2023屆新高考地區(qū)百強(qiáng)名校新高考數(shù)學(xué)模擬考試壓軸題卷一

【百強(qiáng)名?！?023屆新高考地區(qū)百強(qiáng)名校

新高考數(shù)學(xué)模擬考試壓軸題精編卷(一)(新高考通用)

一、單選題

1.(2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí))《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，

它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球與內(nèi)切球的研究.其中

的一些研究思想啟發(fā)著后來者的研究方向.已知正四棱錐尸-ABC。的外接球半燒為R,內(nèi)

切球半徑為廠，且兩球球心重合，則四=()

r

A.2B.1+6C.2+0D.2&

【答案】B

【分析】正四棱錐的外接球和內(nèi)接球球心重合，說明其結(jié)構(gòu)特殊，找出結(jié)構(gòu)的特殊性，再計(jì)

算.

設(shè)底面正方形ABC。的對角線長為2a,高為h,,正方形的中心為。，外接球的球心為?！?

則有r=即R=〃一r,在RtOOD中，r2=R2-a2=(h-rY-a2,:.r=-———①，

'72h

_h2+a2

R-h—F—,

2h

以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如上圖，

則有O(0,0,r),P(0,0,,C(tz,0,0),Z)(0,a,0),CD=[-a,tz,0),PC=(tz,0,—li),

P0=(0,0,-〃),

./、m-CD=0—ax+ay=0

設(shè)平面尸CO的一個法向量為m=(%,y,z),則有＜

m?PC=0ax—hz=0

令z=〃,貝！Jx==/i,/z,a),

PO

設(shè)向量尸。與平面尸co的夾角為6，則sinS=E―[=；

U.\PO\J2/7+/9

球心?！狡矫鍼CD的距離”|尸。如。=兄赤&=(j)后看

ahahh1-a1h1-1

r=------,-由①得即=丁③，

a+v2/22+〃a+v2/z^+a22h1+卜。+1

a2

故設(shè)r=g,則③可整理成/+1=0-1)也產(chǎn)+]

兩邊平方得，一2產(chǎn)-1=0，：.干=6+1

,Rh1+a2t2+1/-,

由①②得一=7^--=-^—=V2+l

rh—at—1

故選：B.

2.(2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí))已知拋物線C：y?=2加(p＞0)過

點(diǎn)A(2,4)，動點(diǎn)M,N為C上的兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之和為0,直線I的斜率為-1,

且過C的焦點(diǎn)F,/把AW分成面積相等的兩部分，則直線MN的方程為()

A.%+y-6=0B.x-y+6=0

C.x—y+4A/2-6=0D.x+y+4^2—6=0

【答案】D

【分析】由題意求出拋物線方程為V=8x,設(shè)河(石,％)小伍,%),直線MN:x=(y+加,

聯(lián)立直線和拋物線的方程結(jié)合韋達(dá)定理由心”+%期=。，可求出f=-1，再求出直線/的方程,

由題意可轉(zhuǎn)化為4(2,4)到直線l-.x+y-2=0的距離為A(2,4)到直線"N:無+y=0距離的

無，代入求解即可得出答案.

2

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C：y2=2px(P＞。)過點(diǎn)A(2,4),

所以16=4p,解得：。=4,所以＞2=8x,

直線肱V:無="+m，代入=8x中整理得y2-8zy-8m=0,

所以％+%=&,%%=-8機(jī),

=%-4

kk=—

所以AM+,一芭一2%-22十2

"一22

88

8,88(%+4)+8?+4)八

-----------1-----------=---------------------------------=U即%+%+8=0,

%+4%+4(%+4)(%+4)

則X+%+8=81+8=0,解得：t=-l,

所以直線肱V：x+y-M=0,

直線/的斜率為-1,且過C的焦點(diǎn)—2,0),

|2+4-2|

所以/:x+y-2=0,則A（2,4）到直線/的距離為d==2V2,

所以/把上AAW分成面積相等的兩部分，因?yàn)橹本€/與直線平行，

所以A（2,4）到直線/:x+y-2=。的距離為A（2,4）到直線"上彳+丫-〃?=0距離的",

2

20=名號=1解得:

相=6-4應(yīng)或加=6+4夜（舍去）.

