三視圖、截面與外接球（練習(xí)）（含解析）2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)7?2三視圖、截面與外接球

ιm練基礎(chǔ)JH

1.（2022.上海靜安.二模）中國古代建筑使用梯卯結(jié)構(gòu)將木部件連接起來，構(gòu)件中突出的部

分叫樺頭，凹進(jìn)去的部分叫卯眼，圖中擺放的部件是樺頭，現(xiàn)要在一個木頭部件中制作出卯

眼，最終完成一個直角轉(zhuǎn)彎結(jié)構(gòu)的部件，那么卯眼的俯視圖可以是（）

結(jié)果圖

【答案】B

【分析】

根據(jù)樣頭的俯視圖結(jié)合結(jié)果圖，可判斷卯眼的俯視圖.

【詳解】

解：根據(jù)樣頭的俯視圖及結(jié)果圖的俯視圖可判斷卯眼的俯視圖為B項中的圖形.

2.（2022?全國?模擬預(yù)測（文））已知三棱錐A-BC。的直觀圖如圖所示，則該三棱錐的

【分析】

根據(jù)直觀圖直觀想象即可

【詳解】

由圖，則該三棱錐的俯視圖為D

故選：D

3.（2022?青海西寧?二模（文））已知某幾何體的主視圖和側(cè)視圖均如圖所示，給出下列5

個圖形：

其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

由三視圖的定義，結(jié)合正視圖和左視圖得圖形相同，對題目中的圖形進(jìn)行分析,即可得到結(jié)

論.

【詳解】

對于④，中間是正三角形，它與正視圖和左視圖中矩形的寬度不一致，所以④不能作為該幾

何體的俯視圖圖形；

對于其余4個圖形，中間圖形與正視圖和左視圖的矩形寬度一致，可以作為該幾何體的俯視

圖圖形：

所以滿足條件的圖形個數(shù)為①②③⑤共4個.

故選：C.

4.（2022?浙江?赫威斯育才高中模擬預(yù)測）“圓材埋壁'’是我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》

中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為

1,截面圓圓心為。，墻壁截面ABa）為矩形，且Ao=1,則扇形OAO的面積是.

【分析】

計算N4Q。，再利用扇形的面積公式求解.

【詳解】

由題意可知，圓。的半徑為1,即。4=8=1，

又AD=I,所以AOAD為正三角形，.?.∕AOO=（,

所以扇形OAO的面積是S=37χ∕xZAO3=:xl2χ=J.

2236

故答案為：7

O

5.（2021.全國.高考真題（理））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖

和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫

出符合要求的一組答案即可）.

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】

由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.

［詳解］

選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體A8C￡>—AB￡R中，AB=BC=2,BB?=l,

E,尸分別為棱BC,BC的中點(diǎn)，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐E-ADF.

故答案為：③④.

2維練能力JH

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-A3C中，PA=BC=上,PB=AC=2,

PC=AB=逐,則三棱錐P-ABC外接球的體積為（）

A.y∣2πB.y∣3πC.屈兀D.6兀

【答案】C

【分析】

將三棱錐P-ABC放到長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為q,b,c,求出。,九C即得三棱

錐P-48C外接球的半徑，即得解.

【詳解】

解：由題意，PA=BC=BPB=AC=2,PC=AB=B將三棱錐P-ABC放到長方體

中，可得長方體的三條對角線分別為6,2,√5,

設(shè)長方體的長、寬、高分別為“,4c,

2222

則?∣a+b=?/?，Ja2+02_2,y∣c+?=λ∕5,

解得α=l,b-?∣2>c=>/3.

所以三棱錐P-ABC外接球的半徑R=LTT壽二7=四.

22

.??三棱錐P-ABC外接球的體積V=^πRi=4βπ.

故選：C

7.(2022?全國?高三專題練習(xí))在正方體ABs-AAGP中，棱長為3,E為棱8瓦上靠近

用的三等分點(diǎn)，則平面AEA截正方體ABC。-A4G2的截面面積為()

A.2√ΓTB.4√HC.2√22D.4√22

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意運(yùn)用基本事實(shí)作出截面，根據(jù)截面的幾何特征求其面積即可.

