2019-2023年中考1年模擬數(shù)學(xué)真題分項匯編：17幾何壓軸題（全國通用）（解析版）

專題17幾何壓軸題

五年中考真題

考點1幾何壓軸題

一、單選題

1.(2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題)如圖，點/、B、C在同一條線上，點8在點4C之間，點。，E在直

線/C同側(cè)，AB<BC,4=NC=90。，LEAB當(dāng)4BCD,連接設(shè)"="，BC=b,DE=c,給出

下面三個結(jié)論：①a+b<c；②a+b>Ja2+b2；③&(a+6)>c；

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】如圖，過。作。尸_L/E于F,則四邊形/CD尸是矩形，則。尸=ZC=a+6,由。尸<Z)E,可得

a+b<c,進而可判斷①的正誤；由可得BE=8。，CD=AB=a,AE=BC=b,

NABE=NCDB,則/E8D=90。，△8CE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=AB1+AE2=y/a2+b2-

由4B+AE>BE,可得a+6>行不，進而可判斷②的正誤；由勾股定理得。爐=802+8爐，即

c2=2(a2+b2),則c=曰6+〃<?+b),進而可判斷③的正誤.

【詳解】解：如圖，過。作。尸_LZE于尸，則四邊形4co尸是矩形，

DF<DE,

：.a+b<c,①正確，故符合要求；

?；AEABHBCD,

/.BE=BD,CD=AB=a,AE=BC=b,/.ABE=/.CDB,

???/CBD+/CDB=90°,

：.NCBD+ZABE=90°,NEBD=90°,

△8DE是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BE=ylAB2+AE2=>Ja2+b2>

AB+AE>BE,

a+b>yja2+b2>②正確,故符合要求；

由勾股定理得。1=8。？+8E?，即=2（/+〃），

c=y[lxyja2+h2<V2（a+/?）,③正確，故符合要求；

故選：D.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性

質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

2.（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，把ABC以點工為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到V4OE,點5,C的對應(yīng)

點分別是點。，E,且點E在的延長線上，連接8D,則下列結(jié)論一定正確的是（）

D.CE=BD

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

可得=AC=AE,BC=DE,故B選項和D選項不符合題意,

ZABC=ZADE

2

???行1CE=ABC+BAC

:.任4CE=ADE+BAC,故C選項不符合題意，

行1C8=AED

??,行1C3=CAE+CEA

彳立ED=CEA+BED

■■]1CAE=BED,故A選項符合題意，

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角運用是解題的關(guān)鍵.

3.(2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題)如圖，直線4〃/菱形48co和等邊AEFG在小。之間，點/，尸分

別在4，4上，點8,D,E,G在同一直線上：若Na=50。，AADE=146°,則N〃=()

A.42°B.43°C.44°D.45°

【答案】C

【分析】如圖，由平角的定義求得180°-QADE=34°,由外角定理求得，Da-DADB=16°,

根據(jù)平行性質(zhì)，得DG/F=DAHD=16°,進而求得!)尸=QEGF-QGIF=44°.

【詳解】如圖，VZADE=\46°

：.f)ADB=1800-DADE=34°

,0ADB+,QAHD

：.DAHD=Da-DADB=50°-34°=16°

?：l,//l2

：.DGIF=DAHD=16°

DEGF=D^+DGIF

D〃=DEGF-DGIF=600-16=44°

故選：C.

3

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定

角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的

橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點尸,。,胡均為正六邊

形的頂點.若點P,。的坐標(biāo)分別為卜2百,3）,（0,-3）,則點用的坐標(biāo)為（）

【答案】A

【分析】連接尸尸，設(shè)正六邊形的邊長為a,由正六邊形的性質(zhì)及點尸的坐標(biāo)可求得〃的值，即可求得點"

的坐標(biāo).

【詳解】解：連接尸尸，如圖，設(shè)正六邊形的邊長為a,

???ZABC=120°,

：.ZABO=60°,

408=90°,

ZBAO=30°,

,cn1c”拒a

22

***AC=CE=V3a?OF=OB+BF=,

?.?點p的坐標(biāo)為卜2百,3),

.?.%,

4

即a=2；

/.OE=OC+CE==3^,EM=2,

2

.?.點”的坐標(biāo)為（36,-2）.

故選：A.