2，2

所以直線MN的方程為x+'+471-6=0.

故選：D.

3.（2023?吉林?東北師大附中?？级＃┖瘮?shù)/（x）=sin（0x+0）（6y>O,O<0<7i）的部分圖

7T

象如圖，BC〃x軸，當(dāng)尤e0,-時(shí)，不等式〃x）2〃7-sin2x恒成立，則加的取值范圍是

c.(-co,7s]D.(-<?,!]

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)和三角恒等變換求解.

712兀

【詳解】因?yàn)?C〃x軸，所以圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2+5「7兀,

2一12

所以;7=卷一/=：，所以T=0=兀解得。=2,

41234①

又因?yàn)?［曰=5抽［1+夕［=一1,

77r37rir

所以\-（p---卜2kit,ksZ,即夕=—+2E,4EZ,

623

Jr

又因?yàn)?<夕<兀，所以9=

所以〃x)=sin(2尤+]

由/(x)>m-sin2xn]*^fsin^2x+^j>m-sin2x,

BP—sin2x+^-cos2x>m-sin2xtilBP—sin2x+^-cos2x>m，

2222

令g(x)=°sin2x+^-cos2x=A/3sin(2x+—)，

226

因?yàn)?,：,所以+'所以g（%）￡

46632

因?yàn)間（x）W相恒成立，所以加4走.

2

故選:A.

4.（2023?吉林?東北師大附中?？级＃┲本€/的方程為（4+2）尤+（%-l）y-34=0（/lcR）,

當(dāng)原點(diǎn)。到直線/的距離最大時(shí)，4的值為（）

A.-IB.-5C.1D.5

【答案】B

【分析】求出直線（X+2）x+（X-l）y-3X=0（；leR）所過定點(diǎn)A的坐標(biāo)，分析可知當(dāng)OA，/

時(shí)，原點(diǎn)。到直線/的距離最大，利用兩直線垂直斜率的關(guān)系可求得實(shí)數(shù)彳的值.

【詳解】直線方程（4+2）x+（4—l）y—3/l=0（/leR）可化為應(yīng)尤+y—3）+（2x—y）=0,

fx+y—3=0\x=\

由。n可得<

[2x-y=0[y=2

所以，直線（X+2）x+（"l）y-32=0（2eR）過定點(diǎn)A（l,2）,

當(dāng)。4，/時(shí)，原點(diǎn)。到直線/的距離最大，且%A=2,

又因?yàn)橹本€/的斜率為左=-七=-：,解得2=-5.

故選：B.

5.（2023?湖南長沙?雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線爐-丁2="（0>0）的左、右焦點(diǎn)分

別為片，外,過點(diǎn)工作斜率為6的直線交雙曲線的右支于A,B兩點(diǎn),則的內(nèi)切圓

半徑為（）

A.匕B.qC.&D,凡

2636

【答案】C

【分析】不妨設(shè)A在第一象限，A&,yJ，過點(diǎn)4作4〃，工軸于點(diǎn)M.由已知可求得

卜用=（2+應(yīng)）°,忸用=（2-五）a,再利用等面積法和雙曲線的定義可求得內(nèi)切圓半徑.

【詳解】解：如圖,

不妨設(shè)A在第一象限，過點(diǎn)4作40，無軸于點(diǎn)w得名（、&,0）,

22

貝!J|A與『=（X]_后"）+,；=（西-應(yīng)a）+xf—a=2x^-2y/2axl+a=（^[2x}-aj,所以

|Af^|=A/2X[-a（*）.

又/A/y/=60。，貝！]|然|＜：0$60。=|6閭=芯_。，即％=JAB|+缶，

代入（*）式得恒段=0、|4用+缶得|A閶=（2+尤）a,同理|B用=（2-0）a,

貝|!|的=4即

SAAF[S=J片"卜|AB卜in60。=2痘2,故AA單?的內(nèi)切圓半徑「滿足

。（閨A|+閨可+|AB|）r=S

/\AFXB'

又閨H+巧@=|AB|+4a=8a,所以\12axr=2血?，得「=逅_小

23

故選：C.

