2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)應(yīng)用創(chuàng)新題組4-4解三角形

4.4解三角形

應(yīng)用篇知行合一

應(yīng)用解三角形的實(shí)際應(yīng)用

1.（2020朝陽(yáng)二模,8）圭表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天

文儀器,它包括一根直立的標(biāo)竿（稱(chēng)為表）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)

尺（稱(chēng)為圭）.當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上,圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一

天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至.圖2是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表

的示意圖，已知北京冬至正午太陽(yáng)高度角（即NABC）為26.5°,夏至正午太陽(yáng)高度角（即

NADC）為73.5°,圭面上冬至線(xiàn)與夏至線(xiàn)之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為a,則表高（即AC的長(zhǎng)）

為（）

夏至日總

夏至正

Aθsin53o

2sin47o

B2sin47°

,asin53°

Calan26.50tan73.5°

c,tan47o

口asin26.5°sin73.5°

sin47o

答案D由題意可知NBAD=73.5°-26.5°=47°,在ABAD中，由.%,小.得

SinZ.BADSinZABDr

.，.黑所以AD-吧等：.?,又因?yàn)樵赗tΔACD中,今sin/ADC=Sin73.5°,所以

sιn47sιn26.5sιn47AD

AC=AD?sin73.5°-邠汨26.50s,73.5°,故選?

sιn47

2.（2022屆河南駐馬店11月監(jiān)測(cè)，10I實(shí)際生活）黃鶴樓位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山

之巔,瀕臨萬(wàn)里長(zhǎng)江,為武漢市地標(biāo)建筑.某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度,在大樓的一側(cè)找到

一座高為30（√3-l）m的建筑物AB,在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B,M,D三點(diǎn)共線(xiàn)）處測(cè)得樓頂

A、樓頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測(cè)得樓頂C的仰角為15°,則估算黃鶴樓

的高度CD為（）

A.2θV3mB.20√2mC.30√3mD.30√2m

答案C在RtZXABM中，∕AMB=15°,則60五折）.

sιn15

在AACM中，因?yàn)镹CAM=I5°+15°=30°,NCMA=I80°-（60°+15°）=105°,所以

ZMCA=180o-105°-30°=45°.因?yàn)橐幻?O,所以CM邛X60√?=60（m）,故

SinZAlzlCSinZJO2

CD=CMsin60o=30√3（m）.

3.（2022屆陜西百校聯(lián)盟一模,9I實(shí)際生活）為捍衛(wèi)國(guó)家南海主權(quán),我國(guó)海軍在南海海域進(jìn)

行例行巡邏,某一天，一艘巡邏艦從海島A出發(fā),沿南偏東75°的方向航行到達(dá)海島B,然后從

海島B出發(fā),沿北偏東45°的方向航行了60近海里到達(dá)海島C.若巡邏艦從海島A以北偏東

60°的方向出發(fā)沿直線(xiàn)到達(dá)海島C,則航行路程AC的長(zhǎng)為（）

A.10√5海里B.30展海里

C.40g海里D.60禽海里

2

答案D如圖，由題意可知，在aABC

中，∕BAC=30°+15°=45°,NABC=75°+45°=120°,BC=60夜海里，由正弦定理得

sin‰-siπ‰即備*所以AC=6。調(diào)X弓Xa6。戰(zhàn)（海里），故選D.

2.（2022屆豫東豫北十校聯(lián)考（二），9I實(shí)際生活）2021年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”于7月25日

12時(shí)30分前后登陸舟山普陀區(qū).如圖,A點(diǎn)正北方向的C市受到臺(tái)風(fēng)侵襲,一艘船從A點(diǎn)出發(fā)

前去實(shí)施救援，以24nmile∕h的速度向正北航行,在A處看到S島在船的北偏東15°方向,船

航行前后到達(dá)B處,在B處看到S島在船的北偏東450方向.此船從A點(diǎn)到C市航行過(guò)程中

距離S島的最近距離為（）

f北

/s4東

7

A

A.9V2nmiIe

B.9（√2-l）nmile

C.9（V3-l）nmile

D.9（√3-√2）nmile

答案C由題意知∕SBA=135°,AB=24X318,∕ASB=30°,在AABS中，由正弦定理得

0.Qχ√6-√2

-?-?-,.?.SB-朋二魯-T--9（=-√?,又船航行過(guò)程中到S島的最近距離為

sιnl5sιn30sιn301

2

ΔABS中AB邊上的高，設(shè)AB邊上的高為h則

h=SB?sin（180o-ZABS）=9（√6-√2）×sin45o=9（通一1）,即從A點(diǎn)至IJC市航行過(guò)程中距離S

島的最近距離為9（√5-l）nmile.故選C.

3.（2022屆湖南三湘名校、五市十校聯(lián)考，16I生活實(shí)踐情境）

如圖是2021年9月17日13時(shí)34分神舟十二號(hào)返回艙（圖中C）接近地面的場(chǎng)景.傘面是表

面積為1200t∏2的半球面（不含底面圓），傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍,直

線(xiàn)BC與水平地面垂直于D,D和觀(guān)測(cè)點(diǎn)A在同一水平線(xiàn)上,在A測(cè)得點(diǎn)B的仰角∕DAB=30°,

3

且sinZBAC=?,則此時(shí)返回艙底端離地面的距離CD=5=3.14,SinZACB嚅,

ZvZ41√247

計(jì)算過(guò)程中,球半徑四舍五入保留整數(shù)J.

答案20m

解析設(shè)半球的半徑為rm,則2πr2=1200,.*.rj?14,

ABBC

ΛBC=5r=70m.在aABC中，由正弦定理得則