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)等知識，掌握

這些知識是解題的關(guān)鍵.

5.（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，。。是銳角三角形/8C的外接圓，

OD±AB,OE±BC,OF±AC,垂足分別為。，瓦尸，連接DE,EF,FD.若Z）E+。/=6.5,Z\/8C的周長為

21,則E尸的長為（）

A.8B.4C.3.5D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點。、E、P分別是BC、/C的中點，再由中位線的性質(zhì)及三角

形的周長求解即可.

【詳解】解：是銳角三角形/8C的外接圓，ODLAB,OELBC,OF，4C,

點。、E、F分別是4B、BC、/C的中點，

DF=-BC,DE=-AC,EF=-AB,

222

。￡+。尸=6.5,2\/8。的周長為21,

C8+C4+N8=21即2DF+2DE+2EF=21,

：.EF=4,

5

故選:B.

【點睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

6.（2023年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作NM4N的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列

結(jié)論不一定正確的是（）

A

A.AD=AEB.AD=DFC.DF=EFD.AF1DE

【答案】B

【分析】根據(jù)作圖可得及3F=￡7"進而逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得3==故A,C正確；

4尸在OE的垂直平分線上，

.?.肝，鹿，故D選項正確，

而。尸=￡尸不一定成立，故B選項錯誤，

故選：B.

【點睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.

7.（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形488中，AB=4,動點〃，N分別從點

A,8同時出發(fā)，沿射線射線8c的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接QM,MN,ND.設(shè)點

/運動的路程為x（04x44）,AOA/N的面積為S,下列圖像中能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

6

0]4X

SA

8C——B

D.

O]4x

【答案】A

【分析】先根據(jù)S=S”方形"CO-SLM-SV“W-SV/MW,求出S與x之間函數(shù)關(guān)系式，再判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：S=S正方形/BCD-SvADM-SvDCN-S\BMN'

=4x4-;x4x-；x4(4-x)-;x(4-x),

=-x2—2x+8,

2

1

=—(x—2)9'+6,

故S與x之間函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，圖像開口向上，x=2時，函數(shù)有最小值6,

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是求出S與x之間函數(shù)關(guān)系式，再

判斷S與x之間函數(shù)類型.

8.(2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題)已知在梯形/BCD中，連接NC,BD,且4CJ.BD,設(shè)/8=a,C￡>=6.下

列兩個說法：

①ZC=爭a+b);②AD=顯后而：

則下列說法正確的是()

A.①正確②錯誤B.①錯誤②正確C.①②均正確D.①②均錯誤

【答案】D

【分析】根據(jù)已知及結(jié)論，作出圖形，進而可知當(dāng)梯形熊CD為等腰梯形，即/。=8C,ABUCD忖,

①/C=4(a+b)；②AD=與底市,其余情況得不出這樣的結(jié)論，從而得到答案.

【詳解】解：過8作8E〃C4,交8c延長線于E,如圖所示：

7

若梯形腦。為等腰梯形，即=AB//CD

四邊形NCE8是平行四邊形，

/.CE—AB,AC=BE,

vAB//DCf

/DAB=ZCBA,

QAB=AB,

...△ZM8絲△CB力(SAS)

:.AC=BD,EPBD=BE,

XvAC1BD,

???BELBD,

在RtaBDE中，BD=BE,AB=a,CD=b,則QE=QC+CE=b+a,

:.AC=BE=^-=—-DE=~(a+b),此時①正確；

V22

過8作8尸_LDE于F,如圖所示：

A￡

廠

DFC七

BE,AB=a,CD=b,DE=b+a,貝=；￡>￡1=；(〃+6),

在RtZkSFC中，BD=

FC=FE-CE=g(a+6)一〃=；9_Q),

Ip—，2r--y2_

+3二。，此時②正確；

：.BC=yjBF2+FC2=

V222

而題中，梯形/t5co是否為等腰梯形，并未確定；內(nèi)弗開當(dāng)ABCD是4B//CD還是AD〃BC,并未確定,

???無法保證①②正確，

故選：D.

