2023-2024學(xué)年上海市天虹區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市天虹區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.直線2x-y+5=0的傾斜角是.

【正確答案】arctan2

【分析】先求斜率，根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系可得答案.

【詳解】直線2x-y+5=0的斜率α=2,傾斜角為arctan2.

故答案為.arctan2

2.在棱長為1的正方體ABCO-A1gGR中，直線AC與直線的距離是

【正確答案】1

【分析】在正方體A88-A4CA中，找到異面直線AC與直線耳。的公垂線段，求其長度

即可.

【詳解】如圖，取AC與的中點M,N,

因為N4=NC,M為AC的中點，則MNI.AC,同理MN_LBQ∣,

所以直線AC與直線的距離為線段MN長，

又MN=AA=1,所以直線AC與直線Ba的距離為L

故1.

3.已知直線/的一個方向向量為d=(2,-1,3),平面α的一個法向量為"=(l,r,O),且直線/與

平面ɑ平行，則實數(shù)f=.

【正確答案】2

【分析】依題意可得dl”，即可得到小〃=0,根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程,

解得即可.

【詳解】解：因為直線/與平面α平行，直線/的一個方向向量為4=(2,-1,3),平面α的一

個法向量為〃=(l,f,0),

所以4J_"，貝∣Jd?n=2-r=0,解得f=2.

故2

4.把一個母線長為IOCm的圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面積的比為1：4,則圓臺

的母線長是cm.

【正確答案】5

【分析】根據(jù)圓臺的上、下底面積的比可得半徑比，利用比例可得答案.

【詳解】作出圓錐的軸截面如圖，因為圓臺的上、下底面積的比為1：4,所以上、下底面

圓的半徑之比為1：2,所以吃=；;

AB2

利用平行線截線段成比例，則HSC=WCΓ)=1

54AB2

因為圓錐的母線長為IOCm,即SA=I0,所以SC=5,

所以圓臺的母線長是C4=5.

故5.

5.某地球儀上北緯30。緯線圈的長度為12mm,如圖所示，則該地球儀的半徑是,

【正確答案】4√3

【分析】先求緯圓半徑，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，再求地球儀的半徑.

【詳解】如圖所示，由題意知，

北緯30。所在小圓的周長為12萬cm,

則該小圓的半徑r=6cm,

其中NABO=30°,

所以該地球儀的半徑R=—?涓=46(Cm).

故答案為.46

本題考查球的半徑的計算，利用球心到截面的距離、截面半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形,

解直角三角形即可求解半徑，屬于簡單題.

6.已知直線/過點P(2,l),且與直線x-3y+l=0的夾角為arccos?，則直線/的方程是

【正確答案】3x-4y-2=0或y=l

【分析】根據(jù)夾角公式列方程，求得直線/的斜率，從而求得直線/的方程.

【詳解】設(shè)直線/的斜率為3因為cos(arccos也)=亞，且arccos亞為銳角,

√10

所以sin(arccosl-cos(arccos

?

sin(arccos3

所以tan(arccos，解得A=二或0,

cos(arccos↑+-k

3

故過點P(2,D,且與直線x-3y+I=0的夾角為arccos題的直線/的方程為:

3

y_]=T(X-2)或y=l,

即3x-4y-2=0∏Ky=l.

故3x-4y-2=0或y=l

7.如圖，圓錐的底面半徑。4=2,高Po=6,點C是底面直徑4B所對弧的中點，D是母

線方的中點，則異面直線CO與AB所成角的大小是.(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)

P

【正確答案】arccos乂叵

14

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

【詳解】因為圓錐的底面半徑。4=2,高PO=6,

所以母線長PB=√22+62=2√10，

連接CO,因為C為底面直徑AB所對弧的中點，所以COLAB,

以。為坐標(biāo)原點，oc,。8,OP所在直線分別為χ,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0-2,0).B(0,2,0),C(2,0,0),P(0,0,6),D(0,-l,3),

所以A8=(0,4,0),OC=(2,1,-3),

A8?QC4A

所以cos<A8,3C>=

∣AB∣?∣DCΓ4×√14^14

所以異面直線C0與AB所成角的大小為arccos姮.

14

8.已知點尸(0,3)到直線(M-I)X+(2m-l)y-n+2=0(τneR)的距離為d,則d的最大值是

【正確答案】5

【分析】先求出直線過定點Q(3,-D,得到d的最大值為∣PQ∣,利用兩點間的距離公式即可

求解.

[詳解]直線(m-l)x+(2m-l)y-m+2=0Q"∈R)gβ∕n(x+2y-l)-(x+γ-2)=O,

[x+2y-l=O(X=3

令?C八得「故直線過定點Q(3,7)?

[x+y-2=0Iy=-I

所以”的最大值為∣PQ∣?