6.（2023?湖南長沙?雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）甲、乙兩人各有一個袋子，且每人袋中均裝有

除顏色外其他完全相同的2個紅球和2個白球，每人從各自袋中隨機(jī)取出一個球，若2個球

同色，則甲勝，且將取出的2個球全部放入甲的袋子中；若2個球異色，則乙勝，且將取出

的2個球全部放入乙的袋子中.則兩次取球后，甲的袋子中恰有6個球的概率是（）

77-71

A.—B.—C.—D.—

30156020

【答案】A

【分析】先根據(jù)取球規(guī)則分析得到兩次取球后甲的袋子中有6個球時(shí)，兩次取球均為同色,

然后分第一次取球甲、乙都取到紅球和白球兩種情況求解即可.

【詳解】由題，若兩次取球后，甲的袋子中恰有6個球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球

均為同色.

若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為gx；=],則第一次取球后甲的袋子中有3個紅

球和2個白球，乙的袋子中有1個紅球和2個白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白

31227

球，概率為西，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，甲的袋子中

7

有6個球的概率為二.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，甲的袋子中有6

60

7

個球的概率為二.

60

777

故所求概率為一+一=一.

606030

故選：A.

7.（2023春?湖南長沙?高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若Q=log202i2022,Z7=log20222023,

202272023

----,a=-----則a,b,c,d中最大的是（

20212022

A.aB.bC.cD.d

【答案】C

【分析】先將〃，b,c,"變換為：4Z=l+log2021|1+—J—I,Z?=l+log2022|1+—J—I,

\/UNAJ\NUNNJ

2022120231,工4、4Pm/\i\

c-------=1+-------,d=-----=1H---------,得至構(gòu)造函數(shù)且(%)=%—1。82022(1+%)，

2021202120222022')?v7

^(x)=x-log2021(l+x),xe(O,l),結(jié)合導(dǎo)數(shù)和作差法得到〃>>，c>a,從而得出a,b,

c,d中最大值.

【詳解】因?yàn)閍=log?。"2022=log202/2021x需］=1+log2021［1+焉］,

b=log20222023=log2022(2022x棠］=1+log20221+圭，

20222023

=1+—,d=Id----所----以c>〃；

2021202120222022

2022-1082022C+2022

T^g(x)=x-log2022(l+x),xe(O,l),

則gy）=l一（l+Jn2022,當(dāng)°<”<1時(shí)，?。?gt;°，

所以g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，貝⑼，即需一叫.口+而焉卜。，

所以"-"0,即d>b；

2021-1°g2021|1+2021

設(shè)0(x)=x-log2021a+尤)，xe(0,l),

則"卜入+?、停?dāng)時(shí)，?！ㄋ?gt;0，

所以°（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，貝即焉一log故J1+焉］>0,

所以c—。>0,即c>a；

綜上：c>d>b,c>a,即a,b,c,d中最大的是c.

故選：C.

8.（2023春?湖南長沙?高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）己知月，外是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P

為C上一點(diǎn)，且4/犯=60。，|P周=川沙。>1）,若C的離心率為斗，則4的值為（）

A.3B.幣C.2D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出|「耳然結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)閨尸耳仁川尸耳由雙曲線的定義可得|「耳HPE|=UT）I尸閭=2a,

所以歸閶=/，歸用=磐；

4a2+4%〃2-2x2a-2Aa?cos60°

因?yàn)?月尸工=60。,由余弦定理可得4c2

4a2+4A2a2-4Aa2c2_l+A2-2_7

整理可得4c2=,所以/

（沈-1）一a2(A-l)24

即3萬一104+3=0,解得彳=3或/1=:，又因?yàn)椋?>1,即2=3.

故選：A

9.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┰跀?shù)列｛q｝中給定%,且函數(shù)

/（x）=-an+1sinx+（fl?+2）x+1的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)

h1

g（x）=12%+^-sin（7LX）-5cos（也）且g（4）+g（〃2）++g（%）=18,貝（）.

D.

9

【答案】c

【分析】求導(dǎo)利用函數(shù)零點(diǎn)定義即可求得出-q=2,得到數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列.

