新教材蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊 練習 06 空間向量的坐標表示及運算

06空間向量的坐標表示及運算

目錄

☆【題型一】空間向量的坐標表示..................................................................?

☆【題型二】已知向量的起點和終點的坐標求向量的坐標.............................................1

☆【題型三】已知向量的坐標求向量的起點或終點的坐標.............................................3

☆【題型四】空間向量的加、減、數(shù)乘的坐標運算...................................................4

☆【題型五】空間向量平行的坐標表示.............................................................5

☆【題型六】空間向量平行的坐標表示的應用：線線平行............................................7

☆【題型七】空間向量平行的坐標表示的應用：線面平行............................................7

☆【題型八】空間向量平行的坐標表示的應用：面面平行............................................9

☆【題型一】空間向量的坐標表示

【例題】已知｛7JK｝是空間的一個單位正交基底，向量Z=-27+8]+31用坐標形式可表示為.

【答案】(一2,8,3).

【詳解】0=-27+8y+3^=(-2,8,3).

【變式訓練】

1.已知｛m｝是空間的一個單位正交基底，向量Z=37-2]+1用坐標形式可表示為.

【答案】(3,—2,1)

【詳解】0=37-2；+Λ=(3,-2,1).

2.已知｛7,7,4是空間的一個單位正交基底，向量加=-57+2]用坐標形式可表示為.

【答案】(—5,0,2)

【詳解】B=-57+22=(-5,0,2).

3.已知｛7,7,G｝為空間的一個單位正交基底，且向量Z=J+8]+3hh=Ii-Sj-2k,則向量。一28用

坐標形式表示為.

【答案】(一5,7,7)

【詳解】因為“=(-l,1,3),6=(2,-3,-2),所以α-2b=(-5,7,7)?

☆【題型二】已知向量的起點和終點的坐標求向量的坐標

【例題】已知空間三點/(一2,0,2),8(—1,1,2),C(-3,0,4)?

⑴求法+充，AB-AC；

(2)是否存在實數(shù)X,y,使得北=X施+y就成立，若存在，求x,y的值；若不存在，請說明理由.

【詳解】林=(-1,1,2)一(—2,0,2)=(1,1,0),Jc=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).

(l)^B+iC=(l,1,0)+(-1,0,2)=(0,1,2).AB~AC=(1,?,0)-(-1,0,2)=(2,1,-2).

(2)假設存在X,R滿足條件，

由已知可得病=(-2,-1,2).

由題意得(-1,0,2)=x(1,1,0)÷X—2,—1,2),

所以(一1,0,2)=(χ-2y,χ-y,2y)9

T=L27，&=[

所以?0=χ-y,所以,

N=I,

2=2y,

所以存在實數(shù)x=l,y=l使得結論成立.

【總結】

1.求向量的坐標的步驟：

(1)先建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；

(2)然后得到起點和終點的坐標；

(3)最后得出向量的坐標.

2.向量的坐標表示：向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定，即向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的

坐標.特別地，當向量的起點為坐標原點時，向量的坐標即是終點的坐標.

【變式訓練】

1.如圖，在棱長為1的正方體力8。＞-小&GA中，瓦尸分別是的中點，點G在棱C。上，且CG

=1CR4是GG的中點.以。為坐標原點，C/,出所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角

4

【詳解】由已知可得點J°'0，3，心?J,Cl(0,1,1),G(O'4,

f01η

因為，是CIG的中點，所以“點坐標為I'8'2).

fl1_11C_I31]

故M=H2'2J,FH=I2'8’2)

2.已知點力=(3,8,—5),5=(-2,0,8),則向量前的坐標為

【答案】(-5,-8,13)

【詳解】∑δ=(-2,0,8)-(3,8,-5)=(-5,-8,13).

☆【題型三】已知向量的坐標求向量的起點或終點的坐標

【例題】已知。為坐標原點，A,B,C三點的坐標分別是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求點P的坐標,

【答案】6P°]

【詳解】前=(2,6,-3),元=(一4,3,1),所以套一J?=(6,3,-4).

設點P的坐標為(x,y,z),則力尸=(X-2)+1,2—2),

所以x=5,V=z=0,即點P的坐標為P'2,

【變式訓練】

1.已知aZBC中，A(2,-5,3),/8=(4,1,2),SC=(3,-2,5),求頂點8,C的坐標及C4.

【答案】8(6,-4,5);C(9,-6,10),8=(—7,1,-7).

【詳解】設8(x,y,z),C(xι,y↑tz∣),所以48=(χ-2,y+5,z—3),BC=(x↑~x9y?'-y,z?~z).

1—2=4,X=6,

因為45=(4,1,2),所以?y+5=l,解得y=—4

z—3=2,z=5,

所以B的坐標為(6,—4,5).

