雙曲面綜合試題(全部大題目)含答案

雙曲面綜合試題(全部大題目)含答案1.什么是雙曲面？請結合示意圖說明。2.雙曲拋物面的標準方程是什么？請說明各參數(shù)的含義。3.求雙曲面$x^2-y^2+z^2=1$與平面$2x+y-z=0$的交線。4.求雙曲面$x^2-2y^2+2z^2=8$的幾何中心、頂點、與焦點。5.建立右雙曲面$x^2-y^2+z^2=a^2$的參數(shù)方程，并求出其漸近線方程。6.求過平面$2x-y+z=1$，且以直線$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-1}\\\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+4}{-1}\end{cases}$為母線的雙曲面方程。7.設雙曲面$x^2-2y^2+2z^2=4$的法向量$N$是點$(1,0,-1)$，求該法向量在雙曲面上的截距。8.雙曲面$x^2-2y^2+2z^2=-2$通過點$(\sqrt{2},0,0)$，切于點$P$處的平面與坐標軸的截距分別為多少？答案：1.雙曲面是一種二次曲面，與平面相比具有更為豐富的形態(tài)，包括單葉雙曲面、雙葉雙曲面等。雙曲面可以由交以某個直線為軸的兩個相互垂直且互不相交的平面所生成。2.雙曲拋物面的標準方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$，其中$a$表示在$yOz$平面上的截距，$b$表示在$xOz$平面上的截距。3.將平面方程代入雙曲面方程中，得到關于$x$的二次方程$x^2-2yzx+1=0$，根據(jù)求根公式，得到$x=\dfrac{yz\pm\sqrt{(yz)^2-y^2+z^2}}{yz}$，代入平面方程解得交線為直線$\begin{cases}x=\dfrac{4}{3}t-\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{2}{3}t\\z=-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{1}{3}\end{cases}$。4.雙曲面的幾何中心位于坐標原點，頂點位于$xOy$平面上方的點$(0,0,2)$和下方的點$(0,0,-2)$，與焦點位于$x$軸上的點$(\sqrt{10},0,0)$和$(-\sqrt{10},0,0)$。5.右雙曲面的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=a\sect\\y=a\tant\\z=a\sect\tan\theta\end{cases}$，漸近線方程為$y=\pm\dfrac{x}{a}$。6.雙曲面方程為$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z}{1-\lambda}$，其中$\lambda$為參數(shù)，代入另一母線方程解得$\lambda=-1$，于是雙曲面方程為$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z}{2}$。7.法向量$N$的方向斜率為$\pm\sqrt{2}$，代入雙曲面方程解得截距為$(\pm2,0,\pm2)$。8.設切線方程為$x-\sqrt{2}=2p(y-0)+q(z-0)$，則平面的法向量為$(1,-2p,2q)$，帶入點$(\sqrt{2},0,0)$求得$p=1/\sqrt{6}$