福建省福州西岸教育2024屆高考藝術(shù)生文化補(bǔ)習(xí)模擬測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

屆高考文補(bǔ)集訓(xùn)模擬測(cè)試卷（二）數(shù)學(xué)（滿分150分，時(shí)120分鐘）班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：______________姓名：______________成績(jī)：______________一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為3，則等于（

）A． B． C． D．4．實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知正三棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為6和12，且棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．6．若O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形7．已知m、n是兩條不同直線，、、是三個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．2023年10月23日，杭州亞運(yùn)會(huì)歷時(shí)16天圓滿結(jié)束.亞運(yùn)會(huì)結(jié)束后，甲?乙?丙?丁?戊五名同學(xué)排成一排合影留念，其中甲?乙均不能站左端，且甲?丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為B．“”是“直線與直線平行”的充要條件C．若正數(shù)a，b滿足，且，則D．已知為兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，若，則10．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則（

）A．常數(shù)數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．為遞減數(shù)列 D．是等差數(shù)列11．在三棱錐中，已知，棱AC，BC，AD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，，則（

）A．過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面是菱形B．平面平面BCDC．異面直線AC，BD互相垂直D．三棱錐外接球的表面積為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)．13．已知，若，則．14．的最小值為，已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．四、解答題15．（13分）已知函數(shù)的最小正周期為8．(1)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)若，且，求的值．16．（15分）己知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)從中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)……第項(xiàng)，按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，點(diǎn)分別在線段和的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；18．（17分）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為.當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與、不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，求的最大值.19．（17分）已知函數(shù)是大于0的常數(shù)，記曲線在點(diǎn)處的切線為在軸上的截距為.(1)若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.2024屆高考文補(bǔ)集訓(xùn)模擬測(cè)試卷（二）數(shù)學(xué)參考答案一、單選題1．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，根據(jù)陰影部分可求答案.【詳解】由題意圖中陰影部分為，而，，所以.故選：B.2．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)、虛部的概念即可求解.【詳解】由題意，所以的虛部為.故選：D.3．【答案】B【分析】根據(jù)基本量法求出和q，然后由求和公式可得.【詳解】記等比數(shù)列的公比為，由題可知，，即，解得或（舍去），所以.故選：B4．【答案】D【分析】用已知條件消元后用基本不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)故選：D．5．【答案】C【分析】利用正三棱臺(tái)的幾何特征求出棱臺(tái)的高，再求出上下底面積，利用棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】由題意可知正三棱臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，設(shè)中點(diǎn)為，為下、上底面中心，連接，過作底面交于，由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以為棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，即，因?yàn)?，，所以，，所以此三棱臺(tái)的體積，故選：C6．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可以得出，進(jìn)而得到，由此可判斷出的形狀.【詳解】∵，，∴，兩邊平方，化簡(jiǎn)得∴.∴為直角三角形.因?yàn)椴灰欢ǖ扔冢圆灰欢榈妊苯侨切?故選：D.7．【答案】D【分析】利用長(zhǎng)方體中線面的關(guān)系，逐一確定各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：令平面為平面，為直線，為直線，有：，，但，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：令平面為平面，令平面為平面，令平面為平面，有：，，而，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：令平面為平面，令平面為平面，為直線，有：，，則，而，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：垂直與同一平面的兩直線一定平行，D正確.故選：D8．【答案】C【分析】分類當(dāng)丙站在左端時(shí)及丙不站在左端時(shí)的情況計(jì)算即可得.【詳解】由題意可知，當(dāng)丙站在左端時(shí)，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí)，有種站法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，一共有種不同的站法.故選：C.二、多選題9．【答案】CD【分析】利用投影向量的求法可判定A的正誤，利用直線平行的條件可得B的正誤，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及基本不等式可得C的正誤，根據(jù)空間位置關(guān)系可得D的正誤.【詳解】對(duì)于A，向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，A不正確.對(duì)于B，直線與直線平行，則有且，解得或，所以“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，B不正確.對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋缘忍?hào)不成立，故，C正確.對(duì)于D，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，D正確.故選：CD.10．