2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)應(yīng)用創(chuàng)新題組4-4解三角形

4.4解三角形

應(yīng)用篇知行合一

應(yīng)用解三角形的實際應(yīng)用

1.（2020朝陽二模,8）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天

文儀器,它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為表）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長

尺（稱為圭）.當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上,圭面上日影長度最長的那一

天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表

的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即NABC）為26.5°,夏至正午太陽高度角（即

NADC）為73.5°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a,則表高（即AC的長）

為（）

夏至日總

夏至正

Aθsin53o

2sin47o

B2sin47°

,asin53°

Calan26.50tan73.5°

c,tan47o

口asin26.5°sin73.5°

sin47o

答案D由題意可知NBAD=73.5°-26.5°=47°,在ABAD中，由.%,小.得

SinZ.BADSinZABDr

.，.黑所以AD-吧等：.?,又因為在RtΔACD中,今sin/ADC=Sin73.5°,所以

sιn47sιn26.5sιn47AD

AC=AD?sin73.5°-邠汨26.50s,73.5°,故選?

sιn47

2.（2022屆河南駐馬店11月監(jiān)測，10I實際生活）黃鶴樓位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山

之巔,瀕臨萬里長江,為武漢市地標(biāo)建筑.某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度,在大樓的一側(cè)找到

一座高為30（√3-l）m的建筑物AB,在它們之間的地面上的點M（B,M,D三點共線）處測得樓頂

A、樓頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測得樓頂C的仰角為15°,則估算黃鶴樓

的高度CD為（）

A.2θV3mB.20√2mC.30√3mD.30√2m

答案C在RtZXABM中，∕AMB=15°,則60五折）.

sιn15

在AACM中，因為NCAM=I5°+15°=30°,NCMA=I80°-（60°+15°）=105°,所以

ZMCA=180o-105°-30°=45°.因為一名；.O,所以CM邛X60√?=60（m）,故

SinZAlzlCSinZJO2

CD=CMsin60o=30√3（m）.

3.（2022屆陜西百校聯(lián)盟一模,9I實際生活）為捍衛(wèi)國家南海主權(quán),我國海軍在南海海域進

行例行巡邏,某一天，一艘巡邏艦從海島A出發(fā),沿南偏東75°的方向航行到達海島B,然后從

海島B出發(fā),沿北偏東45°的方向航行了60近海里到達海島C.若巡邏艦從海島A以北偏東

60°的方向出發(fā)沿直線到達海島C,則航行路程AC的長為（）

A.10√5海里B.30展海里

C.40g海里D.60禽海里

2

答案D如圖，由題意可知，在aABC

中，∕BAC=30°+15°=45°,NABC=75°+45°=120°,BC=60夜海里，由正弦定理得

sin‰-siπ‰即備*所以AC=6。調(diào)X弓Xa6。戰(zhàn)（海里），故選D.

2.（2022屆豫東豫北十校聯(lián)考（二），9I實際生活）2021年第6號臺風(fēng)“煙花”于7月25日

12時30分前后登陸舟山普陀區(qū).如圖,A點正北方向的C市受到臺風(fēng)侵襲,一艘船從A點出發(fā)

前去實施救援，以24nmile∕h的速度向正北航行,在A處看到S島在船的北偏東15°方向,船

航行前后到達B處,在B處看到S島在船的北偏東450方向.此船從A點到C市航行過程中

距離S島的最近距離為（）

f北

/s4東

7

A

A.9V2nmiIe

B.9（√2-l）nmile

C.9（V3-l）nmile

D.9（√3-√2）nmile

答案C由題意知∕SBA=135°,AB=24X318,∕ASB=30°,在AABS中，由正弦定理得

0.Qχ√6-√2

-?-?-,.?.SB-朋二魯-T--9（=-√?,又船航行過程中到S島的最近距離為

sιnl5sιn30sιn301

2

ΔABS中AB邊上的高，設(shè)AB邊上的高為h則

h=SB?sin（180o-ZABS）=9（√6-√2）×sin45o=9（通一1）,即從A點至IJC市航行過程中距離S

島的最近距離為9（√5-l）nmile.故選C.

3.（2022屆湖南三湘名校、五市十校聯(lián)考，16I生活實踐情境）

如圖是2021年9月17日13時34分神舟十二號返回艙（圖中C）接近地面的場景.傘面是表

面積為1200t∏2的半球面（不含底面圓），傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍,直

線BC與水平地面垂直于D,D和觀測點A在同一水平線上,在A測得點B的仰角∕DAB=30°,

3

且sinZBAC=?,則此時返回艙底端離地面的距離CD=5=3.14,SinZACB嚅,

ZvZ41√247

計算過程中,球半徑四舍五入保留整數(shù)J.

答案20m

解析設(shè)半球的半徑為rm,則2πr2=1200,.*.rj?14,

ABBC

ΛBC=5r=70m.在aABC中，由正弦定理得則