2或-2D-?

【正確答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出g=2,又%+g=10,則,4=8,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式即可求得4.

【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，?1?=4,即G=4,則出=2,

又見+%=10,則4=8,

1

4=a2q,即2才=8,又q>0,解得q=2.

故選：A.

3.某中學(xué)舉行了一次“網(wǎng)絡(luò)信息安全''知識(shí)競賽，將參賽的100名學(xué)生成績分為6組，繪制

了如圖所示的頻率分布直方圖，則成績在區(qū)間[75,80)內(nèi)的學(xué)生有()

A.15名B.20名C.25名D.40名

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得。的值，再根據(jù)樣本中成績在區(qū)間[75,80)內(nèi)

的頻率X參賽的100名學(xué)生即可求解.

【詳解】由頻率分布直方圖可知l(0.05+0.06+4+0.03+0.01+0.01)χ5=l,得α=0.04,

所以成績在區(qū)間[75,80)內(nèi)的學(xué)生有IOOXO.04x5=20名.

故選：B.

4.已知函數(shù)/(x)=XSinX+cosx,x∈[0,2π],則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.[O,]]B?[萬，句C?[π`2π]D?[g,2π

【正確答案】B

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式，即可求得答案.

【詳解】由題意/(x)=XSinX+cosx,x∈[0,2π],則/''解)=xcosx,

令/(x)=xcosx≤0,則X=O(舍去)，]≤x*僅在用和X=TE時(shí)取等號(hào)，

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,

故選：B

5.ChatGPT.LAMDA、BIender是近期火爆的Al程序，它們能夠與人類進(jìn)行聊天交流，完

成撰寫郵件、視頻腳本、文案等工作.某興趣小組4名成員打算分工學(xué)習(xí)這三個(gè)Al程序，每

個(gè)人只能學(xué)習(xí)一個(gè)程序，每個(gè)程序至少有一人學(xué)習(xí)，則不同的分工方法有()

A.12種B.18種C.24種D.36種

【正確答案】D

【分析】把4名成員分為2,1,1三組，再分工學(xué)習(xí)這三個(gè)程序即可.

【詳解】把4名成員分為2,1,1三組，有C：種方法,

三組分工學(xué)習(xí)這三個(gè)程序，有A：種方法，

則不同的分工方法有C：A；=36種方法.

故選：D.

6.已知點(diǎn)P為函數(shù)/(x)=e2'的圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線Ly=2x的距離的最小值為()

A.立B.-C.?D.-

5524

【正確答案】A

【分析】作出直線/與函數(shù)〃x)的圖象,利用平行于直線/且與函數(shù)/(x)的圖象相切的直線,

可以求得相應(yīng)的最小距離.

【詳解】設(shè)直線〃，平行于直線/,則直線機(jī)的斜率為2,

當(dāng)直線m與函數(shù)/(x)的圖象相切，點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線/：y=2x的距離的最小,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(XO,%),

因?yàn)?'(x)=2e2",則/'(x0)=2e2%=2,解得玉,=0,

又(%,%)在函數(shù)F(X)=e。*的圖象上,則%=e,5=1,

∣2×0-l∣=75

則切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),到直線/：2x-y=0的距離為d=■+㈠廠

則點(diǎn)P到直線/：y=2》的距離的最小值為害.

故選：A.

7.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P(2,l)作直線OP的垂線/,交拋物線V=2px(p>0)于A,B兩點(diǎn),

。為線段AB的中點(diǎn)，若aOPQ是等腰直角三角形，則P=()

A.6B.4C.2D.1

【正確答案】C

【分析】求出/的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得弦中點(diǎn)。的坐標(biāo)，根據(jù)aOPQ是等腰直角三

角形，可得IPQI=IOPI=右，列方程可求得答案.