【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知：，因?yàn)閿?shù)列也是等比數(shù)列，因此有，顯然既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，符合題意，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可知，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，且，可得，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，可得，根?jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的性質(zhì)可以判斷數(shù)列為遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋詳?shù)列是不為零的常數(shù)列，所以它是等差數(shù)列，故D正確；故選：ABD11．【答案】ABD【分析】A項(xiàng)，利用中位線證明平行關(guān)系與長(zhǎng)度關(guān)系得四邊形為菱形；B項(xiàng)，取CD的中點(diǎn)P，由勾股定理證明，由等腰三角形三線合一得，由線線垂直證線面垂直再證面面垂直即可；C項(xiàng)，假設(shè)垂直推證，由斜邊與直角邊關(guān)系可推出矛盾；D項(xiàng)，取的中心，由面面垂直性質(zhì)定理得線面垂直關(guān)系，由勾股定理得，利用球心到各頂點(diǎn)距離相等可得正三角形的中心即為球心.【詳解】選項(xiàng)A，如圖，連接EF，EG，取BD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，由F是BC的中點(diǎn)，得，，同理得，，所以，，四邊形EFHG是平行四邊形，于是過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面即為四邊形EFHG，且由E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，得，，因此，所以四邊形EFHG為菱形，故A正確；選項(xiàng)B，取CD的中點(diǎn)P，連接，由，得，由，得，又，所以，所以，又，，又平面BCD，所以平面BCD，又平面ADC，所以平面平面BCD，故B正確；選項(xiàng)C，假設(shè)，已知，且平面，所以平面，而平面，所以，所以，這與已知“”矛盾，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，取正三角形的中心，連接，則，由于是直角三角形，CD為斜邊，則，由平面平面BCD，平面平面，由，且平面，所以平面，所以，則，所以的外心就是三棱錐的外接球球心，所以外接球半徑R就是的外接圓半徑，可知，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題12．【答案】-2【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到（1+t,1）,,再由向量平行的坐標(biāo)表示得到結(jié)果.【詳解】向量，，（1+t,1）,,根據(jù)得到：（1+t）=1-t解得t=-2.故答案為-2.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量的坐標(biāo)表示，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，和向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，題目較為基礎(chǔ).13．【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再用倍角公式求值.【詳解】由，得，∴.故答案為：14．【答案】【分析】分式先分離常數(shù)，再應(yīng)用基本不等式的乘“1”法；第2式，先應(yīng)用配湊法，再應(yīng)用乘“1”法即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為.由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，又，則時(shí)，的最小值為.故答案為：；.四、解答題15．【答案】(1)(2)【分析】（1）用倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由最小正周期求出，整體代入法求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由，得，，利用兩角和的正弦公式計(jì)算.【詳解】（1），由題意，得：，所以，所以，由，得：所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．（2）由，得：，所以，因?yàn)椋?，所以，所以?6．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，，代入可得，化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論；（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)積為，所以，又因?yàn)椋?，化?jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，，解得：，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2.（2）由（1）可得,所以，故，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①②①②可得：化簡(jiǎn)可得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和17．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)已知條件證明四邊形是矩形，接著證明平面，又，，結(jié)論平面得證；（2）先證明直線兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量即可.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?，所以，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，且，所以四邊形是矩形，同時(shí)，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)?，，平面，平面，，所以平面，且平面所以，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，所以，因?yàn)?，，平面，平面，，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，且，所以直線兩兩垂直，如圖所示，分別以直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，且，則，由上問平面，則向量是平面的一個(gè)法向量，且，設(shè)向量是平面的法向量，且，則，即，不妨取，令向量與向量的夾角為，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以平面與平面夾角的正弦值為：.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，分析出，利用勾股定理結(jié)合橢圓的定義、三角形的面積公式可得出，再由可得出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，將這兩條直線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，其中，求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式求出的最大值，即可得出的最大值.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，因?yàn)椋?即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)榇藭r(shí)，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，則，解得，所以，

由題知不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消整理得，，設(shè)、，則，.因?yàn)榈姆匠虨?，的方程為兩直線方程聯(lián)立得：.因?yàn)?所以，解得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)，直線、的傾斜角為、，由圖可知，且，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．19．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出其單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程及其橫截距，根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)并解不等式得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義