因為P(0,3),0(3,-1),

所以IPQl=J(O-3)2+(3+1)2=5.

故5

9.已知A8C中，AB=AC=3,ZBAC=UOo,A3C所在平面ɑ外一點尸到此三角形三

個頂點的距離都是6,則點P到平面α的距離是.

【正確答案】3√3

【分析】過點P作一ΛBC所在平面α的垂線，垂足為..MC的外心，求出..ABC的外接圓的

半徑OA,再根據(jù)勾股定理求點P到平面a的距離.

【詳解】記點P在平面ABC上的射影為O,因為尸A=PB=PC,

所以O(shè)A=OB=OC,即。是43C的外心，

只需求出_MC的外接圓的半徑04,記為R,

在JIBC中，AB=AC=3,NBAC=I20。，由余弦定理得8C=3G,

再由正弦定理得2R=A^-=6,所以0A=3,又PA=6,

sin120°

得PO=√PA2-OA2=3√3,即點P到平面ABC的距離為36.

故答案為?3g

10.過球。表面上一點A引三條長度相等的弦A8、AC、AD,且兩兩夾角都為60。，若球

半徑為R,則弦AB的長度為.

【正確答案】a=巫R

3

【詳解】由條件可知A-BCO是正四面體,如圖：

A

A、B、C、。為球上四點，則球心。在正四面體中心，設(shè)AB=”,

則過點8、C、。的截面圓半徑r=0∣B=^BE=2×^-a=^-a，

3323

正四面體A-BCZJ的高AOI=爭=*'，

則截面BCD與球心的距離d=。。I=逅a-R.

3

222

因為在Rt.BOOl中,BO1+OO,=BO,

所以Ba=R2-半?α-R,解得a=R.

點睛：解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)

元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包含

球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的

目的.

IL點尸在正方體ABCO-ABCA的側(cè)面8CG4及其邊界上運(yùn)動，并保持APL8",若正

方體邊長為2,則儼8|的取值范圍是.

【正確答案】[血,2]

【分析】先證明平面ACBILBR,故尸點的軌道為線段CB-PB的取值范圍是[&,2]

【詳解】連結(jié)AB∣,AC,CB1,

易知平面ACB1IBD1,故P點的軌道為線段CB1,

當(dāng)P在C4中點時：最小為夜

當(dāng)尸與C或4重合時：最大值為2

則總的取值范圍是［a,2工

故答案為［&，2］

本題考查了線段長度的范圍，確定尸點的軌道為線段Cq是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在四棱錐S-ABcz）中，四邊形ABCZ）為正方形，AB=I,DS=2,平面ASOj_平

面4BCZλSDLAD,點E為Z）C上的動點，平面BSE與平面AS。所成的二面角為6（。為

銳角），則當(dāng)。取最小值時，三棱錐E-ASo的體積為.

4

【正確答案】-

【分析】以點。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面BSE與A5O的法向量，根

據(jù)向量夾角公式判斷當(dāng)6取最小值時求得DE=三,從而求解三棱錐E-ASD的體積為.

【詳解】由題意得ZM,DS,OC兩兩相互垂直，

以點。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

Z

Uy

則8(1,0,1),S(0,2,0),E(O,O,r),

所以BS=(-1,2,-1),BE=(-1,0,f-l),其中0≤f≤l,

設(shè)平面BSE的法向量為"=(x,y,z),

則。n-*BS晨=0即1-x(+2Iy-”z==0。，

令z=2,則x=2r-2,y=t,故”=(2f-2j,2),

又平面ASo的一個法向量為m=(0,0,1)，

“，八I.?m?n?22

所以cosθ=|cos<m,n>|=------=,—=.=

?fn??n?J⑵-2)2+/+4x1√5r2-8r+8

-S4

由于o≤f≤ι,故當(dāng)，=-k工==時，CoSe取得最大值，e取得最小值,

2×55

4Ii44

此時Z)E=W,三棱錐E-ASZ)的體積為％Ma=3χ(5χ2χl)χm=記.

二、單選題

13.設(shè)a、S是兩個不同的平面，b是直線，且bua,則“6_1￡”是“。_1尸”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.既非充分又非必要條件D.充要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷結(jié)果.

【詳解】因為。ua,若bL0,則反之不成立，故為充分非必要條件.

故選：A

14.給定一個正方體形狀的土豆塊，只切一刀，除了可以得到四面體、四棱柱等類型的多面

體以外，還能得到的多面體的類型可以含有（）

A.五棱柱、七面體B.五棱柱、六棱錐

C.六棱錐、七面體D.以上答案都不正確

【正確答案】A

【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，分別取神,4。,44,4〃的中點民尸,耳,耳，即可得

到一個直五棱柱，即可求解.