再利用引入輔助角公式對g。）化簡，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合題

意進(jìn)而求解即可.

【詳解】因?yàn)?'（九）二/一qxCOSx+（為+2）有唯一的零點(diǎn)，尸（%）為偶函數(shù)，

則r（0）=。，可得,i=2,“eN*,所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列.

則g-4=2,所以數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列.

又g（x）=12x+^-sin7ix-^cos7ix=12x+sinK（x-^）=12（x-：）+sin?i（x-：）+2,

☆/z（，）=12r+sinw,則〃⑺為奇函數(shù)，

因?yàn)?/?）=12+7tcosW＞0,所以在R上單調(diào)遞增，

由題意得[g（%）—2]+[g（出）一2]+…+[g（%）—2]=0,貝IJ

/z（q—）+〃伍？—）+,,,+h（cig—）=0,

666

數(shù)列｛〃〃｝是公差為2的等差數(shù)列,其中q＜出＜…＜的，

則一/＜。2一7＜。9一二,假設(shè)（%一二）+（。9一:）〉0,

6oo66

因?yàn)槿擘?12/+sinnt是奇函數(shù)且力⑺在R上單調(diào)遞增，則h（x-＞在R上單調(diào)遞增，

所以（％一%）＞一（%一％）='（%一%）＞—'（%一7）n%（。1—%）+卜（。9—5）＞。,

：（4—7）+（應(yīng)一:）=（凡一二）+（線—:）=（%—：）+（%—:）=（%-：）+（%—T）=2（%一:），

64—6666666

—+—

h（ath｛a2---n/zl%—q）＞。,與已知矛盾，故不成立；

1

假設(shè)（q-工）+（%―Z）＜0,同理可得無（4—2）+〃（“2—2）"----^〃（佝—2）＜。，與已知矛盾，故

66666

不成立；

綜上，——）+（Og——）=0=＞a+a=—=＞a=—.

6631965

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解決關(guān)鍵是應(yīng)用函數(shù)的解析式和性質(zhì)得到數(shù)列

的通項(xiàng)或遞推公式.

1.利用具體函數(shù)的解析式得到遞推關(guān)系.

2.利用抽象函數(shù)的性質(zhì)得到遞推關(guān)系.

10.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┰谡睦馀_A3CD-4月￡。中，

AB=2A1B1,然=26,M為棱8c的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺的體積最大時(shí)，平面MBD截該正

四棱臺的截面面積是（）.

A.巫B.C.10后D.6四

42

【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公

式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)AB=2A瓦=4尤，上底面和下底面的中心分別為。-0,過4作

該四棱臺的高

在上下底面由勾股定理可知，AQ=；J（2無）2+（2無）2=夜X,AO=；J（4x）2+（4尤）2=20.

在梯形4。1。4中，A左=AH2+A82n12=（2缶-后>+h2=>h2=12-2x2,

所以該四棱臺的體積為V=；（16/+而可7+4.r）h=gx,,

所以尸=2^"八噂-12一2x”噂廠+可2-

當(dāng)且僅當(dāng)丁=12-2/，即x=2時(shí)取等號，此時(shí)AB=8,A4=4,O、O=h=2.

取G2,8C的中點(diǎn)N,E,連接NM,ND,顯勺a有MN//D、B、"DB,

由于MNN平面ABCD,BDu平面ABCD,所以MN〃平面ABC。，因此平面MBDN就

是截面.

顯然MN=；B、D\=2近,BD=8版,

2

在直角梯形QMEO中，ME=y]lr+（OE-OlM）=44+4=2^,

因此在等腰梯形BgCB中，MB=y]ME2+EB2=V8+16=2n，

同理在等腰梯形2GCD中，DN=25

在等腰梯形MBDN中，設(shè)MF//DN,MG1BD,

貝1JMF=2瓜BF=8屈-2^2=6^2,

MG=J（2而2_（；X6&）2=76,

所以梯形MBDN的面積為"*也x遙=10代，

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維

流程如下：

（1）根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進(jìn)而確定線面以及面面關(guān)系，

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含幾何體的各種元素以

及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；

（3）求長度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長度的方程，并求解.