【詳解】

延長AE,A片交于點(diǎn)F,連接R尸交Be于點(diǎn)G,如圖，

在正方體ABCD-AtBlCfDl中，面ADD^H面BCC1B1,

面AFG)面Az)AA=AR,面4FR面BCCf=EG

ADxHGE,又AO1=3√2,Gf=√2

.?.四邊形AEG。是梯形，且為平面AEA截正方體ABCD-A耳CQ的截面.

又?AG=AE=JF,在等腰梯形AEGR中，過G作GHIA",

22

:.GH=y∣DiG-DlH=√∏

.?.S=^(ADl+EG)?GW=∣?(√2+3√2)?√H=2√22.

故選：C.

8.(2022?全國?高三專題練習(xí))若過圓錐的軸So的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體

ABCO-AAGR的頂點(diǎn)A,B,C,。在圓錐底面上，A，B?,Cl,R在圓錐側(cè)面上，

則該正方體的棱長為()

A.2√2B.3√3C.2(3√2-2√3)D.2(3√6-2√2)

【答案】C

【分析】

?∣2x

設(shè)正方體棱長為X,根據(jù)題意得^F2后-X,分析求解即可.

2^2√3

【詳解】

根據(jù)題意過頂點(diǎn)S和正方體上下兩個平面的對角線作軸截面如-

所以SE=SF=EF=4,NE=NF=6。，所以Eo=2,SG>=√42-22=2√3-

AACG為矩形，設(shè)AA=%,所以AC=AG=√∑r,所以Aa=叵，

0X

所以Aa=阻,即4°∣.=so-M,即?=友二，解得》=2卜近一26）.

EOSOEOSO2-2√3

故選：C.

9.（2022?江西?金溪一中高三階段練習(xí)（文））魯洛克斯三角形是指分別以正三角形的頂點(diǎn)

為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形，如圖①.魯洛克斯三角

形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑。（等于正三角形

的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸.由于這個性質(zhì)，機(jī)械加

工中把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出圓角正方形（視為正方

形）的孔來.圖②是魯洛克斯三角形鉆頭（陰影部分）與它鉆出的圓角正方形孔洞的橫截面，

現(xiàn)有一個質(zhì)點(diǎn)飛向圓角正方形孔洞，則其恰好被鉆頭遮擋住，沒有穿過孔洞的概率為

【答案］生］叵

【分析】

設(shè)正方形的邊長為。，求出魯洛克斯三角形面積，再利用幾何概型求解.

【詳解】

解：設(shè)正方形的邊長為“，魯洛克斯三角形由三個弓形與正三角形組成，

其面枳為3（，萬片一■-×α2sin工］sm-=-a1~^-a2,

（623）2322

乃22

故所求概率D_2“Fa_乃-G.

一?2

故答案為：上叵

2

10.（2022?北京?二模）如圖，在正方體ABCZ）-ABCQ,中，E,F,G分別為棱AAA4,AR

上的點(diǎn)（與正方體頂點(diǎn)不重合），過A作A”_L平面EFG,垂足為，.設(shè)正方體

ABCo-AAGR的棱長為1,給出以下四個結(jié)論：

①若E,F,G分別是AAAA,AR的中點(diǎn)，則AH=也；

6

②若E,F,G分別是AAAg,A。的中點(diǎn)，則用平行于平面EFG的平面去截正方體

ABCD-AtBtCiDt,得到的截面圖形一定是等邊三角形；

③LEFG可能為直角三角形；

1]11

2+2+22

A1EA1FA1G^AtH'

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①④

【分析】

①等體積法匕I.EFG=%.AFG判斷;②根據(jù)正方體的性質(zhì)畫出平行于平面EFG的可能截面情況;

③由正方體性質(zhì)，通過定兩點(diǎn)，移動另一點(diǎn)判斷EFG的內(nèi)角變化趨勢即可；④設(shè)

a=AiE,b=AiF,c=AlG,h=AiH,利用等體積法，結(jié)合正余弦定理、三角形面積公式、錐體

體枳公式化簡即可判斷.