【詳解】由題意可知OP的斜率為g，則/的斜率為-2,

故/的方程為y—1=-2(X-2),即y=-2x+5,

fy=_2x+5

聯(lián)立《2C,可得4x-2(10+p)x+25=0,

Iy=2pχ

設(shè)Aa,必),8(孫必)，則占+電=”產(chǎn)，

則^竽，

。為線段AB的中點(diǎn)，故。(?字,-2χ當(dāng)上+5),即。("￡-日)，

4442

因?yàn)锳OPQ是等腰直角三角形，而OPcQ,

故IPQl=IOPl=石,即^一2尸+(—57)2=5,

解得p=2或p=-6(舍去)，

P=2^W?=4(l0+p)2-400>0,

故選：C

8.在楊輝三角中，每一個(gè)數(shù)都是它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，它開頭幾行如圖所示，那么在楊輝

三角中出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)，其比為3：4：5的行數(shù)為()

第O行第1行111

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行

A.58B.62C.63D.64

【正確答案】B

【分析】設(shè)所求的行數(shù)為明則存在正整數(shù)3使得連續(xù)三項(xiàng)CM,C*,C/,由此建立關(guān)

于"和k的方程組，解方程組即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)所求的行數(shù)為”，則存在正整數(shù)女，使得連續(xù)三項(xiàng)c：T,￠,C/,

C/T3Ck4k34+14

有Wr二且聲化簡得G=Z且Tr丁解得人27,?=62,

故第62行會(huì)出現(xiàn)滿足條件的三個(gè)相鄰的數(shù),

故選：B.

二、多選題

9.已知數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和為S“=A〃2+B〃（其中A、B為常數(shù)）,q=-3,S2=-4,則下

列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（）

A.｛為｝為等差數(shù)列B.3=4

D.數(shù)列-『「的前”項(xiàng)和小于1

C.S,≥Sz恒成立

f[S,,+5n?

【正確答案】ACD

【分析】對于A項(xiàng)，方法1：運(yùn)用?！芭cS,,的關(guān)系求得｛“"｝的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用等差數(shù)列的

定義判斷A項(xiàng)即可，方法2：運(yùn)用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和S,是關(guān)于〃的常數(shù)項(xiàng)為O的二次函數(shù)或

常函數(shù)可直接判斷A項(xiàng)；對于B項(xiàng)，根據(jù)已知條件及｛4｝是等差數(shù)列列方程組求解即可；

對于C項(xiàng)，運(yùn)用函數(shù)思想求得S“取得最小值；對于D項(xiàng)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和即可.

【詳解】對于A項(xiàng)，方法1：?.?S,,=A∕+8W

，①當(dāng)〃=1時(shí)，4=S∣=A+8,

22

②當(dāng)〃≥2時(shí)，an=S,,-Sn,l=An+Bn-[A(n-1)+B(n-↑)]=2An-A+B,

③將〃=1代入a“=24〃-A+8得：al=A+B,

all=2An-A+B,

-

<2,∣+∣U11=2A(n+1)—A+B—YlAn—A+B]=2A與〃無關(guān),

.?.{a,J是等差數(shù)列，公差為2A,

方法2：VS,,是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0,

.??{α,J是等差數(shù)列，公差為2A,故A項(xiàng)正確；

對于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知，{4}是等差數(shù)列，公差為2A,

a,=A+B=—3?A=I?

又：s[=2%+2A=-4,解得:Q,，故B項(xiàng)不成立；

B=-4

對于C項(xiàng)，由B項(xiàng)知，S,,=n2-4n,開口向上，對稱軸為"=2,

.?.當(dāng)〃=2時(shí)，S”取得最小值，

.?.ξ,≥S2,故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，由B項(xiàng)知，5〃=〃2一4〃,

,---1-=-----1---=---1-=---I--=l--l---

22

SH+5nn-An+5nn+nn(n÷1)n〃+1

設(shè)｛不的前〃項(xiàng)和為T,

TllIl11

7=1--1----F4------1—<1,故D項(xiàng)正確.