Xi-6=3,11=9,

因為5C=(3,-2,5),所以平+4=—2,解得

y?=-69

zi—5=5,zι=10,

所以C的坐標為(9,-6,10),CA=(-7,1,-7).

2.已知點/的坐標為(1,1,0),向量;法=(4,0,2),則點8的坐標為()

A.(7,-1,4)B.(9,1,4)

C.(3,1,1)D.(l,-1,1)

【答案】B

【詳解】設點8的坐標為(x∕,z),則施=(x—lj-l,z—O),?=(?,??,j)=(4,0,2),

解得x=9,y=l,z=4.故選B.

3.已知點N(3,3,—5),8(2,-3,1),C為線段48上一點，且元=2盛，則點C的坐標為()

AC,^Γ11B(I)-3，2J

(1-1-]_2

,1p,n

c.IyJD.L2J

【答案】C

【詳解】設點C的坐標為(XJ,Z),X=(X-3,^—3*+5)=(4,0,2),又

___2__27

AB=(-1,-6,6),?j48=(一§,—4,4),解得x=§,y=—l,z=-1.故選C.

☆【題型四】空間向量的加、減、數(shù)乘的坐標運算

【例題】已知7=(1,—3,8),?=(3,10,-4),求￡a-b，3a-

【詳解】a+6=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4),

α-6=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,8+4)=(-2,-13,12),

3a=3(1,-3,8)=(3X1,3X(-3),3×8)=(3,-9,24)?

【變式訓練】

1.已知向量α=(l,2,3),6=(4,5,6),求a+b,。一440.

【答案】Q+6=(5,7,9).

a-b=(-3,-3,-3).

4α=(4,8,12).

【詳解】α+?=(l,2,3)+(4,5,6)=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9).

a~b=(l,2,3)-(4,5,6)=(1-4,2-5,3-6)=(-3,一3,—3).

4α=4×(l,2,3)=(4,8,12).

2.已知a+6=(2,3，2√3),a-?=(0,√2,0),求α和A

【答案】α=(l,/，√3),*=(l,0,√3)?

【詳解】因為“+B=(2,S,2?,a-?=(0,√2,O),2a=(2,2√2,2√3),?=∣=(2,0,2\5)

所以α=(l,∕，√3),?=(l,0,√3).

3.已知向量α=(3,-2,1),3=(-2,4,0),c=(3,0,2),^.a-2h+4c-

【答案】(19,—10,9)

【詳解】由己知4-25+40=(3,-2,1)-2(-2,4,0)+4(3,0,2)=(19,TO,9).

4.已知點/(1,-2,0)和向量4=(-3,4,12),且法=2α,則點8的坐標為()

A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)

C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)

【答案】D

5.已知向量。=(1,-2,l),α+*=(-l,2,-1),則力的坐標為()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,I,-3)

【答案】B

☆【題型五】空間向量平行的坐標表示

【例題】已知空間四點Z=(-2,3,1),8=(2,-5,3),C=(IO,0,10)和。=(8,4,9),求證：四邊形NBCQ

梯形.

【詳解】證明依題意方=(-2,3,1),麗=(2,-5,3),

所以^AB=OB-OA=[2-5,3)-(-2,3,1)=(4,-8,2).

同理5C=(2,-4,1),赤=(10,1,8),元=(8,5,7).

由方=2反，可知劉〃萬^?

考察向量而與就，

由于故不存在實數(shù)f,使得彳萬=/工，

857

即而與及不共線，所以四邊形/8C。是梯形?

【總結】判斷空間向量平行的步驟

(1)向量化：將空間中的平行轉(zhuǎn)化為向量的平行.

(2)向量關系代數(shù)化：寫出向量的坐標.

(3)對于。=(Xy?,Z∣),b=(X2,yi,Z2),根據(jù)Xl=Ar2,Vl=Ay2,Zl=AZ2(ieR)或&="="(》2,yι,Z2都不

Xly2Z2

為0)判斷兩向量是否平行.

【變式訓練】

1.已知四邊形/8C。的頂點坐標分別是4(3,-1,2),5(1,2,一1),C(-l,l,-3),D(3,-5,3),求證:

四邊形ZBCD是一個梯形.

【詳解】證明VJ5=(1,2,-1)-(3,—1,2)=(—2,3,—3),

CD=(3,-5,3)-(-1,1,—3)=(4,—6,6),

—23—3f-

：.——=—=——,,/B與CQ共線，UPAB//CD,

4—66

又???花=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),

5C=(T,1,-3)-(1,2,—1)=(-2,—1,—2),

???0-Br-.4Tc],

-2—1—2

石與曲不平行.