【詳解】

①由9WG=%-"C=:AE?AF?AG=±,而S"°=<X（坐）2M60。=卓，

OH-o22e

所以JAH?SEFG=±,可得AH=且，正確；

3486

②根據(jù)正方體的性質(zhì)平行平面EFG的平面有如卜情況：

當(dāng)截面在面ABR與面BDC1之間時為六邊形，在面ABtDl左上或面BDCt右卜時為等邊三角

形，錯誤；

③瓦產(chǎn)分別在AA,A片上不為頂點(diǎn)任意點(diǎn)，當(dāng)G從A到"過程N(yùn)EG尸遞減，即小于90。，同

理知："EF,∕εFG也小于90。，EFG不可能為直角三角形，錯誤；

④若4=AE/=A尸，C=AG,力=A”,又vA-EFG=VE-A?;，即

A,E-AiF-AtG=AtHGEGFsin?GF,

I22τ，22，，

22—?----7-1b+c+Zr+L—a_*V

所以"c=hy∣(a+c)(?'+c2)?1-(—~-,

V2√(a-+c-)(?-+c^)

貝IJahc=hy∣a2b2+a2c2+b2c2，即a2b2c2=h2(a2b2+α2c2+b2c2)，

Illl1111

所以/=/+乒+/'即％F+#+而7=而’正確;

故答案為：①④

卜母練素養(yǎng)切

11.(2022?全國?高三專題練習(xí))在三棱錐尸-ABC中，ABC是邊長為4豆的等邊三角形，

PA=PC=A,二面角P-AC-B是150。，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是()

A.1601-4⑹兀B.4(ll-4√3)π

C.4(ll+4√3)πD.2(ll+4√3)π

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意畫出簡圖，通過作圖分析出幾何體外接球的球心位置，算出半徑，即可求出表面積.

【詳解】

如圖，作PEj_平面48(7,垂足為E,連接BE,記BECAC=O,連接尸D.

由題意可得。為AC的中點(diǎn).

在4APC中，PA=PC=A,。為AC的中點(diǎn)，..PDYAC

因?yàn)锳C=4λ∕L所以AO=2√5,則PD=NPT—AD?=商-(2厲=2.

因?yàn)槎娼荘-AC-B是150。，所以NPDE=30。，

所以PE=I,DE=B

因?yàn)锳BC是邊長為的等邊三角形，且。為AC的中點(diǎn)，所以30=6.

設(shè)O∣為∣ΛBC外接圓的圓心，則。8=2。。=4.

設(shè)三棱錐尸-ABC外接球的球心為0,

因?yàn)镺f2=QE+pE2=便+2j+F=8+4百＜]6,所以0在平面A8C卜方,

連接00∣,OB,OP,作OHLPE,垂足為”，

則O"=QE=√5+2,PH=PE+OOy.

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

R2=OH2+PH1?R-=OO^+Ar

\八八，八2，即<2/廠\2/\2，解得R2=44-166,

2

R-=O0；+OlB-Λ=(√3+2)+(1+00I)-

故三棱錐P-ABC外接球的表面積是4兀代=]6（11-4√5）π.

故選：A.

12.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測（理））在四面體ABC。中，NBCO=90。，ABL平面8CQ,

AC=CD.過點(diǎn)B作垂直于平面ACo的平面α截該四面體，若截面面積存在最大值，則

tanZAC8的最大值為（）

A.√2B.√2C.√3D.√3

【答案】C

【分析】

過B作BE_LAC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作防〃CD冼證得平面BEF為所求截面，然后設(shè)AC=I,求

得5E=ABCOSO=sinOcos6,AE=ABsin0=sin20,從而求得三角形面積，然后換元后求

導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求得最值，從而得出結(jié)論.

【詳解】

在四面體ABC。中，ZBCD=90o.ABj_平面BC￡>,AC=CZλ：AB，平面BCD,CDU平

面BCD,ABlCD,UDLBC,ABCBC=B,則CD，平面ABC,過8作BEJ_AC于點(diǎn)

E,過點(diǎn)E作瓦7/8,則EFl.平面ABC,BEU平面ABC,故EFl.8E,AC-EF=E,

則ACI.平面BE/7,ACU平面ACD,故平面BfiFJ_平面Aa),設(shè)tanZACB=O,設(shè)AC=1,

在凡ABC中，BC=COs。,AB=Sine,在R.ABE中，ZABE=9,BE=ABCoSe=SineCos。，

AEEF

AE=ABsinO=SiMe,在^AC。中，EFHCD,則K=K，故EF=AE=Sin?6?，故

ACCD

2,

S^BEF=^BE?EF-?sin^cos0?sin??sin9cos9

1sinaecos?1tan”_AX_________?________

=—×--------------=—×---------------cκ19?