"223nn+?π÷l

故選：ACD.

10.已知+的展開式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則下列各選項(xiàng)正確的是

()

A.n=10B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)

C.展開式中有2項(xiàng)有理項(xiàng)D.展開式中含X項(xiàng)的系數(shù)為112

【正確答案】BD

【分析】由題意C：=c：,得〃=8,可判斷A；由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可判斷B；利用展開式

的通項(xiàng)可判斷C,D.

【詳解】的展開式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則C：=C：,得"=8,故

A錯(cuò)誤；

二項(xiàng)式的展開式有9項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B

正確；

的展開式的通項(xiàng)為4+1=q（=2,-C^r

3

令4-》∈Z,即r=0,2,4,6,8,則展開式中有理項(xiàng)有5項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；

令4-∣r=l,即r=2,7；=22Cjx=112%,即含X項(xiàng)的系數(shù)為112,故D正確.

故選：BD.

11.我們把離心率為e=與?的雙曲線，-￡=1（。>0,6>0）稱為黃金雙曲線。如圖所示，4、

&是雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，片、為是虛軸頂點(diǎn)，F(xiàn)1.尸2是焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)K且垂直于X軸的

)

B.若尸=訛,則該雙曲線是黃金雙曲線

C.若/耳片&=90。，則該雙曲線是黃金雙曲線

D.若NMoN=90。，則該雙曲線是黃金雙曲線

【正確答案】BCD

A選項(xiàng)，e=√√5+2≠-^l,不是黃金雙曲線；通過計(jì)算得到BCD是黃金雙曲線.

【詳解】A選項(xiàng)，f>=√l+√5+l=√√5+2≠^^.不是黃金雙曲線；

B選項(xiàng),b2=ac=c2--a2,化成c?—儲(chǔ)_加=0,BPe2-e-l=O,

又e>l,解得e=或上1,是黃金雙曲線；

2

C選項(xiàng)，?.?NK44=90,.=BEFdaAzF=IZA/,

Λ?2+c2+?2÷α2=（a+c）2,

化簡得/-比-a?=0,由8選項(xiàng)知是黃金雙曲線；

。選項(xiàng)，=NVON=90,；?MNLx軸，I例入∣=Q,且八例。心是等腰心△,

a

???c=[,即"=αc,由B選項(xiàng)知是黃金雙曲線.

綜上，BCO是黃金雙曲線.

故選：BCD.

方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出”,c再求離心率）；（2）方

程法（通過已知得到關(guān)于e的方程，解方程得解）.

12.已知函數(shù)〃x）的導(dǎo)數(shù)為尸（X）,若存在吃,使得/（飛）=r（飛）,則稱％是“χ）的一

個(gè)“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中有“巧值點(diǎn)''的是（）

A.f（x）-x2B.〃X）=JC./（x）=InXD./（x）=tanx

【正確答案】ABC

【分析】結(jié)合“巧值點(diǎn)''的定義，逐個(gè)求解了（改>）=/'（%）是否有解即可

【詳解】對于4，/'（x）=2x,令∕=2χ,得X=O或X=2,有“巧值點(diǎn)”；

對于8,∕,（x）=-4-,令'=-±?,得戶―1,有“巧值點(diǎn)”；

XXX

對于C,.f'（x）=L令I(lǐng)nX=L結(jié)合y=lnx,y=’的圖象，知方程InX=L有解，有“巧

XXXX

值點(diǎn)

1Ieir?γI

對于D,∕r(x)=-令tanx=T-,g[J^L=-i—,得sin2x=2,無解，無“巧值

COSFCOSXCOSXCOSX

點(diǎn)

故選：ABC.

三、填空題

13.2023年是全面貫徹黨的二十大精神的開局之年，某中學(xué)為了解教師學(xué)習(xí)“黨的二十大精

神”的情況，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法從高一、高二、高三的教師中抽取一個(gè)容量

為30的樣本，已知高一年級有教師80人，高二年級有教師72人，高三年級有教師88人，

則高一年級應(yīng)抽取人.

