2022年湖南省常德市文理學(xué)院附屬藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022年湖南省常德市文理學(xué)院附屬藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知矩形ABCD，AB=1，BC=．將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中（）

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直參考答案：B最簡單的方法是取一長方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著，觀察在翻著過程，即可知選項(xiàng)B是正確的

2.函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)=-1，f(b)=1,則sin的值為A．1

B．

C．-1

D．0參考答案：D略3.定義在上的函數(shù)滿足.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。則（

）A．335

B．338

C．1678

D．2012

參考答案：B4.直線2x－3y－4=0與直線mx+(m+1)y+1=0互相垂直，則實(shí)數(shù)m=（

）A.2

B.

C.

D.－3參考答案：D5.直線過點(diǎn)，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，斜率的取值范圍是(

)A．

B．C．

D．參考答案：C

解析：，相切時(shí)的斜率為6.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．2

B．4

C． D．參考答案：C7.對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)一元三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；且該“拐點(diǎn)”也為該函數(shù)的對稱中心.若，則(

)A.1

B.2012

C.2013

D.2014參考答案：C略8.2×2列聯(lián)表中a，b的值分別為（）

Y1Y2總計(jì)X1a2173X222527總計(jì)b46

A．94，96 B．52，50 C．52，54 D．54，52參考答案：C【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)所給的列聯(lián)表，根據(jù)表中最后一列和最后一行是由本行和本列兩個(gè)數(shù)據(jù)之和，列出關(guān)于a．b的方程，解方程即可．【解答】解：∵根據(jù)所給的列連表可以得到a+21=73，∴a=73﹣21=52∵b+46=73+27∴b=54綜上可知a=52，b=54故選C．【點(diǎn)評】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，本題解題的關(guān)鍵是理解列聯(lián)表中a，b，c，d四個(gè)數(shù)據(jù)的位置，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．9.直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)

（

）A.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.參考答案：D10.橢圓的長軸為,短軸為,將橢圓沿y軸折成一個(gè)二面角,使得點(diǎn)在平面上的射影恰好為橢圓的右焦點(diǎn),則該二面角的大小為（）A.75°

B.60°

C.45°

D.30°參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是

.

參考答案：12.如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形內(nèi)挖去半圓（圓心O在邊AC上，半圓與BC、AB相切于點(diǎn)C、M，與AC交于N），則圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問題．【分析】幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，是一個(gè)圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球后剩余部分，求出圓錐的體積減去球的體積，可得幾何體的體積．【解答】解：幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，是一個(gè)圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球后剩余部分，球是圓錐的內(nèi)接球，所以圓錐的底面半徑是：1，高為，球的半徑為r，r=，所以圓錐的體積：，球的體積：，陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積，組合體的體積的求法，考查空間想象能力，是中檔題．13.設(shè)是不重合的兩直線，是不重合的兩平面，其中正確命題的序號是

．①若//，則；

②若，則；③若，則//；

④若，則//或參考答案：②④14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，則正整數(shù)k的最小值為________．參考答案：6略15.

在數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前99項(xiàng)和為____________參考答案：16.方程x2+y2+x+2my+m=0表示一個(gè)圓，圓m的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】圓的一般方程．【分析】由二元二次方程表示圓的條件得到m的不等式，解不等式即可得到結(jié)果．【解答】解：方程x2+y2+x+2my+m=0表示一個(gè)圓，則1+4m2﹣4m＞0，∴．故答案為：17.雙曲線C：x2﹣4y2=1的漸近線方程是

，雙曲線C的離心率是．參考答案：y=±x；

【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b，c，即可得到所求漸近線方程和離心率．【解答】解：雙曲線C：x2﹣4y2=1，即為﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得漸近線方程為y=±x；離心率e==．故答案為：y=±x；．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.從天氣網(wǎng)查詢到衡水歷史天氣統(tǒng)計(jì)(2011-01-01到2014-03-01)資料如下：自2011-01-01到2014-03-01，衡水共出現(xiàn)：多云507天，晴356天，雨194天，雪36天，陰33天，其它2天，合計(jì)天數(shù)為：1128天。本市朱先生在雨雪天的情況下，分別以的概率乘公交或打出租的方式上班（每天一次，且交通方式僅選一種），每天交通費(fèi)用相應(yīng)為2元或40元；在非雨雪天的情況下，他以90%的概率騎自行車上班，每天交通費(fèi)用0元；另外以10%的概率打出租上班，每天交通費(fèi)用20元。（以頻率代替概率，保留兩位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：）（1）求他某天打出租上班的概率；（2）將他每天上班所需的費(fèi)用記為（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望。參考答案：解：（1）設(shè)表示事件“雨雪天”，表示事件“非雨雪天”，表示事件“打出租上班”，