二、多選題

11.（2023?湖南長沙雕禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)〃“=$皿3%+0）［搟＜。＜3的圖

象關(guān)于直線x=g對稱，那么（）

O

A.函數(shù)/1-3為奇函數(shù)

JT,4

B.函數(shù)無）在一三，力上單調(diào)遞增

C.若=則卜-引的最小值為？

D.函數(shù)/（尤）的圖象向右平移丁個單位長度得到函數(shù)y=-cos3尤的圖象

【答案】AC

【分析】利用/（尤）=sin（3x+0）的圖象關(guān)于直線x=J對稱，即可求出。的值，從而得出“X）

O

的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)閒（x）=sin（3x+0）的圖象關(guān)于直線X=J對稱，

O

TT4

所以3x——\-（p=——eZ）,

82

得0=q+k乃，k&Z,因?yàn)?彳＜。＜；,所以％=0,0=工，

o22o

所以/(X)=sin

71

對于A：=sin3x,所以/X----為----奇函數(shù)成立，故選項(xiàng)A

24

正確；

jr54

對于B：，函數(shù)f(x)在-五，五上不是單調(diào)函數(shù)；故

4

選項(xiàng)B不正確；

對于C：因?yàn)椤▁)M=l，〃￡L=-1,又因?yàn)閨/(占)-/優(yōu))|=2,所以年一目的最小值

為半個周期，即2看7rx：1=g7i,故選項(xiàng)C正確;

對于D：函數(shù)/(X)的圖象向右平移彳個單位長度得到

O

=sin（3x-萬）=一sin3尤，故選項(xiàng)D不正確;

故選：AC

12.(2023?湖南長沙?雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)=心工，則()

A.曲線y=F(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x

B.函數(shù)〃x)的極小值為-e

21

C.當(dāng)參4。<亞時(shí)，/(x)<a(xT)僅有一個整數(shù)解

D.當(dāng)2e2<avY時(shí)，/(x)<a(x-l)僅有一個整數(shù)解

【答案】AC

【分析】選項(xiàng)A,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；選項(xiàng)B,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求極值即

可；選項(xiàng)C"x)<a(x-l)僅有一個整數(shù)解可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)〃x)=xe*在直線y=a(x-l)下

方的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)只有一個，畫出/'(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】對于選項(xiàng)A,r(x)=(x+l)e\則切線的斜率為左=廣(0)=1,則曲線y=〃x)在

點(diǎn)(0,0)處的切線方程為丫=%故A正確；

對于選項(xiàng)B,〃x)=xe'在(-1,+8)上單調(diào)遞增，在(—,-1)上單調(diào)遞減，則當(dāng)產(chǎn)-1時(shí)，〃力

有極小值，即/(-1)=一片1,故B不正確；

對于選項(xiàng)C,由于〃犬)=比”在(-1,+°°)上單調(diào)遞增，在1)上單調(diào)遞減，則當(dāng)x=-1時(shí)，

f(x)有最小值，即/(—l)=-eL當(dāng)時(shí)，m，<0,則函數(shù)圖象在x軸下方，當(dāng)x>T

時(shí)，/(0)=0,則函數(shù)存在一個零點(diǎn)x=0,故〃x)=xe”的圖象如下圖所示，

函數(shù)，(x)=xe'在直線y=a(x-l)下方的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)只有一個，

點(diǎn)A(-1,一e」)，B(-2,-2e2),其中及小=+=；,⑥&=手=。

21

則上PBV。,即7TT4。<<，故C正確,D不正確.

故選：AC.