【正確答案】10

【分析】根據(jù)高一年級教師所占的比例抽取即可.

QA1

【詳解】高一年級教師所占的比例為：OC

則高一年級應(yīng)抽取的教師人數(shù)為?30Xg=Io

故10.

14.每年5月初，高三的同學(xué)們都要拍畢業(yè)照，留下高中生活的美好見證.某班同學(xué)集體合

著名演員有4位同學(xué)邀請兩位老師合影留念.若6人站成一排，兩位老師站在中間位置，甲

乙兩位同學(xué)站在一起，則不同的站位方法有種.（用數(shù)字作答）

【正確答案】16

【分析】兩位老師站在中間位置，甲乙兩位同學(xué)站在兩位老師的左側(cè)或右側(cè)，另兩位同學(xué)在

另一側(cè)，列式求解即可.

【詳解】兩位老師站在中間位置，有A；種方法，

甲乙兩位同學(xué)站在兩位老師的左側(cè)或右側(cè)，另兩位同學(xué)在另一側(cè)，有2A；A；種方法,

則不同的站位方法有2A；A；A；=16種.

故16.

15.函數(shù)/(X)=依一InX-1,若存在x°e(0,e］使得"x°)<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【正確答案】(F』)

【分析】將條件存在毛e(0,e］使得"x0)<0轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(0,e］上/(x)nιh,<0,求/'(x),

再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可求得在區(qū)間(0,e］上的/(x)mhι,進(jìn)而解不等式即可.

【詳解】存在％e(0,e］使得/(%)<0等價(jià)于在區(qū)間(0,e］上/(x)mhι<0,

由/(x)=aX-InX-1,∣J∣∣Jf'(x)=a--=,x∈(θ,e］,

若.≤0,貝IJr(X)<0,此時(shí)/(x)單調(diào)遞減，所以"x)mM=∕(e)="e-2<0成立；

若a>0,當(dāng)x>g時(shí)，f↑x)>O,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<無<：時(shí)，∕,(x)<0,此時(shí)/(x)

單調(diào)遞減，

如果^e(e,+8),則/(x)miιι="e)=αe-2<。，得O<α<g;

如果/e(0,e］,則f(x*n=/(：)=_ln；<0,得∕≤α<l,

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(→≈,1).

故(-8,1).

16.過拋物線C:V=4x的焦點(diǎn)廠的弦AB滿足?=3翔(點(diǎn)A在X軸上方)，則以AB為

直徑的圓與該拋物線準(zhǔn)線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【正確答案】Ji,竺］

【分析】如圖先利用輔助線確定公共點(diǎn)位置，再聯(lián)立方程得到其坐標(biāo)即可.

【詳解】

如圖所示，取AB中點(diǎn)M,分別過A,B,M作準(zhǔn)線的垂線，垂足依次為C,D,N,

則AC∕∕MN∕∕CD,MN是梯形ABDC中位線，

根據(jù)拋物線定義得，AB=AF+BF^AC+BD=2MN,即N在以AB為直徑的圓上，

即N即是以AB為直徑的圓與該拋物線準(zhǔn)線的公共點(diǎn)，易見直線AB不平行X軸，方程可設(shè)

為X=Zny+1,設(shè)Aa,凹）,8（々,必）

?x=my+1、

聯(lián)立方程jy=j得丫2_4毆-4=0,則y∣+M=4m,y%=-4,

UUllUll

又依題意A77=3b8(點(diǎn)A在X軸上方)，故X>0,y=-3%,

WWy]-2?∣3,y2=故

,"=_曰.易見N點(diǎn)坐標(biāo)為11,”B

即(-12〃)，即公共點(diǎn)的坐標(biāo)為

故答案為.

