2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組9-3雙曲線及其性質(zhì)

9.3雙曲線及其性質(zhì)

考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.（2017課標(biāo)1文,5,5分）已知F是雙曲線UχJ*l的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與X軸

垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,3）,則AAPF的面積為（）

A?B.∣C.∣D.∣

3232

答案D本題考查雙曲線的幾何性質(zhì).

易知F（2,0）,不妨取P點(diǎn)在X軸上方,如圖.

?.?PFJ_x軸，

.?.P（2,3）,∣PF∣=3,又A（l,3）,

ΛI(xiàn)API=1,AP±PF,

???SwWx3Xl=∣.故選D.

（天津,分）已知雙曲線（）的右焦點(diǎn)為點(diǎn)在雙曲線的漸近線

2.20175,5srIra>0,b>0F,A

上,Z?OAF是邊長為2的等邊三角形（0為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（）

Λ,?lB,?l

412124

C.?-y2=lD.x?l

3J3

答案D不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由題意可知c=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,遙），所以江北,又

a

c2=a2+b2,所以a2=l,b2=3,故所求雙曲線的方程為x2-y=l,故選D.

方法總結(jié)求雙曲線方程的常用方法：（1）待定系數(shù)法:設(shè)出所求雙曲線的方程,根據(jù)題意構(gòu)

造關(guān)于a,b的方程組,從而求得a,b,寫出雙曲線的方程；（2）定義法:根據(jù)題意建立動(dòng)點(diǎn)所滿

足的關(guān)系式,結(jié)合雙曲線的定義求出動(dòng)點(diǎn)所滿足的軌跡方程.

3.（2016天津理,6,5分）已知雙曲線4-白1（b>0）,以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長為半徑

4Zr

長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于Λ,B,C,D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方

程為（）

（%+%=22,①

答案D不妨設(shè)A（x0,%）在第一象限，由題意得上的?2%=2b，②

Uo=^?.③

由①③得考嗯,④

所以02義∣6J?2⑤

,

〃1以年4入4，戶l+62業(yè)

由②④⑤可得b2=12.

所以雙曲線的方程為=L故選D.

思路分析抓住矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),利用該頂點(diǎn)既在圓上又在漸近線上,再結(jié)合矩形的

面積建立方程組求解.

評(píng)析本題考查了圓和雙曲線的方程與性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力和方程的思想方法.

4.（2015安徽理,4,5分）下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是（）

A.B.--y2=lC.--X=ID.y2-^l

4444

答案C由于焦點(diǎn)在y軸上,故排除A、B.由于漸近線方程為y=±2x,故排除D.故選C.

5.（2014天津理,5,5分）已知雙曲線5-昌1（a>0,b>0）的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線1上,則雙曲線的方程為（）

A.---^=lc.-D.--^=1

5202052510010025

答案A由題意得以2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,則a?=5,b2=20,從而雙曲線方程為

a

立巴1

520

2

6?(2014江西文,9,5分)過雙曲線C?l的右頂點(diǎn)作x軸的垂線,與C的一條漸近線相交

于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,0兩點(diǎn)(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的

方程為()

A2V2A2V2A27A2V2

三

A.4v-1÷21B7.j9*lC.8*81DΛ12-4-1

答案A由雙曲線方程知右頂點(diǎn)為(a,0),不妨設(shè)其中一條漸近線方程為y"x,因此可設(shè)點(diǎn)

a

A的坐標(biāo)為(a,b).設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0),由已知可知c=4,且∣AF∣=4,BP(c-a)W=16,所以有

(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得az-2ac+cz-a2=0,即a=^=2,所以

b2=c2-a2=42-22=12.故雙曲線的方程為*1,故選?.

412

評(píng)析本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、雙曲線的幾何性質(zhì)以及圓的定義,考查學(xué)生的運(yùn)

算求解能力和邏輯推理能力.