【詳解】如圖所示，分別取Q的中點E,F,JK,

分別連接ERE昂";,

可得幾何體BCDFE-BlCtDlFlEi為一個直五棱柱，且為七面體.

15.M,N分別為菱形ABCZ）的邊8C,C。的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點。不在

平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，對于下列兩個命題：①直線MN恒與平面ABD平行；②異

面直線AC與MN恒垂直.以下判斷正確的是（）

A.①為真命題，②為真命題;B.①為真命題，②為假命題;

C.①為假命題，②為真命題：D.①為假命題，②為假命題；

【正確答案】A

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可知①為真命題，利用線面垂直可得②為真命題.

【詳解】因為M,N分別為菱形A8C。的邊BC,CQ的中點，所以MN//BD,

因為MNN平面A8D,3￡>u平面A8O,所以①直線MN恒與平面ABO平行正確；

如圖，取AC中點E,則AC,8E,AC_LoE（菱形對角線垂直），

又BECz）E=E,且兩直線在平面內(nèi)，所以AC_L平面BDE,

因為BDU平面BOE,所以AC-ZBr）,

因為MN//BD,所以ACLMN,所以②正確;

故選：A.

16.ABC。-ASGA是棱長為1的正方體，一個質(zhì)點從A出發(fā)沿正方體的面對角線運(yùn)動,

每走完一條面對角線稱“走完一段”，質(zhì)點的運(yùn)動規(guī)則如下：運(yùn)動第i段與第i+2段所在的直

線必須是異面直線（其中，?是正整數(shù)），問質(zhì)點走完的第2022段與第1段所在的直線所成的

C.60°D.90°

【正確答案】C

【分析】不妨設(shè)質(zhì)點運(yùn)行路線為ABt→B1C→CD1→D1A,找到規(guī)律，即可得到第2022段

與第1段所在的直線所成的角.

【詳解】解：依題意，不妨設(shè)質(zhì)點運(yùn)行路線為TqC→CR→RA,

走過4段后又回到起點A,可以看作以4為周期，

因為2022=4x505+2,

所以質(zhì)點走完的第2022段與第1段所在的直線分別為BC與AB∣,

連接AC,顯然VABC為等邊三角形，所以8∣C與ABl所成角為60。,

所以質(zhì)點走完的第2022段與第1段所在的直線所成的角是60。.

故選：C.

三、解答題

17.如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm,圓

柱筒長2cm.

（1）這種“浮球”的體積是多少cm'?（結(jié)果精確到0.1）

（2）要在這樣2500個“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少

克？（精確到克）

【正確答案】（1）169.6Cm3

(2)1200π(克)

【分析】（1）分別求出兩個半球的體積K,和圓柱體的體積匕，即可求出“浮球”的體積;

（2）先求出一個“浮球”的表面積，再求出2500個的面積，即可求解.

【詳解】(1)該半球的直徑d=6cm,

所以“浮球”的圓柱筒直徑也是6cm,得半徑R=3cm,

44

所以兩個半球的體積之和為V?=H兀店=5兀?27=36兀cn√,

而K?=nR，?h=π×9×2=18πcm,,

該"浮球''的體積是V=‰+‰=36π+18π=54π≈l69.6cm3；

(2)上下兩個半球的表面積是S球表=4π∕?2=4×π×9=36πcm2,

2

而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為SlsW側(cè)=2πΛΛ=2×π×3×2=12πcm,

所以1個“浮球”的表面積為S=迎浮型=需兀m。

4X

因此，2500個“浮球”的表面積的和為2500S=2500x歷ττr=12πm2,

因為每平方米需要涂膠100克，

所以總共需要膠的質(zhì)量為：100χl2π=1200π(克).

18.直線4的方程為6Λ?+(o-l)y-l=0,直線4的方程為(α+4)x+(α+6)y-2=0("∈R).

(1)若直線4與直線4垂直,求實數(shù)a的值；

(2)若直線4與直線I2平行,求這兩條平行直線間的距離.

【正確答案】(l)ɑ=-2或α=-9

地

12

【分析】(I)根據(jù)直線4與直線4垂直,列出等式,解出即可；

(2)根據(jù)直線4與直線4平行,列出等式,解出“的值,再根據(jù)平行直線距離公式代入即可求得距

離.

【詳解】(1)由題知4：6》+("1)尸1=04(7+4)》+(4+6)乎一2=0僅€11),

因為直線《與直線4垂直，

所以6(α+4)+(α-1)(α+6)=0,

即a?+1+18=0,所以α=—2或α=-9;

(2)因為直線4與直線4平行,所以6(α+6)=(α-l)(α+4),

即42-3α-40=0,解得α=-5或a=8,

經(jīng)檢驗,當(dāng)a=8時兩直線重合,故a=-5,

此時直線《的方程為6x-6γ-l=0,

直線4的方程為r+y-2=0,即6x-6y+12=0,

所以這兩條平行直線間的距離d="=￥.