8

【點睛】本題考查梯形中求線段長，涉及梯形性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定性質(zhì)、

勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

9.（2023年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)真題）如圖中，ZACB=90°,AB=4,AC=x,ABAC=a,。為中

點，若點。為直線5C下方一點，且△38與相似，則下歹IJ結(jié)論：①若a=45。，8c與OD相交于E,

則點￡不一定是△48。的重心；②若a=60。，則力。的最大值為2近；③若a=60。,“8cs￡5。，則口）

的長為26；④若則當(dāng)x=2時，4C+CD取得最大值.其中正確的為（）

C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出△形。的重心，即可求解；當(dāng)夕=60。，BDLBC時，4。取

得最大值，進而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得力。的長，即可求解;③如圖5,若a=60。，

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得CZ）=JLGE=DF=B,CF=J進而求得O￡>,即可求解；④如圖6,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出COMJBC?,在RtA4BC中，8c2=16-，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求/1C+C。

取得最大值時，x=2.

【詳解】①有3種情況，如圖1,8c和OD都是中線，點E是重心：

如圖2,四邊形N8OC是平行四邊形，尸是力。中點，點E是重心；

如圖3,點尸不是中點，所以點E不是重心；

①正確

②當(dāng)a=60。，如圖4時/O最大，/8=4,

9

AC=BE=2,BC=AE=26，BD=y^BC=6,

DE=8?

AD=2A/19*277,

③如圖5,若a=60。，AABCS^CBD,

：.Z.BCD=60°,/CD8=90。，N8=4,AC=2,BC=243,OE=6CE=\,

:.CD=0GE=DF=*,。/=|，

：.EF=￡)G=2,OG=—,

22

/.OD=y/l#2粗,

.?.③錯誤；

④如圖6,AABCs^BCD,

.CDBC

1,

即CD=±8。2,

4

在RtzMBC中，BC2=\6-X2,

8=：06-n=-$2+4,

I,|,

AC+CD=x——X2+4=——(X-2)2+5,

44

當(dāng)x=2時，NC+CD最大為5,

...④正確.

故選：C.

10

【點睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫

出圖形是解題的關(guān)鍵.

10.（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在A/8C中，。是邊8c上的點（不與點8,C重合）.過

點D作DE〃AB交AC于點、E；過點。作。/〃ZC交月B于點尸.N是線段8尸上的點，BN=2NF；M

是線段OE上的點，DM=2ME.若已知ACMN的面積，則一定能求出（）

A.△XFE的面積B.VSOF的面積

C.4可的面積D.△/）（%的面積

【答案】D

【分析】如圖所示，連接皿證明皿皿,得出而飛，由已知得出府=而,則言二話

又2NFD=2MEC,則ANFD~AMEC,進而得出NMCD=NN08,可得MC〃ND,結(jié)合題意得出

S^EMC=]SgMC=2SdMNC，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接ND,

■:DE〃AB,DF//AC,

:./ECD=/FDB,/FBD=/EDC,4BFD=/A,ZA=DEC.

：“FBDfEDC,ZNFD=AMEC.

.FBFD

??=.

EDEC

?；DM=2ME,BN=2NF,

:?NF=、BF,ME=-DE

33

.NFBF

??蕨一法?

11

.FDNF

又丁匕NFD=4MEC,

：.?NFDfMEC.

：.NECM=4FDN.

???ZFDB=ZECD

：./MCD=/NDB.

：.MC//ND.

??,qQ4MNC——va.MDC?

?；DM=2ME,

?c—!S_J_Q

,?3EMC_2“AOMC_2.

?SqCE=S4EMC+S4DMC'

.13

,?S^DCE=,SAMNC+ShMNC=3S&MNC?

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定和性

質(zhì)，等面積轉(zhuǎn)換.

11.（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，E是線段相上一點，V4O￡和是位于直線48同側(cè)的兩個等

邊三角形，點P1分別是CQ,48的中點.若4B=4,則下列結(jié)論簿送的是（）

A.尸彳+尸3的最小值為B.PE+P/的最小值為26

C.△C0E周長的最小值為6D.四邊形/8CD面積的最小值為3G

【答案】A

【分析】延長8C,則是等邊三角形，觀察選項都是求最小時，進而得出當(dāng)E點與尸重合時，則

。，尸，尸三點共線，各項都取得最小值，得出B,C,D選項正確，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