7.(2016課標(biāo)I,5,5分)已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,

flτ+n3zzr-n

則n的取值范圍是()

A.(-1,3)B.(-1,√3)

C.(0,3)D.(0,√3)

答案A???原方程表示雙曲線,且焦距為4,

'/+n>0,

?*?3∕z^-∏>0,①

4+n+3∕z^^n=4,

'層+n<Oy

或3層-n<0,②

、-(3∕-n)-(/+n)=4,

由①得m2=l,n∈(-l,3).②無解.故選A.

方法優(yōu)化由題意可知(m2+n)(3m"-n)>0,J^f?-m2<n<3m2,從而m2+n>0,且3m2-n>0,所以

m2+n+3m2-n=22,解得m"=l,所以n∈(T,3).

8.(2015課標(biāo)1文，16,5分)已知F是雙曲線CdQl的右焦點(diǎn),P是C的左支上一

點(diǎn),A(0,6√6).當(dāng)AAPF周長最小時(shí),該三角形的面積為.

答案12√6

3

解析由已知得雙曲線的右焦點(diǎn)F(3,0).設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F',則F'(-3,0).由雙曲線的

定義及已知得IPFl=2a+1PF'∣=2+PF'I.ZXAPF的周長最小，即PA∣+∣PF∣最

小.∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+2+∣PF'∣2∣AF'∣+2=17,即當(dāng)A、P、F'三點(diǎn)共線時(shí)，AAPF的周長最小.

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為Go,y0),y0>θ,由然得身6√δy0-96=0,所以y0=2√^或y0=-8√δ(舍去).

所以當(dāng)AAPF的周長最小時(shí)，該三角形的面積S=^×6×6√6-∣×6×2√6=12√6.

9.(2015課標(biāo)II文，15,5分)已知雙曲線過點(diǎn)(4,√3),且漸近線方程為y=+∣x,則該雙曲線的

標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案γ-y2=l

解析根據(jù)漸近線方程為x±2y=0,可設(shè)雙曲線方程為χ2-4yJλ(λ≠0).因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)

(4,g)，所以42-4×(√3)2=入，即λ=4.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為9-yJl.

考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)

1.(2020課標(biāo)I文，11,5分)設(shè)F”F2是雙曲線C:x2號(hào)1的兩個(gè)焦點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C

上且IOPl=2,則4PFE的面積為()

A，7B.3C.5-D.2

22

答案B由題易知a=l,b=√5,.?.c=2,又?.?∣0P∣=2,.?2PFE為直角三角形，易知

2222

IIPF1I-IPF2I∣?ΛI(xiàn)PF,∣+IPF2∣-2∣PF,∣?IPF2∣=4,χ∣PF,∣+∣PF2∣=∣F,F2∣MC?I6.

??∕PFJ?∣PFZ∣H=6,.?.S△外也WlPFJ?m艮|=3,故選民

2.(2019課標(biāo)I文，10,5分)雙曲線C：W-今l(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C

STIT

的離心率為()

A.2sin40oB.2cos40oC—!—D，cos50°

*sin50o

答案D本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式;考查考生的

運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

由雙曲線C?-?=l(a>0,b>0)可知漸近線方程為y=±?,

由題意知-^tanI30°,

a

又tanl30o=-tan50o,

4

Λ?γ=tan50o,

???雙曲線的離心率e^J7+?√l+tan250o=嘿-I-L^__1—,故選D.

a7MyjCoSN50ycos-oOcos50

方法總結(jié)求雙曲線1(a>0,b>0)的離心率的常見方法：

arIr

(1)定義法:e3濘;(2)公式法:e=m∣=√l+tan2θ(θ為漸近線的傾斜角)；(3)方程思想：

利用題中條件得出關(guān)于a,b,c的方程,利用b'cz-a?轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的方程,最后利用e」轉(zhuǎn)

a

化為關(guān)于e的方程,從而得出離心率e.

3.(2019北京文,5,5分)已知雙曲線白產(chǎn)1(2>。)的離心率是強(qiáng)則2=()

?.√6B.4C.2D.∣

答案D本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力以及方程的思想,考查

的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.