本題考查了拋物線的定義及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

四、解答題

17.已知(1+ΛHT)7=ηo+α∣x+02χ2++%χ］中，且4=-28().

(1)求用的值；

(2)求4+q+%+%的值.

【正確答案】(1)-2

(2)-1094

【分析】(1)利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求解：

(2)利用賦值法令x=l求得所有項(xiàng)的系數(shù)和，再令x=-l,兩式作差即可求解.

【詳解】(1)二項(xiàng)式(l+∕nr)7的展開式的通項(xiàng)公式為&=5"(∕∞)'="CR,

又其展開式中/V=-280χ3,則令r=3得：％=-280="&,

解得：/H=-2?

所以加的值為-2.

72j

(2)由(1)得：(l-2x)=a0+alx+a2x++a1x,

7

令X=I得：?÷6∕1+?+L÷α7=(1-2×1)=-1φ,

又得：a0-al+?-L一%=［l-2x(-l)J=37=2187②，

則①一②得：2(%+%+%+%)=-2188,

所以q+%+%+%=-1094,

故4+%+%+%的值為-1094.

2

18.已知/(x)=］d一αχ2+χ+ι,其中Q∈R.

⑴若/(χ)在(l,+∞)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)當(dāng)4=1時(shí)，求函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,2］上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)(-∞B

7

⑵〃x)3=w，/(x)min=ι

【分析】(1)求得/'(X),將函數(shù)f(x)在(Ly)單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為2α≤2x+-在。,+8)恒成

立，構(gòu)造函數(shù)MX)=2x+g,再根據(jù)函數(shù)在(l,+∞)上單調(diào)性即可求解；

(2)當(dāng)時(shí)，求得/'(X),分別求解不等式y(tǒng)χx)>O和r(x)<O,從而得到“X)在區(qū)

間［0,2］上的單調(diào)情況，進(jìn)而即可求得/(X)在區(qū)間［0,2］上的值域.

【詳解】(1)依題意得/'(X)=2f-2公+1,

由f(x)在(1,—)單調(diào)遞增，

則f'(x)20在(l,+∞)恒成立，即2a≤2x+g在(l,+∞)恒成立，

令∕z(x)=2XH—,則∕f(x)=2—-)

當(dāng)x>l時(shí)，Λ,(x)>0,此時(shí)〃(X)在(1,÷∞)上單調(diào)遞增，

所以x>l時(shí)，Λ(x)>Λ(l)=3,因此2〃<3,即α≤∕,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為1-8,1.

(2)當(dāng)a=2時(shí)，Wf(?)=—X3—-x2+x+l,則/'(x)=2X—3x+l=(x—1)(2九一1),

11

用

令

>O解得<X<

2-2-

故f(x)在0，；)和(1,2］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

又/(O)=I，彳撲率“1)［，〃2)4，

\Z7Z4O3

則”2)>∕g)>"l)>∕(0),

7

所以"x)a="2)=%/(XLl=/(O)=L

19.已知數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和為S,,,且q=2,4=8,S,,+2+S,,=2Sn+1+3(π∈N*).

（1）求證數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)：

（2）設(shè)b?=%?2",求數(shù)列圾｝的前〃項(xiàng)和刀,.

【正確答案】（1）證明見詳解，an=3n-?

(2)7；=(3n-4)72π418

【分析】（1）依題意可得5“+2-5“T=S.M-S“+3,再根據(jù)5,和對的關(guān)系可得到

%+2-q,M=3（"wN*）,注意要驗(yàn)證〃=1時(shí)，是否滿足，進(jìn)而即可證明；

（2）結(jié)合（1）可低｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)錯(cuò)位相減即可求得數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和

【詳解】（1）由S,,+2+S11=25n+,+3,則5,,+2-5ntl=Se-S“+3,即ɑ,.-“向=3（〃eN*）,

當(dāng)"=1時(shí)，a3-a2=3,得々=5,則02-q=3,?αn+l-an=3（n∈N*）,

因此｛%｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以4=2+3（〃—1）=3〃-1.

n

(2)結(jié)合(1)可知,?n=(3n-l)?2,

則(=2X2∣+5X22++(3”-l)?2"①,

則27；=2x2?++(3〃-4)?2"+(3"-l)?2"+∣②,

①-②得

3?22(1-2,,^I)

-7；=4+302++2")-(3"-l)?2向=4+-(3n-l)?2,,+l=(4-3w)?2n+l-8，

1-2

故用=(3"-4)?2e8.