12

0

延長

依題意NQAD=NQBA=60°

；?是等邊三角形，

是C3的中點，

，PD=PC,

'：NDEA=NCBA,

J.ED//CQ

：.APQC=APED,ZPCQ=ZPDE,

...4PDE%PCQ

：.PQ=PE,

四邊形DECQ是平行四邊形，

則P為E。的中點

如圖所示，

設(shè)X。,80的中點分別為G,4,

...當(dāng)E點在48上運動時，P在G”上運動，

當(dāng)瓦點與尸重合時，即/E=EB,

則0,尸,尸三點共線，尸尸取得最小值，止匕時NE=E8=；(/E+E8)=2,

13

則AADE絲/\ECB,

C,。到48的距離相等,

則CD//AB,

PF=—AD=4i

2

此時VXOE和ABCE的邊長都為2,則“尸,尸8最小,

A=—X2=73,

2

/.PA=PB=J2?+(石『=V7

/.P4+PB=2幣,

或者如圖所示，作點8關(guān)于G〃對稱點8',則=則當(dāng)4P,8'三點共線時，AP+PB=AB'

此時AB'=y]AB2+BB'="+(2抬'丫=2"

故A選項錯誤,

根據(jù)題意可得尸,。,尸三點共線時，PF最小，此時尸￡=尸尸=6，則PE+尸產(chǎn)=2退，故B選項正確;

ACDEl^^:^CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4,

即當(dāng)CD最小時，△CDE1周長最小，

如圖所示，作平行四邊形GDM”,連接CM,

?.?ZGHQ=60°,ZGHM=NGDM=60°,則ZCHM=120°

如圖，延長DE,HG,交于點N,

則NNGD=NQGH=60。,/NDG=/ADE=60°

14

???△NG。是等邊三角形，

JND=GD=HM,

在ANPD與AHPC中,

NNPD=ZHPC

?ZN=ZCHP=60°

PD=PC

：.ANPDAHPC

：.ND=CH

：.CH=MH

：.ZHCM=ZHMC=30°

：.CM//QF,則CA/_LZ)M,

???△DWC是直角三角形，

在4DCM中，DC>DM

當(dāng)。C=￡>河時，0c最短，DC=GH=；AB=2

'：CD=PC+2PC

ACDE周長的最小值為2+2+2=6,故C選項正確;

,?ANPDAHPC

...四邊形MCD面積等于S,ADK+邑皿?+S.o&c=S“DE+平行四邊NEBH

???當(dāng)△8GQ的面積為0時，取得最小值，此時，QG重合，C,"重合

15

...四邊形48co面積的最小值為3x41x22=36,故D選項正確，

4

故選：A.

【點睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)E

點與F重合時得出最小值是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?江蘇南京?統(tǒng)考中考真題）直三棱柱的表面展開圖如圖所示，AC=3,BC=4,AB=5,四邊形

是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點中，與點C距離最大的是（）

A.點MB.點NC.點PD.點。

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定“8C是直角三角形，折疊成直三棱柱后，運用勾股定理計算比較大小

即可.

【詳解】VAC=3,BC=4,AB=5,

，32+42=52,

/.25c是直角三角形，

?.?四邊形ZMN8是正方形，將其折疊成直三棱柱，

，直棱柱的高/M=/8=5,

CMZAC、AM2="+52=南,CN=RBC2+BM="2+52=標(biāo)，CP=舟，CQ=AM=5,

:標(biāo)＞后＞岳，

.?.選B.

【點睛】本題考查了幾何體的展開與折疊，勾股定理及其逆定理，熟練掌握展開圖與折疊的意義是解題的

關(guān)鍵.

13.（2021?四川甘孜?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線4〃4〃/3,直線。、b與J4、％分別交于點A、B、C

和點。、E、F,若襤:5C=2:3,EF=9,則OE的長是（）

16

a

D

A.4B.7C.6D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出48：BC=DE：EF,再求出答案即可.

【詳解】解：???//〃/2〃/3，

BC=DE：EF,

9：AB：BC=2：3,EF=9,

：.2：3=DE：EF,

:?DE=6.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解題

的關(guān)鍵.

14.（2020?廣西賀州?統(tǒng)考中考真題）如圖，將兩個完全相同的心△/CB和RtZUC?拼在一起，其中點4

與點8重合，點。在邊力8上，連接夕C,若N/8C=N/0C=30。，AC=A'C'=2,則夕C的長為（）

A.24B.4近C.2拒D.4也

【答案】A

【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得N8=4,H9=4,N8kC'=60。，再根據(jù)勾股定理和角的和差可得

17

BC=2y/3,ZB'BC=90°,最后在8c中，利用勾股定理即可得.