由題意得e=?=√5,又a2+b2=c2,Λ.,rr~e2-l=4,

asr<r

Vb2=l,Λa2=i.Va>0,Λa=∣.

易錯(cuò)警示把雙曲線的離心率錯(cuò)認(rèn)為e=JΓ^而出錯(cuò).

4.(2018浙江,2,4分)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)

答案B本小題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).

?.?a2=3,b'l,.?.c=√^F廬=2.又；焦點(diǎn)在X軸上，.?.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).

易錯(cuò)警示求雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)的易錯(cuò)點(diǎn)

(1)焦點(diǎn)在X軸上還是y軸上,容易判斷錯(cuò)誤；

(2)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系式容易混淆.

5.(2015課標(biāo)I理,5,5分)已知M(Xi),y0)是雙曲線C：方=1上的一點(diǎn),F1,B是C的兩個(gè)焦點(diǎn).

若麗?麗<0,則%的取值范圍是()

A年)Bd)

CT,I乂等管)

5

答案A若麗?麗=0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,半焦距C=行為半徑的圓上,則

解得％=?可知:麗?麗<0=點(diǎn)M在圓x2+y2=3的內(nèi)部n^4=%∈(-*與.故選A.

6.(2015課標(biāo)II理，11,5分)已知A,B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上,ΔABM為等腰三

角形,且頂角為120。，則E的離心率為()

A.√5B.2C.√3D.√2

答案D設(shè)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為。?l(a>0,b>0),則A(-a,0),B(a,0),不妨設(shè)點(diǎn)M在第

erIr

一象限內(nèi)，則易得M(2a,√5a),又M點(diǎn)在雙曲線E上,于是筌-罕=1,≡?

b2=a2,Λe-J1+??=V2.

7.(2015湖南文,6,5分)若雙曲線/白1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率

frIr

為()

A?1B?7C.iD.∣

3433

答案D雙曲線]■今1的兩條漸近線方程為y≈±-x,則點(diǎn)(3,-4)在直線y="x上,即-4=-絲,

εrtraaa

所以4a=3b,即蕓,所以e=Jl+∣=∣.故選D.

8.(2015重慶文,9,5分)設(shè)雙曲線當(dāng)-216>04>0)的右焦點(diǎn)是"左、右頂點(diǎn)分別是A∣,心

Sru

過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn).若A1BlA2C1則該雙曲線的漸近線的斜率為()

A.±∣B.C.±1D.±√2

答案C不妨令B在X軸上方,因?yàn)锽C過右焦點(diǎn)F(c,O),且垂直于X軸,所以可求得B,C兩

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為卜,￡),卜,-[),又A”&的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0),

所以宿(c+a,f),g(c-a,-?),

因?yàn)锳1BlA2C,所以施?4C=0,

即(c+a)(c-a)~?絲0,

aa

6

即c2-a2-^=0,所以b2-^=0,

故冬1,即祖1,又雙曲線的漸近線的斜率為土々故該雙曲線的漸近線的斜率為±1.故選C.

araa

9.（2014課標(biāo)I理,4,5分）已知F為雙曲線C:Xjmyz=3m（m>0）的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條

漸近線的距離為（）

A.V3B.3C.V3mD.3m

答案A由題意知,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡-4=1,其中a'3m,b2=3,故c=√7==6E,不

3m3

妨設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，故F（√^T瓦0）.其中一條漸近線的方程為y=?x,即χ-√?=0,由

y/m

點(diǎn)到直線的距離公式可得d=√3,故選?.

√±l+2（-√Effl）L2-

評(píng)析本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生對(duì)知識(shí)

的靈活運(yùn)用能力和運(yùn)算求解能力.