20.已知四棱柱ABC。-A4G。中，底面ABa)和側(cè)面4880都是邊長為2的菱形，且它

們所在平面互相垂直.AiB1BQ.

(1)求證：四邊形ABC。是正方形.

(2)若NAA8=60。，求二面角A-BC―。的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

巫

35

【分析】(1)先證明ABl平面ABQ,得到A8LA。，再證明AD_L平面AA8,得到

AD±AB,進(jìn)而可證四邊形ABCQ是正方形

(2)建立空間直角坐標(biāo)系利用二面角的向量公式求解.

【詳解】(1)證明：由四邊形48耳4為菱形可知48,44，

又由題知48,4。，AB1B1D=B1,Ag,BQu平面AB

故有A/，平面4BQ,AZ)U平面4片。，

從而可得4B?LAQ.

過A作AM，A8,交A3于M,

則由AMl.AB,平面AAB，平面ABCr),

且兩平面交線為A8,AMU平面A1AB可得：AM_L平面ABC。，

由ADU平面ABCD可得AM1AO,

結(jié)合上面得到的ABLAO,又AMAB=A,AM,ABu平面AA8,

所以AOL平面AAB,

又ABU平面A48

所以AZ)IAB

又四邊形ABC。為菱形，

所以四邊形ABC。為正方形

(2)解：若ZAAB=60。，則由題可得^AAB為正三角形，從而可知(1)中的點(diǎn)〃為AB

的中點(diǎn)，取8中點(diǎn)N,連接MN.以AM,MN，MA分別為x,V,Z軸正方向建立空間

直角坐標(biāo)系，則由題可得：

A(l,0,0),B1(-2,0,>Λ),C(-l,2,0),D(l,2,θ)

.?.4C=(1,2,-G),B,A=(3,0,-√3),BlD=(3,2,-√3)

設(shè)平面4C4的一個(gè)法向量為，”=(x,y,z),

m?B.A=3x-?/?z=O

則有廠

m.B?C=x+2γ-√3z=O

取X=I,則m=(1,1,6),

設(shè)平面gCQ的法向量為〃=(Λ1,y,zJ,

ri?BxD=3xx+2y1-?/?z,=O

有］，

n-BIC=xl+2yl-KZI=O

取z=2,則"=(0,石,2),

所以平面耳CC的一個(gè)法向量為〃=(0,6,2)

設(shè)二面角A-BC-。的平面角為，,

m-n?3√33√W5

由題易知。為銳角，故有CoSe=

∕7!∣∣n∣?j5×y∕l35

故二面角A-BC-。的余弦值為2叵

21.已知E為拋物線C:Y=2Py(P>0)的焦點(diǎn)，。為拋物線的頂點(diǎn)，P(M,%)k≠θ)為拋

物線C上一點(diǎn)，當(dāng)先=2時(shí)，∣PP∣=3.

(1)求拋物線C的方程;

(2)設(shè)拋物線C在點(diǎn)P處的切線交X軸于點(diǎn)0,直線。尸與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)

卜卦伊目取得最小值時(shí)，求“R4B的面積.

【正確答案】(l)Y=4y

(2)4√2

【分析】(1)由拋物線定義結(jié)合IPFl=3求出。=2,可得拋物線C的方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)尸處切線方程，得。坐標(biāo)，kQF,從而可得直