福建省泉州市南僑高級(jí)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

福建省泉州市南僑高級(jí)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（

）A.4

B.5

C.7

D.參考答案：D略2.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)重合，則橢圓的離心率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.若動(dòng)圓C的圓心在拋物線上，且與直線相切，則動(dòng)圓C必過一個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A.(1,0) B.(2,0) C.(0,1) D.(0,2)參考答案：A【分析】直線為的準(zhǔn)線，圓心在該拋物線上，且與直線相切，則圓心到準(zhǔn)線的距離即為半徑，那么根據(jù)拋物線的定義可知定點(diǎn)坐標(biāo)為拋物線焦點(diǎn).【詳解】由題得，圓心在上，它到直線的距離為圓的半徑，為的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可知，圓心到準(zhǔn)線的距離等于其到拋物線焦點(diǎn)的距離，故動(dòng)圓C必過的定點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)，即點(diǎn)(1,0)，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.5.武漢市2016年各月的平均氣溫（℃）數(shù)據(jù)的莖葉圖，如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）A．21 B．22 C．23 D．24參考答案：B由莖葉圖可得這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為4,8，12,15,18,21,23,23,23,28,33,34，共12個(gè)，其中第6個(gè)、第7個(gè)數(shù)分別為21,23，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為22。選B。

6.已知平面向量、、滿足＜，＞=60°，且{||，||，||}={1，2，3}，則||的最大值是(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】向量的模．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意可知，當(dāng)和+同向時(shí)，||有最大值，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算得到||2=||2+||2+||||，分別令||∈{1，2，3}，求出值，再比較大小即可．【解答】解：平面向量、、滿足＜，＞=60°，當(dāng)和+同向時(shí)，||有最大值，∴||max=||+||，∵||2=||2+||2+2=||2+||2+2||||cos60°=||2+||2+||||，當(dāng)||=1時(shí)，∴||2=4+9+6=19，∴||=1+，當(dāng)||=2時(shí)，∴||2=1+9+3=13，∴||=2+，當(dāng)||=3時(shí)，∴||2=1+4+2=7，∴||=3+，∵3+＞2+＞1+，||的最大值是3+．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵得到當(dāng)和+同向時(shí)，||有最大值，屬于中檔題．7.設(shè)點(diǎn)F1、F2是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以O(shè)為圓心，|F1F2|為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)M（第一象限）．若過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足恰為線段OF2的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A．﹣1 B． C．+1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意M的坐標(biāo)為M（，），代入雙曲線方程可得e的方程，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意點(diǎn)F1、F2是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以O(shè)為圓心，|F1F2|為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)M（第一象限）．若過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足恰為線段OF2的中點(diǎn)，△OMF2是正三角形，M的坐標(biāo)為M（，），代入雙曲線方程可得﹣=1∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故選：C．8.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+（n+3）=時(shí)，第一步驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（）A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4參考答案：D【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】由等式，當(dāng)n=1時(shí)，n+3=4，而等式左邊起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和，由此易得答案．【解答】解：在等式中，當(dāng)n=1時(shí)，n+3=4，而等式左邊起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和，故n=1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)為：1+2+3+4故選D．9.如果命題“”為假命題，則A.均為真命題

B.均為假命題

C.至少有一個(gè)為真命題

D.中至多有一個(gè)為真命題參考答案：C略10.設(shè)（x+1）（2x+1）10=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，則a1+a2+a3+…+a11的值是（）A．-310 B．0 C．310 D．510參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)在的最大值為3，最小值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：12.設(shè)，則的最小值為___________.參考答案：13.拋物線的準(zhǔn)線方程是

;參考答案：14.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為

參考答案：6略15.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第

象限．參考答案：四【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：===1﹣i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限．故答案為：四．16.對(duì)于曲線C∶=1，給出下面四個(gè)命題：①曲線C不可能表示橢圓；

②當(dāng)1＜k＜4時(shí)，曲線C表示橢圓；③若曲線C表示雙曲線，則k＜1或k＞4;④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1＜k＜其中所有正確命題的序號(hào)為______

______.參考答案：③④17.已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，若則的值為_______參考答案：110.由題意可得：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..某廠生產(chǎn)A產(chǎn)品的產(chǎn)量x（件）與相應(yīng)的耗電量y（度）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：x23456y23578

經(jīng)計(jì)算：，.(1)計(jì)算的相關(guān)系數(shù)；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)生產(chǎn)10件產(chǎn)品所耗電的度數(shù).附：相關(guān)系數(shù)，，.參考答案：(1)0.99(2)；14.6度【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求解出，和，將數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)的公式求得結(jié)果；（2）將數(shù)據(jù)代入公式即可求出回歸直線，將代入回歸直線即可求得預(yù)測(cè)值，即耗電的度數(shù).【詳解】（1）從表中數(shù)據(jù)可知：，