.?.四邊形48。為梯形.

2.已知點/(-2,3,1),8(2,-5,3),C(8,1,8),O(4,9,6),求證：四邊形/88為平行四邊形.

【詳解】證明由點力(-2,3,1),8(2,-5,3),得施=(4,-8,2).

由點。(4,9,6),C(8,1,8),得虎=(4,-8,2),

所以法=慶

AB=DC,S.AB//DC.

所以四邊形ABCD是平行四邊形

3.已知空間三點/(—2,0,2),8(—1,1,2),C(-3,0,4),設“=次，b^AC.^(ka+b)//(a-3b),求實數(shù)％的值.

【答案】k=--

3

【詳解】由題意得α=∕?δ=(l,l,0),b=AC=(-↑,0,2),

?9?ka+b=(k-1,匕2),a—36=(4,1,—6),

k—1k7

V(ka-?-b)//(a-3b),/.----=—=---,

41—6

解得％=一?.

3

4.已知向量a=(l,2,1),b=(3,2,2),S,(ka+b)∕∕(a-2b)f則實數(shù)『的值為()

?25n25

A.------B.一

1212

C.--D-

22

【答案】C

5.(多選)已知向量α=Q+l,2,3"-1)與8=(6,2加0)共線，則實數(shù)%的值可能是()

A.-3B.2

C.-D.0

5

【答案】AB

6.判手下列各組中的兩個向量是否平行：

(1)a-(1,3,—2),b-(-2,-6,4)；(2).=(-2,0,5),b—(8,0,20).

一一1

【答案】(1)。//6;(2)。與6不平行

13-21r

β.?——=——=——=——/.a=——b-一

【詳解】⑴一2—642,2,.?a∕∕ba

-251

(2)T?H不；，二?不存在4，使Q=a=.?.Q與-B不平行?

o2U

7.設。=(2,2加一3,〃+2),3=(4,2加+1,3〃-2)且￡/力，求實數(shù)相，〃的值.

7

【答案】m=-1n=6.

2

【詳解】(方法1)QaHb,則2=也二1=2I±Z,解得zw=N,"=6.

42m+l3〃-22

2m+l=2(2w-3)7

(方法2)由題意得，L°C,小，解得〃Z=二，/7=6.

[3〃-2=2(〃+2)2

8.已知點4=(2,—5,—1),5=(-1,-4,-2),C=(m+3,-3,〃)在同一直線上，求加+"的值.

【答案】m+n=-?O

【詳解】Zff=(-1,-4,-2)-(2,-5,-1)=(-3,1,-1),^C=(w+3,-3,w)-(2,-5,-l)=(W+1,2,M+1),

因為48,C在同一直線上，

UlUUUUl.一

所以AB〃AC，即存在實數(shù)E，使得力C=/48，

所以(加+1,2,〃+1)=/(—3,1,—1),

/??+1=-3t7=2

所以V2=t,解得＜〃=一3所以+w=-IO.

"+I=TIn=-7

☆【題型六】空間向量平行的坐標表示的應用：線線平行

【例題】已知棱長為1的正方體OABC-Ol4BC在空間直角坐標系中的位置如圖所示，D,E,F,G分別為棱

OML小S.BCOC的中點，求證：DE//GF.

【詳解】因為正方體的棱長為1,DEEG分別是棱OM乂囚.Be,OC的中點,

於「化。，n/，1，n??-1-θιj。，?,。〕

所以知點從2J,42J,叱J,Gl2J,

flJLo]fl101

所以。E=L'2J,GF=b,2,J,所以DE=GF,所以DE〃GF

☆【題型七】空間向量平行的坐標表示的應用：線面平行

【例題】在正方體/8CD4山IGr)I中，M,N分別為48,Cel的中點，求證：MV〃平面/8CD

【詳解】如圖，以。為坐標原點，DCOA所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系.令

DA=2,則知點。(0,0,0),力(2,0,0),。(0,2,0),%(0,2,1),〃(2,1,1),所以扇=(2,0,0),DC=(0,2,0),MN=

(-2,1,0),所以蕩√=一扇+；比，所以加與扇，虎共面.而MN。平面力8C。，所以仞V〃平面/8CD

B

【變式訓練】

1.如圖，已知正方形/8CO和矩形/CE尸所在的平面互相垂直，AB=S,/尸=1,M是線段E尸的中點.求

證：4M〃平面BaE：.

【詳解】證明如圖，建立空間直角坐標系，設/CCBO=N,

f√2也?

連接NE,則點NE的坐標分別為12'2'J.(0,0,1),

一J也.也］

所以NE=I2`2'J

座

又因為點4〃的坐標分別是(W,√2,0),1261

一J亞—也]

所以/M=l2,2'