6√212

19.已知四棱錐P-ABC。的底面是菱形，對角線AC、BD交于點O,OP=OA=4,08=3,

QP?L底面ABe。，設(shè)點M滿足尸M=；IMC(O<4<1).

(1)若彳=!，求三棱錐P一聞3。的體積；

4

(2)直線以與平面MBO所成角的正弦值是手，求2的值.

【正確答案】⑴?

⑵“4

【分析】(D當(dāng)2=L時，PM=?MC,PM'PC,則點M到平面PE)的距離等于點C

445

到平面PBD的距離的?,VjMBD=V"-∕W)=gLzw求解即可；

(2)求平面MB。的一個法向量為m，設(shè)直線必與平面M8D所成的角為6?,然后由

IPA/√5

sin。=^^=+求解.

∣PA∣ψ77∣5

【詳解】(1)當(dāng)4=!時，PM=-MC,即PM=LPC,則點M到平面PBQ的距離等于點

445

C到平面尸8。的距離的g.

在菱形ABCD中，AClBD,Q4=OC=4,08=8=3,又QP_L底面ABeE>,OP=4,

所以%.zω=VWJWJW)=IVPdC°=?jxgxgx6χ4χ4=3?

所以三棱錐P-MBD的體積為y.

(2)因為。P■!底面HBC3,OAU底面ABCQ,08U底面ABez),所以O(shè)P_LOA、QP_LO8,

則。4、OB、OP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

4(4,0,0),P(0,0,4),B0,3,0),C(-4,0,0),則PC=(-4,0,-4),

PA=(4,0,-4),OB=(0,3,0),

OM=(9P+PΛ/=OP+-^-PC=(O,0,4)+-^-(-4,0,-4)=∣-,θ,?I,

λ+lΛ+lU+lΛ+1J

設(shè)平面MHQ的法向量為〃z=(",u,w),

八-4/14

OM.m=----uH---------W=O

則，Λ+lλ+?,令〃=1,W=(1,0,Λ),O<Λ<1,

OB?"2=3U=O

設(shè)直線E4與平面M3。所成的角為0,

?PA-m?4-4Λ√5

SInθ—I—j—I~~r=———/=—,

∣Λ4∣?∣m∣4√2?√1+Γ5

20.(1)已知。是平面ABC外一點，求證：P在平面ABC上的充要條件是“存在實數(shù)X,?

z,使。尸=XOA+yO8+ZoC,且x+y+z=l'

(2)如圖所示，在平行六面體ABC。-A4G。中，AB=I,AD=2,AA∣=3,

o

ZAiAB=ZAxAD=ZDAB=GO,AG與平面Λ1BO交于點K.設(shè)AB=α,AD=b,AAt=c.

②求異面直線AG與CB1所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).

【正確答案】(1)證明見解析；⑵①AK=?a+?b+?c,②areeos??包.

33370

【分析】(1)利用空間向量基本定理及向量運(yùn)算求解；

(2)?f∣JM?AK=λAC,=λa+λh+λcR(1)的結(jié)論可求答案；②利用空間向量的運(yùn)算求解

異面直線所成角.

【詳解】(1)若。尸=XOA+yO8+zOC且x+y+z=l,

貝IJAP=(x-l)OA+yOB+zOC=y(OB-OA)+Z(OC-OA)

=yAB+zAC,

由空間向量基本定理，得4P，AB，AC三個向量共面，

說明點P在平面ABC內(nèi).

反之，如果點P在平面ABC內(nèi)，則存在使得AP=/IAB+/MC,

OP-OA=λ(θB-OA)+μ(θC-OA),即OP=(I-X-〃)OA+/lO8+〃OC；

^?x=?-λ-μ,y=λ,z=μ,則OP=χOA+yOB+zOC且x+y+z=1.

所以P在平面ABC上的充要條件是“存在實數(shù)x,z,使OP=XO4+yOB+ZoC,且

x+y+z=l”.

(2)①AG="+∕j+c,因為ACl與平面ABO交于點K,

AK=λACl=λa+λb+λc,由(1)得34=1,所以又=；,

所以AK=++A；c；

(2)AC1—a+b+c,CB1=DA1=c—b,

o

因為AB=1,AD=2,AΛ]=3,ZAiAB=ΛAlAD=ZDAB=60,

所以=∣iz∣∣?∣cos60o=l,同理Ge=?力?c=3

所以IAgI=+牙+c~+2。?與+20?c+2b?c=5,

2

ICB11=?∣b-2∕J?C+C?=幣,AC