13.(2023春?湖南長沙?高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線

C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)尸的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(P，O),若

\AF\=\AM\,貝I]()

A.直線A2的斜率為B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<18Q°

【答案】ACD

【分析】由|A刊=|AM|及拋物線方程求得4(亞,圓),再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表

示出直線A2的方程，聯(lián)立拋物線求得8(0,-,即可求出目判斷B選項(xiàng)；由拋物線

的定義求出|AB|=答即可判斷C選項(xiàng)；由。4.OB<0，MAMB<0^ZAOB,ZAMB為

鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A,易得F《,0),由|AF|=|AM|可得點(diǎn)A在月0的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫

P

坐標(biāo)為2+Pv=3p,

2-T

代入拋物線可得了2=2/，=^/，則4學(xué),與），則直線A3的斜率為/萬=2#,

彳一5

A正確；

對于B,由斜率為2痣L可得直線的方程為了=雙1＞+§P，聯(lián)立拋物線方程得

y2_q°y_p2=0,

設(shè)8（國,%）,貝|1p+%=Yip,則％=一血，代入拋物線得

263

X苫,則一手），

則|。5|=，|小^=乎到。制=mB錯誤；

對于C,由拋物線定義知：|的=子+孑+2=言＞2夕=4的，C正確；

對于D,0402=（7,個）?（爭一手）=￥4+等］一個1一斗＜0,則/A0B為

鈍角，

又M4M=（/坐）.（一,一與一斤與卜當(dāng)卜乎卜乎＜°,則*

為鈍角，

XZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360,則/OAM+/O&W＜180,D正確.

14.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓O：Y+y2=/（r＞0）與雙曲線

2

E:/-匕=1交于A,B,C,。四點(diǎn)，則（）

2

A.廠的取值范圍是[1,+oo）

B.若廠=百，矩形A3CD的面積為空

C.若廠=石，矩形A5CD的對角線所在直線是E的漸近線

D.存在r＞0,使四邊形ABCD為正方形

【答案】BD

【分析】首先求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，即可判斷A,對于B、C,求出交點(diǎn)坐

標(biāo)，即可判斷B、C,設(shè)4（加,加），（加＞1）求出機(jī)、r,即可判斷D.

2

【詳解】雙曲線氏/_、=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（土1,0）,漸近線方程為＞=±后，

2

因?yàn)閳A0:爐+丁=/（廠＞0）與雙曲線￡：尤2_、=1交于A,B,C,。四點(diǎn),

所以廠＞1,故A錯誤;

_f+y2=39

當(dāng)r=g時(shí)圓O：f+y2=3,由4,y2,解得

X-萬=1x2=-

12[3

V15

姮x=-

"V3

所以或，

273空

y=一

—SV152⑨n…2回[7152忖

不妨令&-r-，-I-，B――亍『°「亍’一丁1

(337IJ3

所以6卻=￥，囪|=孚，所以4

46_

則[AC=2，所以AC：y=^^x,

故不是雙曲線的漸近線，即B正確，C錯誤;

3

若四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)A為第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，設(shè)（m＞l）,

貝Um2+nV=/且切2-=1,解得777=72,所以廠=2,

2

所以當(dāng)r=2時(shí)，使四邊形ABCD為正方形，故D正確；

故選：BD

15.（2023?吉林?東北師大附中?？级＃┮阎瘮?shù)〃x）="lna,g（x）=?ln（x-l）,其中

a>0且”1.若函數(shù)6(x)=/(x)-g(x),則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)0<°<1時(shí)，可力有且只有一個零點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，可力有兩個零點(diǎn)

C.當(dāng)?！怠r(shí)，曲線丁=/(力與曲線y=g(x)有且只有兩條公切線

D.若網(wǎng)力為單調(diào)函數(shù)，則葭<”1

【答案】BCD

【分析】A/(x)="lna-aln(x-1),通過舉特例說明該選項(xiàng)錯誤；B.考慮尸(x)=》lnx,

。(幻=乎,求出函數(shù)的單調(diào)性，分析圖象得到網(wǎng)力有兩個零點(diǎn)；C.求出兩曲線的切線方

程，再建立方程組，轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)個數(shù)問題分析得解；D.分版》)單調(diào)遞增和單調(diào)遞減討論，

從而求出e~e工々<1得解.

xxx_1

【詳解】對A,7z(x)=6zlm-aln(x-l),^7z(x)=O,/.6zlntz=?ln(x-l),.\?=loga(x-l),

令a=J,=或a=J,x-l="屋T=]og.(x-l)都成立，//(X)有兩個零點(diǎn)，故A錯

164162

誤；

對B,ax~l\na=ln(x-1),令ax~x=t,—1)Ina=Int,t?=ln(x-1),

x-1

tlnt=(x—1)ln(x—1),(z>1).考慮y=%lnx=尸(%),尸'(x)=lnx+l=0,

：.X=-,:.F(ax-l)=P(x-l),所以函數(shù)F(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在d,+8)單調(diào)遞增，

eee

.-.F(a^)=F(x-l),Aa%-1=x-l,.-.lna=ln(X-1).