10.（2014課標(biāo)1文,4,5分）已知雙曲線當(dāng)空16>0）的離心率為2,則2=（）

k3

Λ.2B.-C，vD.1

22

答案D由雙曲線方程知b?=3,從而<?=￡+3,又e=2,因此金苧4,又a>0,所以a=l,故選D.

erar

11.（2013課標(biāo)I理,4,5分）已知雙曲線C9昌l（a>O,b>O）的離心率為苧,則C的漸近線方程

為（）

A.y=÷^?xB.y=±1xC?y=±；XD.y=÷x

答案C??3KT=Jf次,；.C的漸近線方程為y=±gx.故選C.

12.（2011課標(biāo)全國理,7,5分）設(shè)直線1過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直，1

與C交于A,B兩點(diǎn)，IABl為C的實(shí)軸長的2倍,則C的離心率為（）

Λ.√2B.√3C.2D.3

答案B不妨設(shè)雙曲線C為《-al（a>O,b>O）,并設(shè)1過B（c,0）且垂直于X軸,則易求得

∣AB∣?

a

A—=2×2a,b2=2a2,

a

二離心率e故選b?

7

13.（2016課標(biāo)∏,∏,5分）已知F1,F2是雙曲線E:白昌1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF,與X

軸垂直,SinNMF兄=1,則E的離心率為（）

A.√2B.∣C.√3D.2

答案A本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng).

解法一：由MF1±X軸,可得M（-c,ΛI(xiàn)MF114

由sinZMF2Fl=∣,可得CoSNMFB=Jl-Gy等,

￡1

"

又tanZMF2Fl-,Λ?≈?,??b-=yac,

3

Vc2=a2+bz=>b2=c2-a2,Λc2-a2-γac=0=^e2-^e-l=0,又?.'e>l,?'?e=√∑故選A.

解法二：由MF」X軸，得。，??.IMFJq由雙曲線的定義可得IMF2∣=2a+1MF,∣=2a+p又

1a

sinZMF2F1~"T∣?--,2~a=b,Je=莊續(xù)√Σ故選A.

I揚(yáng)22a+--3N*

a

14.（2020課標(biāo)ΠI文，14,5分）設(shè)雙曲線（：:芻-白1（a>0,b>0）的一條漸近線為y=√2x,則C的離

εrZr

心率為.

答案√3

解析?.?雙曲線Cr4-?=l（a>0,b>0）的一條漸近線為y=√2x,

srCr

.?.駕歷,.?.雙曲線C的離心率為J∕l+?√3.

15.（2018上海,2,4分）雙曲線:/=1的漸近線方程為.

答案y=±iχ

解析本題主要考查雙曲線的漸近線方程.

解法一：由雙曲線:-/=1知a=4,b?l,

.?.a=2,b=l,.?.該雙曲線的漸近線方程為y=+∣x.

8

解法二:令雙曲線^y2=l中的“1”為“0”，即可得到雙曲線的漸近線方程,即。-y2=0,.?.該

44

雙曲線的漸近線方程為y=±jx.

16.(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系XOy中,若雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)

到一條漸近線的距離為日c,則其離心率的值是.

答案2

解析本題考查雙曲線的性質(zhì).

雙曲線的一條漸近線方程為bχ-ay≈0,則F(c,O)到這條漸近線的距離為

7?%.?.b冬.?.b*,又b≡=c?,Λc?Λe?2.

17.(2017課標(biāo)Hl文，14,5分)雙曲線WI(a>0)的一條漸近線方程為y?,則

εr9O

答案5

解析由題意可得看，

a5

所以a=5.

18.(2017北京理,9,5分)若雙曲線x2-^l的離心率為6,則實(shí)數(shù)m=.

m

答案2

解析本題考查雙曲線的性質(zhì).

由題意知,a2=l,b2=m.

???e?=m?6?代，'m=?.

19.(2016山東理，13,5分)已知雙曲線￡:《-今1心>0,b>0).若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E

erIr

上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且21ABI=31BCI,則E的離心率是.

答案2

f)ι2

解析由已知得IABl=ICDl=―,IBel=IADl=IFIF21=2c?

a

因?yàn)?AB∣=3∣BC∣,所以