雙曲面綜合試題(全部大題目)含答案

雙曲面綜合試題(全部大題目)含答案1.什么是雙曲面？請(qǐng)結(jié)合示意圖說明。2.雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？請(qǐng)說明各參數(shù)的含義。3.求雙曲面$x^2-y^2+z^2=1$與平面$2x+y-z=0$的交線。4.求雙曲面$x^2-2y^2+2z^2=8$的幾何中心、頂點(diǎn)、與焦點(diǎn)。5.建立右雙曲面$x^2-y^2+z^2=a^2$的參數(shù)方程，并求出其漸近線方程。6.求過平面$2x-y+z=1$，且以直線$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-1}\\\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+4}{-1}\end{cases}$為母線的雙曲面方程。7.設(shè)雙曲面$x^2-2y^2+2z^2=4$的法向量$N$是點(diǎn)$(1,0,-1)$，求該法向量在雙曲面上的截距。8.雙曲面$x^2-2y^2+2z^2=-2$通過點(diǎn)$(\sqrt{2},0,0)$，切于點(diǎn)$P$處的平面與坐標(biāo)軸的截距分別為多少？答案：1.雙曲面是一種二次曲面，與平面相比具有更為豐富的形態(tài)，包括單葉雙曲面、雙葉雙曲面等。雙曲面可以由交以某個(gè)直線為軸的兩個(gè)相互垂直且互不相交的平面所生成。2.雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$，其中$a$表示在$yOz$平面上的截距，$b$表示在$xOz$平面上的截距。3.將平面方程代入雙曲面方程中，得到關(guān)于$x$的二次方程$x^2-2yzx+1=0$，根據(jù)求根公式，得到$x=\dfrac{yz\pm\sqrt{(yz)^2-y^2+z^2}}{yz}$，代入平面方程解得交線為直線$\begin{cases}x=\dfrac{4}{3}t-\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{2}{3}t\\z=-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{1}{3}\end{cases}$。4.雙曲面的幾何中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)位于$xOy$平面上方的點(diǎn)$(0,0,2)$和下方的點(diǎn)$(0,0,-2)$，與焦點(diǎn)位于$x$軸上的點(diǎn)$(\sqrt{10},0,0)$和$(-\sqrt{10},0,0)$。5.右雙曲面的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=a\sect\\y=a\tant\\z=a\sect\tan\theta\end{cases}$，漸近線方程為$y=\pm\dfrac{x}{a}$。6.雙曲面方程為$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z}{1-\lambda}$，其中$\lambda$為參數(shù)，代入另一母線方程解得$\lambda=-1$，于是雙曲面方程為$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z}{2}$。7.法向量$N$的方向斜率為$\pm\sqrt{2}$，代入雙曲面方程解得截距為$(\pm2,0,\pm2)$。8.設(shè)切線方程為$x-\sqrt{2}=2p(y-0)+q(z-0)$，則平面的法向量為$(1,-2p,2q)$，帶入點(diǎn)$(\sqrt{2},0,0)$求得$p=1/\sqrt{6}$