x-1

44?、Inx八"、1-lnx八

考慮Q(%)=-----,二Q(%)=n-二,x=e,

xx

所以函數(shù)。(X)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+a>)單調(diào)遞減，Q(e)=±當(dāng)。(」)=—5=-6<0,

ee

e

尤f+oo時(shí)，。⑶>0,所以當(dāng)0<lna<，時(shí)，有兩個零點(diǎn).

e

此時(shí)故B正確；

對C,^k=\na>-,/'(%)=ax-k2,g\x)=-^―,t=x-l.

ex-1

設(shè)切點(diǎn)(下,/(占)),(工2,8。2))，,y-/'(占)=1(%)(天-玉)，>-8(無2)=8'(無2)(尤-々)，

f'(xl)=g'(x2)

/(尤1)-王廣(龍1)=g(x2)-x2g'(x2)'

(T)ax'k~=―--，:.ax,~'k2=---,a''k2=—

X?-19—1，2

(2)Q玉k---(G+1)=QIn%2---(才2+])，k——=In一1,

t2t2t?

-----——In-1,「.1-kt、—kt2(Int?-1),

，/+21n左二-In弓，，1+InL+21n左一kt2InZ2+=0,

設(shè)S=l+lnt+2\nk—kt\nt+kt(t>0),

ii“

所以Sr(t)=—klnt=P(t)1.Pf(t)=--—<0,

t9tt

所以函數(shù)尸⑴在(0,+8)單調(diào)遞減，因?yàn)槭?3=1+e+Q0,P(e)=--k<0,

ee

所以*0ed,e),S'(t0)=0,:.tG(0,0),S'Q)>0Je(r0,+<?),S'?)<0,

e

所以S(f)=O有兩解，所以當(dāng)時(shí)，曲線y=/(x)與曲線y=g(x)有且只有兩條公切線，

所以該選項(xiàng)正確；

對D,若以x)單調(diào)遞增,則〃(x)20,.?.優(yōu)102aH旦

x-1Ina

mam=x-1>0)y=mam,f0,不滿足.

Ina

若加工)單調(diào)遞減，則

h\x)W0,"In?aW---,/.(x—Y)cixN---,met111?---.(jn=%—1>0).

x-1InaIna

所以(3"')胴,考慮>="7;/=(1+加In。)。'=0,.」=-J-不滿足.

Inaina

當(dāng)a>1時(shí)，mamT+oo,不滿足.

111--1

當(dāng)a<1時(shí)，m=---—?a山。<___-,.\alna<---,

In〃Ina(Ina)Ina

Ina■(--—)<ln(--—),-1<ln(--—),.'.0>lnfl>-e,二4a<1.故D正確.

Ina]naIna

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要有四個關(guān)鍵，其一，是邏輯思維，證明命題是錯誤的，只要舉

出反例即可；其二，要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；其三，是理解掌握曲線公切

線的研究方法；其四，要會根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍.

16.(2023?吉林?東北師大附中?？级?直四棱柱AB。-AgGR中，底面ABCD為菱形，

ZBA￡>=60°,AB=AD=AAl=2,P為cq中點(diǎn)，點(diǎn)。在四邊形co2G內(nèi)（包括邊界）運(yùn)

動，下列結(jié)論正確的是（）

B.若AQ〃平面AfP,則AQ的最小值為石

c.若△ABQ的外心為。，則43Ao為定值2

D.若AQ=S，則點(diǎn)。的軌跡長度為《

【答案】AB

【分析】對于A,取。R,DC的中點(diǎn)分別為M,N,,由條件確定。的軌跡，結(jié)合錐體體積公

式判斷A；對于B,由面面平行的判定定理可得平面48尸//平面從而可得AQ〃平

面進(jìn)而可求得A。的最小值；對于C,由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可

判斷，對于D,由條件確定點(diǎn)Q的軌跡為圓弧利用弧長公式求軌跡長度即可判斷.