2（sin20+cos2θ?2tan'+2tarτO+l---ι---------FtanO''

1,tanθtan（9

x=一!—,xe（0,+∞）,/（6=/+2無+，,得

tang、）'）X

尸（x）=3χ2+2-,=3X4+一1=（*-1）（、一+1）,當(dāng)r（χ）>o時，手，當(dāng)外力<0

-XJrX3

時，0<χ<,,故函數(shù)”X）在（0，日）時單調(diào)遞減，在[*,+∞∣時單調(diào)遞增，即當(dāng)X=亭

時，/（x）有最小值，此時截面面積最大，故當(dāng)『萬=/，tane=√J時、截面面積最大,

故若截面面積存在最大值，則」一≥更，故tanN4CB的最大值為不，

tan。3

故選：C.

13.（2020?河北石家莊?模擬預(yù)測（理））三棱錐尸-ABC中，ABlBC9?PAC為等邊三

角形,二面角尸-AC-B的余弦值為-啦，當(dāng)三棱錐的體積最大時,其外接球的表面積為8乃.

3

則三棱錐體積的最大值為（）

A.IB.2C.；D.—

23

【答案】D

【分析】

由己知作出圖象，找出二面角P—AC-B的平面角，設(shè)出AB,BC,AC的長，即可求出三棱

錐P-ABC的高，然后利用基本不等式即可確定三棱錐體積的最大值（用含有AC長度的字

母表示），再設(shè)出球心。，由球的表面積求得半徑，根據(jù)球的幾何性質(zhì)，利用球心距，半徑，

底面半徑之間的關(guān)系求得AC的長度，則三棱錐體積的最大值可求.

【詳解】

如圖所示，過點(diǎn)P作尸E_L面ABC,垂足為E,過點(diǎn)E作匹_LAC交AC于點(diǎn)￡>,連接尸￡）,

則NPDE為二面角P-AC-B的平面角的補(bǔ)角，即有cos?PDE—，

3

易知4（7_1面PDE,則AC_LPD,而乙PAC為等邊三角形，

。為AC中點(diǎn)，

設(shè)AB=a,BC=b,AC=?Ja2+b2=c?

則PE=PDsinZPDE=^-×c×-=-,

232

故三棱錐P-ABC的體積為：V=~×-ab×^=-abc≤-c×^^=-,

3221212224

當(dāng)且僅當(dāng)α=b=也C時，體積最大，此時5、D、E共線.

2

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的球心為O,半徑為R,

由已知，4πR2=8π,得R=TL

過點(diǎn)。作OFJ_PEI-F,則四邊形OZ）E尸為矩形，

則OQ=EF=J2-（馬2，ED=OF=PDcosAPDE=^-c×-=-c,PE=三，

V22322

在心△PFO中（√Σ）2=gc），+0J-（/）2,解得c=2

3231

.?.三棱錐P-ABC的體積的最大值為：—r??.

24243

故選:D.

14.（2022?浙江?紹興一中模擬預(yù)測）已知正方體A38-A4G。的棱長為2,M,N分別

是BC,Bg的中點(diǎn)，點(diǎn)P是截面AgCQ（包括邊界）上的動點(diǎn)，∣2Pl=半,2ME=EN,

則EP與平面AB,CtD所成最大角的正切值為

8√2+2√22

【答案】

5

【分析】

先分析得到點(diǎn)P的軌跡是圓,然后將門與平面A4G。所成最大角的正切值轉(zhuǎn)化為求NEPT

的最大正切值并計算即可.

【詳解】

取DG的中點(diǎn)0,連接Dt0,OP,DiP,由正方體性質(zhì)可知D101平面ABCQ,則

222

OP=y∣D1P-D1O=-(^)=-,即如下圖(2),點(diǎn)P的軌跡是。。，半徑為

又M到平面ABtCtD的距離為MS=&，因?yàn)?"E=EN,所E到AB1C1D的距離為ET=觀

3

則NEPT為直線EP與平面ABCl。的夾角，當(dāng)0，T,尸共線時，則此時PT最小,

tanNEPT=鋁的值最大，OS=I,ST=丘XL=立,所以O(shè)T=

PT33

2√2

4√∏ET38√2+2√22

即Ppτr=------,tfanZEPT=——=——=-----------.

33PT4√∏5

3--3^

故答案為：80+2后.

(1)(2)

15.(2022?河南?高三開學(xué)考試