（2）的可能取值為0，2，20，40

∴的分布列為0220400.720.100.080.10（元）略19.某學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些這些學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見表，規(guī)定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．（1）求n和頻率分布直方圖中的x，y的值；（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生中任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；（3）在選取的樣本中，從A，C兩個(gè)等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記ξ表示抽取的3名學(xué)生中為C等級的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和樹形圖求解；（2）至少有一人可從反面出發(fā)，用間接法求解；（3）根據(jù)分布列的定義和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法求解即可．【解答】解：（1））由題意可知，樣本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率為0.1，設(shè)至少有1人成績是合格等級為事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成績是合格等級的概率為；（3）C等級的人數(shù)為0.18×50=9人，A等級的為3人，∴ξ的取值可為0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列為ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=．20.如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如圖2折疊；折痕EF∥DC，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF．（1）證明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱錐M﹣CDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】（1）要證CF⊥平面MDF，只需證CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即證MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面積S△CDE，對應(yīng)三棱錐的高M(jìn)D，計(jì)算它的體積VM﹣CDE．【解答】解：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF∥DC，∴=，即=，∴DE=，∴PE=，∴S△CDE=CD?DE=；MD===，∴VM﹣CDE=S△CDE?MD=××=．【點(diǎn)評】本題考查了空間中的垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形，明確線線垂直、線面垂直以及面面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系是什么，幾何體的體積計(jì)算公式是什么，是中檔題．21.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,若該橢圓的離心等于，（I)求橢圓的方程；(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓上位于軸下方一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線的傾斜角為，求的面積.參考答案：（Ⅰ）解：因?yàn)?,且所以，，則橢圓方程.（Ⅱ）解：因?yàn)?=直線:，,整理得：，]解得：，則==.22.設(shè)函數(shù)φ（x）=ex﹣1﹣ax，（I）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍；（III）證明不等式ex≥1+x+．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（I）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解最小值．（II）φ'（x）=ex﹣a，若a≤0，求解函數(shù)的極值，若a＞0，求出函數(shù)的最小值，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，求解極值，當(dāng)a＞1時(shí)，求出極值點(diǎn)，設(shè)g（a）=a﹣1﹣alna，求出導(dǎo)數(shù)，然后求解最小值，推出a的取值范圍．（III）設(shè)函數(shù)通過（1）當(dāng)x≤0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，（2）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)，構(gòu)造設(shè)h（x）=ex﹣x，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果．【解答】（本題滿分14分）解：（I）?（x）=ex﹣1﹣x，?'（x）=ex﹣1x＜0時(shí)，?'（x）＜0．?（x）遞減；x＞0時(shí)，?'（x）＞0，?（x）遞增?（x）min=?（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）φ'（x）=ex﹣a若a≤0，φ'（x）=ex﹣a＞0，φ（x）在R上遞增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）上沒有零點(diǎn)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（﹣∞，lna）↓，（lna，+∞）↑，所以φ（x）min=φ（lna）=a﹣1﹣alna﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當(dāng)0＜a≤1時(shí)，極值點(diǎn)x0=lna≤0，又φ（0）=0，?（x）在（0，+∞）無零點(diǎn)當(dāng)a＞1時(shí)，極值點(diǎn)x0=lna＞0，設(shè)g（a）=a﹣1﹣alnag'（a）=﹣lna＜0，g（a）在（1，+∞）上遞減，∴φ（x）min=g（a）＜g（1）=0﹣﹣﹣﹣φ（2a）=e2a﹣1﹣2a2∴φ'（2a）=2e2a﹣4a=2（e2a﹣2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上遞增所以φ（2a）＞