【詳解】解：ZACB=ZA'C'B'=90°,ZABC=ZA'B'C=30°,AC=A'C=2,

AB=4,A'B'=4,ZB'A'C'=60°,

BC=>JAB2-AC2=273，NB'BC=NABC+NB'A'C'=90°,

則在RtAB'BC中，B'C=yjBC2+B'B-=收回+甲=2幣，

故選：A.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握含30度角的直角三角

形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.（2019?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形48co中,AB//DC，“DC=90。，AB=5,CD=AD=3,

點E是線段CO的三等分點，且靠近點C,NFEG的兩邊與線段分別交于點尸、G,連接ZC分別交所、

3

EG于點、H、K.若8G=5,NFEG=45“，則〃K=()

1372

6

【答案】B

【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出4C的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到穿=處=9,從而

AKKG7

求得CK的長，過E作力8于"，則四邊形/DEM是矩形，可得田0、力A/的長，進一步由勾股定理

可求出EG的長，進而求得EK的長，然后根據(jù)AHEK:MCE可得H笠F的值，再由相似三角形的性質(zhì)列方

HK

程即可求得結(jié)果.

【詳解】解：CD=AD=3,：.屁=3日

37

VAB=5,BG=—,AG——

22

*.*ABHDC,bCEK\\AGK,-=

AGAKKG

二=生=曳,CKEK2

AKKG，??衣=同=亍

CK+AK=3,\/2?CK———■

3

18

過E作EM_L48于則四邊形ZDEN是矩形,

3

EM=AD=3,AM=DE=2,MG=—,

2

???EG7EM?+MG?=^-，

2

..EK_2V5

,-..EK=—，

,/NHEK=Z.KCE=45°,4EHK=/CHE,

HEEC1_3

AHC￡,???加一次一正一瓦

T

?,?設(shè)HE=3x,HK=下x,

.EHHK

,/\HEK:\HCE,??一，

HCEH

3x_亞x

??,HK*

???底+2加-工，解得:

故選B.

【點睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì),

熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

16.（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，0/是。。的半徑，8c是0。的弦，O4LBC于點D,/E是。。

的切線，HE交0c的延長線于點￡若40C=45。，BC=2,則線段HE的長為.

【答案】V2

19

【分析】根據(jù)O/L8C,得出/ODC=90。，DC=-BC=\,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出

2

0C=6DC=五,即0/=0C=應(yīng)，根據(jù)NaiE=90。，4OC=45。，得出△/0E為等腰直角三角形，

即可得出4￡=0/=啦.

【詳解】解：：QI_L8C,

AZOZ）C=90°,DC=-BC=\.

2

,/4OC=45。，

...AODC為等腰直角三角形，

OC=五DC=亞，

?*-OA=OC=41-

,//E是O。的切線，

NO/E=90。，

ZAOC=45°,

.?.△ZOE為等腰直角三角形，

AE-OA-y/2?

故答案為：V2.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

垂徑定理，得出OC=；8c=1.

17.（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形/8C內(nèi)接于

20

(2)若點力在圓上，相與C。相交于點P.請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點。，使ACP。

為等邊三角形，并簡要說明點。的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】(1)厲

(2)畫圖見解析；如圖，取與網(wǎng)格線的交點E,F,連接功并延長與網(wǎng)格線相交于點G;連接QB與

網(wǎng)格線相交于點，，連接〃尸并延長與網(wǎng)格線相交于點/,連接//并延長與圓相交于點K,連接CK并延長

與G8的延長線相交于點0,則點0即為所求

【分析】(1)在網(wǎng)格中用勾股定理求解即可；

(2)取ZC/8與網(wǎng)格線的交點￡,F,連接跖并延長與網(wǎng)格線相交于點M,連接“8；連接08與網(wǎng)格線

相交于點G,連接G尸并延長與網(wǎng)格線相交于點從連接Z4并延長與圓相交于點/,連接C/并延長與河8的

延長線相交于點。，則點。即為所求，連接尸。，AD,BK,過點E作網(wǎng)格線，過點G作65_1網(wǎng)格線,

由圖可得合RtABZ,F(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得RtdMFSRt"WF(ASA)和“//合AB//F(SAS),根

據(jù)同弧所對圓周角相等可得筋=詼，進而得到Zl=Z2和NPCQ=60。,再通過證明ACP雪ACSQ(ASA)即可

得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：AB=y/22+52=>/29；

故答案為：V29.