（2）由題意知：線性回歸方程為根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)，當(dāng)生產(chǎn)件產(chǎn)品時(shí)，消耗的電量度數(shù)為：（度）【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解、最小二乘法求解回歸直線、根據(jù)回歸直線求解預(yù)測(cè)值的問題，屬于常規(guī)題型.19.已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（﹣1，0）和（1，0），離心率e=．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)P（，0），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由條件知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c=1，由離心率e=，求出a，再根據(jù)b2=a2﹣c2，求出b，從而寫出橢圓方程；（Ⅱ）聯(lián)立直線l和橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理得到m2＜1+2k2，x1+x2=，再根據(jù)l經(jīng)過中點(diǎn)D，求出D的坐標(biāo)，設(shè)出中垂線方程，代入D的坐標(biāo)，再結(jié)合m2＜1+2k2，解不等式即可得到k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由已知橢圓的焦點(diǎn)x軸上，c=1，，∴a=，b2=a2﹣c2=1，∴橢圓E的方程為：；（Ⅱ），消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，可得m2＜1+2k2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，∴AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0=，AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0=kx0+m=，∴AB的中點(diǎn)D（﹣，），設(shè)AB中垂線l′的方程為：y=﹣（x﹣），∵D在l'上，∴D點(diǎn)坐標(biāo)代入l′的方程可得，m=，將m2＜1+2k2代入解得，k＞或k＜﹣，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣）∪（）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)：離心率，同時(shí)考查直線與橢圓相交的位置關(guān)系，注意聯(lián)立方程，消去一個(gè)未知數(shù)，運(yùn)用二次方程的韋達(dá)定理，注意判別式必須大于0．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．（Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；（Ⅱ）證明：對(duì)任意k，都有PA⊥PB．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；參數(shù)法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由題意，聯(lián)立方程，從而解出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線方程即距離；（Ⅱ）利用參數(shù)法設(shè)P（2sinα，cosα）（0＜α＜），A（﹣2sinα，﹣cosα），C（2sinα，0），B（2sinβ，cosβ）（0＜β＜），從而利用向量法表示=（4sinα，cosα），=（2sinβ﹣2sinα，cosβ），=（4sinα，2cosα），=（2sinβ﹣2sinα，cosβ﹣cosα），從而利用平面向量及三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，直線PA的方程為y=2x，，解得，或；故A（﹣，﹣），P（，），C（，0）；故直線AB的斜率k==1，故直線AB的方程為y=x﹣，故點(diǎn)P到直線AB的距離d==．（Ⅱ）證明：由題意，設(shè)P（2sinα，cosα）（0＜α＜），則A（﹣2sinα，﹣cosα），C（2sinα，0），設(shè)B（2sinβ，cosβ）（0＜β＜），∴=（4sinα，cosα），=（2sinβ﹣2sinα，cosβ），∵A、C、B三點(diǎn)共線，∴4sinα?cosβ﹣cosα（2sinβ﹣2sinα）=0，即2sinαcosβ﹣cosαsinβ=sinαcosα，①∵=（4sinα，2cosα），=（2sinβ﹣2sinα，cosβ﹣cosα），∴?=4sinα?（2sinβ﹣2sinα）+2cosα（cosβ﹣cosα），=4（2sinαsinβ﹣2sin2α+cosαcosβ﹣cos2α），令2sinαsinβ﹣2sin2α+cosαcosβ﹣cos2α=t，則2sinαsinβ+cosαcosβ=1+t+sin2α，②①2+②2得，（2sinαcosβ﹣cosαsinβ）2+（2sinαsinβ+cosαcosβ）2=（sinαcosα）2+（1+t+sin2α）2，即4sin2αcos2β+cos2αsin2β+4sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2α+（1+t）2+2（1+t）sin2α+sin4α，即4sin2α+cos2α=sin2αcos2α+（1+t）2+2（1+t）sin2α+sin4α，即3sin2α+1=sin2α（1﹣sin2α）+（1+t）2+2（1+t）sin2α+sin4α，即3sin2α+1=sin2α+（1+t）2+2（1+t）sin2α，即2tsin2α+（1+t）2=1，故t=0或t=﹣2sin2α﹣2，當(dāng)t=﹣2sin2α﹣2時(shí)，?=4（﹣2sin2α﹣2），此時(shí)A與B點(diǎn)重合，故不成立；故?=4t=0，故PA⊥PB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)考查了平面向量的應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用．21.（12分）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用有如下的統(tǒng)計(jì)資料

若由資料知對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）線性回歸方程（2）估計(jì)使用年限為年時(shí)，維修費(fèi)用大約是多少？參考公式：參考數(shù)據(jù)：4.4+11.4+22+32.5+42=112.3參考答案：（1），那么，回歸直線方程為（2）當(dāng)時(shí)，即使用年限為年時(shí)，維修費(fèi)用大約是萬元。22.1，4，9，16……