【詳解】對于A,取。2,DC的中點(diǎn)分別為連接AM,A7V,MN,少。，貝

DC=2DN-MNUD\C,

因?yàn)?+,2+〃=；,所以Z>Q=2；LDN+2〃Z>M,24+2〃=1,

所以Q,M,N三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)。在MN,因?yàn)镼C//AB,MN/RC,

所以平面4臺尸，平面ABP,所以ACV〃平面4BP,

所以點(diǎn)。到平面A8尸的距離為定值，因?yàn)椋珹BP的面積為定值，

所以四面體48PQ的體積為定值，所以A正確；

對于B,因?yàn)锳M〃臺尸，因?yàn)锳Afa平面ABP，BPu平面ABP,

所以4W〃平面ABP,又A。/平面A5P,AQAM=M,AQ,AMu平面AMQ,

所以平面40。〃平面ABP,取。C的中點(diǎn)E,連接PE,則PE//RC,RC//A2,

所以PE//4B,所以4，尻尸,￡四點(diǎn)共面，所以平面AM?！ㄆ矫鍭18PE,

即。在MN上，當(dāng)AQLMN時(shí)，AQ取最小值，

因?yàn)?BAD=60,AB=AD=AAi=2,所以AM==魚,

AN=AD2+DN2-2AD-DNcosl20°=^4+l-2x2xlxj^-1j=77,所以

AM2+MN2=AN2,所以重合，所以AQ的最小值為石，所以B正確;

對于C,若△4BQ的外心為。，過。作OH，AB于a,

因?yàn)?722+22=272,

所以4/40=4?。??+〃0）=4必4〃=3422=4,所以c錯誤;

對于D,過A作4K，G2,垂足為K,因?yàn)椤?gt;2,平面AB|GR,

4長￡=平面4耳69,所以。

因?yàn)镚2=6口，0口匚平面。￡）℃,所以AK,平面。2GC,

因?yàn)镵Qu平面。2GC,所以AKLKQ,

JT71

又在AK，中，A2=2,NAK，=5，AAK=§,

所以KR=A'cos]=l,A,K=A,^sinj=y/3,

在，AKQ中，AlK=\f3,AiQ=yfl,KQ--,所以KQ=2,

則。在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，

在。2,26上取點(diǎn)4,4，使得。4=1,則5=5=2,

所以點(diǎn)。的軌跡為圓弧44,因?yàn)锳K=I,〃A=6，所以

則圓弧4A等于眷，所以D錯誤；

故選：AB

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線面位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，再

結(jié)合錐體體積公式，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問題.

17.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┮阎惷嬷本€。與匕所成角為60,

平面a與平面月的夾角為80，直線。與平面a所成的角為20，點(diǎn)尸為平面￡、夕外一定點(diǎn)，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.過點(diǎn)尸且與直線。、b所成角都是60的直線有4條

B.過點(diǎn)P且與平面夕所成角都是30的直線有4條

C.過點(diǎn)P且與平面a、夕所成角都是40的直線有3條

D.過點(diǎn)尸與平面a成60角，且與直線。成60的直線有3條

【答案】BC

【分析】根據(jù)選項(xiàng)60=—,在利用圖形，可知A有3條；根據(jù)30<—=40,

22

30<180-80=50,可知B有4條；根據(jù)紋=40,40〈幽二組=50可知C有3條;

222

做以P為頂點(diǎn)，且與圓錐中軸線夾角為30,可知該直線條數(shù)，判斷D即可.

【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)楫惷嬷本€。與直線匕所成角為60,

在空間中的點(diǎn)尸作直線a'、V,使得a'//a,b'Hb,設(shè)直線a'、〃確定平面人如下圖所示：

因?yàn)橹本€〃、b所成角為60,則直線儲、〃所成角為60,

在直線"、〃上分別取點(diǎn)A、B,使得/APB=120,

則在平面7內(nèi)/APB的角平分線所在直線4與直線a'、〃所成角均為60,

過點(diǎn)P在平面/外能作兩條