(2)解：如圖，取力。,48與網(wǎng)格線的交點E,F,連接防并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接。B與網(wǎng)格線

相交于點〃，連接//尸并延長與網(wǎng)格線相交于點/,連接4并延長與圓相交于點K,連接CK并延長與G8的

延長線相交于點Q,則點Q即為所求；

連接P。，AD,BK,過點￡作E71網(wǎng)格線，過點G作GSL網(wǎng)格線，

21

由圖可得：Z.AJF=Z.BLF,Z.AFJ=Z.BFL,AJ=BL,

：.RUAJF堂RLBLE(AAS),

:?FJ=FL,AF=BFf

*/MJ=NL,

:,FJ-MJ=FL-NL,BPFM=FN,

?.*/IMF=Z.HNF,〃FM=NHFN,

...RU/MFRtAH^F(ASA),

JFI=FH,

'：NAFI=4BFH,AF=BF,

.??AJZF^/ZF(SAS),

/.NFAI=Z.FBH,

?AD=-BK，

.Z1=Z2,

,是等邊三角形，

.ZACB=60°f即N1+NPCB=60°,

,N2+NPCB=60°,即ZPCQ=60°,

,ET=GS,Z￡TF=Z.GSF,Z.EFT=Z.GFS,

.RUETF聾RtAG5F(AAS),

?EF=GF,

'AF=BF,ZAFE=/BFG,

22

..."FE空ABFG（SAS）,

/EAF=/GBF,

：.ZGBF=NEAF=Z.CBA=60°,

.../CBQ=180°-Z.CBA-4GBF=60°,

??.NCBQ=NCAB,

■:CA=CB,

；.^CAP^CBQ（ASA）,

：.CQ=CPf

?.?ZPCQ=60°,

.?.△PC。是等邊三角形，此時點。即為所求；

故答案為：如圖，取與網(wǎng)格線的交點E,F,連接即并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接05與網(wǎng)格

線相交于點“，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點/,連接4并延長與圓相交于點K,連接CK并延長與GB

的延長線相交于點。，則點。即為所求.

【點睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，勾股定理、等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解

題關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵.

18.（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1,正六邊

形邊長為2且各有一個頂點在直線/上，兩側(cè)螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2,

其中，中間正六邊形的一邊與直線/平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個頂點.則圖2中

（1）Za=度.

（2）中間正六邊形的中心到直線/的距離為（結(jié)果保留根號）.

【答案】30273

【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解；

（2）表問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，首先作圖，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線/的距離轉(zhuǎn)化為求

ON=OM+BE,再根據(jù)正六邊形的特征及利用勾股定理及三角函數(shù)，分別求出即可求解.

【詳解】解：（1）作圖如下：

23

圖2

根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線/平行及多邊形外角和，得NN5C=60。,

乙1=/4=90。-60。=30°,

故答案為：30；

(2)取中間正六邊形的中心為O,作如下圖形，

圖2

由題意得：AG//BF,AB//GF,BFLAB,

四邊形ZBWG為矩形，

AB=GF,

ABAC=NFGH,NABC=NGFH=90c,

Rt"8c絲RtAGf7/(SAS),

BC=FH,

在Rt△尸DE中，DE=l,PE=43,

由圖1知AG=BF=2PE=2。

由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知：OAf=lx2V3=V3,

2

-/BC=-(BF-CH)=y/3-1,

BC

=3

tanZ.BAC專一

3

:.BD=2-AB=6-1,

又?:DE=-x2=\,

2

24

:.BE=BD+DE=“,

ON=0M+BE=2不

故答案為：2G.

【點睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質(zhì)，解

直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的結(jié)構(gòu)特征.

19.（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形/5CD中，NBCD=9Q°,對角線4C,8。相交于點O.若

AB=AC=5,BC=6,NADB=2NCBD,則/。的長為

【分析】過點Z作，8c于點，，延長，8c交于點E,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出=；8c=3,

根據(jù)勾股定理求出/”=〃C2_C〃2=4,證明NC80=NCED,得出。8=根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出

mQ

CE=BC=6,證明?！ㄋ贸龆?應(yīng)，求出。=晨根據(jù)勾股定理求出

DECE2"^

DE=yjCE2+CD2根據(jù)CD〃力才，得出不=為，即：_6,求出結(jié)果即可.

AD（,H--------=—

【詳解】解：過點力作力”，8c于點，，延長力。，BC交于點、E,如圖所示:

則N4HC=ZAHB=90°,

'：AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC==BC=3,

2

?*,AH—AC2—CH2—4，

■:NADB=4CBD+ZCED,Z.ADB=2ZCBD,

25

???/CBD=/CED,

：.DB=DE,

???ZBCD=90°,

.??DC上BE,

:?CE=BC=6,

：?EH=CE+CH=9,

■:DCJLBE,AHIBC,

：.CD//AHf

：.^ECDfEHA,

.CDCE

.?----=-----,

AHHE

CD6

即an——=一,

49

Q

解得：CD=^,

：.DE=y/CE2+CD2=卜?,

??,CD//AH,

.DECE

??布一而‘

2質(zhì)

即36,

AD-3

解得：AD=^~.

3

故答案為：叵.

3

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例,

相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理

及相似三角形的判定與性質(zhì).

20.（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，4c是正五邊形/88E的對角線，力。與CE相交

于點F.下列結(jié)論：

①CF平分//CD；（2）AF=2DF；③四邊形是菱形；@AB2=AD-EF

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

26

A

【答案】①③④

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出各角及各邊之間的關(guān)系，然后由各角之間的關(guān)系及相似三角形的判定和

性質(zhì)，菱形的判定依次證明即可.

【詳解】解：①???正五邊形H8CDE,

二/ABC=/BCD=NCDE=/DEA=儂鄧一”=108o；AB=BC=CD=DE=AE,

5

1QAO_1noo

Z.NBAC=NBCA=NDAE=ZADE=NDCE=ZCED="=36°,

2

???ZACE=\08°-NBCA-NDCE=36°=NDCE,

???Cb平分//CD；正確；

（2）VZACE=ZDEC=36°,ADFE=ZAFC,

.??ADEFS"CF,

.DF_DE

^~AF~~AC"

,:DE=AB2AB>AC,

.DF1

??---H—,

AF2

即4尸—2。尸，故②錯誤；

③ABAC=ZACE,ZABC+ZBAD=108°+36°+36°=180°,

Z.BC//AD,AB//CE,

...四邊形ABCF是平行四邊形，

AB=BC,

四邊形/8CF是菱形；正確；

（4）,/NCED=NDAE=36°,ZEDF=ZADE,

/^DEF^Z\DAE,

.DEEF

.?----------,

ADAE

：.EDAE^ADEF,AB2=AD-EF正確;

故答案為：①③④.

27

【點睛】題目主要考查正多邊形的性質(zhì)及相似三角形、菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握運用這些知識點是解

題關(guān)鍵.

21.（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形襤CD中，AB=3,延長8c至E,使CE=2,

連接4E,CF平分/DCE交AE于F,連接。尸，則OF的長為.

【分析】如圖，過尸作尸于FNLCD于N,由CF平分NDCE,可知NFCM=NFCN=45。,

可得四邊形。WFN是正方形，F(xiàn)M//AB,設(shè)FM=CM=NF=CN=a,貝iJ〃E=2-a,證明A￡74/SAE48,

則2=空，即?;女，解得4=：，DN=CD-CNt，由勾股定理得z）F=j￡W2M72,計算求

ABBE33+244

解即可.

【詳解】解：如圖，過尸作于"，F(xiàn)NLCD于■N,則四邊形CA/EV是矩形，F(xiàn)M//AB,

,:CF平分NDCE,

：.4FCM=4FCN=45°,

：.CM=FM,

：.四邊形CMFN是正方形，

設(shè)FM=CM=NF=CN=a,貝ljME=2-a,

FM//AB,

:?AEFMS^EAB,

.FMMEa2-a3

??一,I*nJn-解得”“

ABBE33+2

9

???DN=CD—CN=—,

4