2022-2023學(xué)年上海華二附中高二年級(jí)上冊(cè)開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試卷及答案

華二附中2022學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)開學(xué)摸底測(cè)驗(yàn)

2022.9

一、填空題(本大題共54分，其中1-6小題每遺4分,7-12題每題5分)

3"-1

1.lim——：——

283向+1

2.已知cos6=-g，則sin|e+')=:

3.過點(diǎn)(-1,-2)斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程是：

4.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=1-i(i為虛數(shù)單位)，則其共物復(fù)數(shù)z=;

5.數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S“=+1,則an=;

6.已知向量2=(1,-2),6=(3,4),則向量1在向量B的方向上的投影向量為

7.已知直線I的一個(gè)法向量是ii=(1,-2)，則/的傾斜角的大小是：

8.已知復(fù)數(shù)z=a+bi｛a,beR)滿足|z|=1，則ab范圍是;

9.已知平面向量％B滿足|2)+B|=|1-3B|=1,則|5+B|的取值范圍是;

10.已知數(shù)列｛氏｝滿足=l,a?+1-ane｛%,勺,…,％｝("€N*),記數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為

S”.若對(duì)所有滿足條件的｛q,｝，Eo的最大值為A/、最小值為加，則

M+m-;

11.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足q=2,4=6,%=12,數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為5“，且

*二^g=3(〃wN*且〃22).若［x］表示不超過x的最大整數(shù),&=9盧，數(shù)列

出｝的前〃項(xiàng)和為7；，則T2020=;

1

12.向量集合S=｛Ha=（x,y）,x,yeR].對(duì)于任意&，夕eS;以及任意/lw（O,l），都有

+（1-㈤/eS,則稱S為“C類集”.現(xiàn)有四個(gè)命題：

⑴若S為“C類集”，則集合〃=｛曲|萬eS｝（〃為實(shí)常數(shù)）也是“C類集”；

⑵若S,T都是“C類集”，則集合/=產(chǎn)+雨€葉也是“C類集”;

⑶若4,A2都是“c類集”，則4uA2也是“c類集”；

（4）若4,4都是“c類集”，且交集不是空集，則4cA2也是“c類集”.

其中正確的命題有；（填寫所有正確命題的序號(hào)）

二、選擇題（本大題共20分，每題5分）

2〃一1n

13.用數(shù)學(xué)歸納法正明j->--y對(duì)任意n>k,（n,k€N）的自然數(shù)都成立，則k的最小值

為（）

A.l.B.2.C.3.D.4.

14.已知。是直線的傾斜角，則"sina=孝”是二；”的（）

4.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

a—4ci>4

15.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)q=a,且0<〃44,%+1=《""，S“是此數(shù)列的前〃項(xiàng)

〔6-%a?<4

和，則以下結(jié)論正確的是（）

A.不存在a和〃使得S,,=2021B.不存在a和〃使得S,,=2022

C.不存在。和〃使得Sn=2023D.不存在。和〃使得Sn=2024

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（-1,0）、5（1,0）.若對(duì)于y軸上的任意〃個(gè)不同的點(diǎn)

E,…匕,總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)6，5&=L2,…,使得卜in—sinN/P/區(qū):,

2

則〃的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

三、簡答題(本大題共76分)

17.(本題共14分，有2個(gè)小題，其中第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

設(shè)直線I的方程是2x+吵-1=0，其傾斜角為a.

nTT

(1)若工＜a＜生，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

63

(2)若將傾斜角a用m表示，求a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系.

18.(本題14分,其中第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

對(duì)任意復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yeR),定義g(z)=3*(cosy+isiny).

(1)若g(z)=3，求復(fù)數(shù)z；

⑵若z=a+bi(a,beH)中的“為常數(shù)，則令g(z)=/(b),對(duì)任意6,是否一定有常數(shù)

m(m豐0)使得/(b+〃?)=/(b)?若存在，則m是否唯一?請(qǐng)說明理由.

3

19.（本題共14分,其中第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

某地實(shí)行垃圾分類后，政府決定為A,B,C三個(gè)小區(qū)建造一座垃圾處理站〃，集中處理三個(gè)小

區(qū)的濕垃圾.已知/在8的正西方向，。在8的北偏東30°方向，〃在8的北偏西20°方向,

且在C的北偏西45°方向，小區(qū)A與B相距2Km,8與C相距3Km.

（1）求垃圾處理站M與小區(qū)。之間的距離；

（2）假設(shè)有大、小兩種運(yùn)輸車，車在往返各小區(qū)、處理站之間都是直線行駛，一輛大車的行車

費(fèi)用為每公里a元，一輛小車的行車費(fèi)用為每公里4。元（其中人為滿足10（M是1-99內(nèi)的正

整數(shù)）.現(xiàn)有兩種運(yùn)輸濕垃圾的方案：

方案1:只用一輛大車運(yùn)輸，從M出發(fā)，依次經(jīng)過A,B,C再由。返回到M：

方案2:先用兩輛小車分別從A、C運(yùn)送到8燃后并各自返回到A、C,,輛大車從M直接到8

再返回到〃.試比較那種方案更合算?請(qǐng)說明理由.

（本大題結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

4

20.(本題共16分,其中第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)

已知函數(shù)f(x)=sin((yx+^)((y>0,0<^<^)的周期為萬，圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為(￡■,())

將函數(shù)/(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖像向右平移

JT

3個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖像.

(1)求函數(shù)/(X)與g(x)的解析式；

(2)是否存在/€仁,()使得/(%)苗(5),/仁)8a)按照某種順序成等差數(shù)列?若存

在，諸求出該數(shù)列公差絕對(duì)值的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

(3)求實(shí)數(shù)。與正整數(shù)〃，使得/(x)=/。)+卷。)在(0,〃萬)內(nèi)恰有2016個(gè)零點(diǎn).

5

21.（本題共18分,其中第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

定義:若數(shù)列｛c“｝和｛<｝滿足q,>0,<〉0,且c?+1=蕓（〃eN”,則稱數(shù)列｛<｝是

化+力

數(shù)列｛c.｝的“伴隨數(shù)列”.已知數(shù)列｛〃｝是數(shù)列｛%｝的伴隨數(shù)列，試解答下列問題：

（1）若b“=an（〃eN*）,4=應(yīng),求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

⑵若如+為常數(shù)，求證:數(shù)列1%，是等差數(shù)列；

冊(cè)%

（3）若"+1=夜%（〃€^1"）,數(shù)列｛?！埃堑缺葦?shù)歹!|,求力、4的數(shù)值.

6

參考答案

一、填空題

12,〃=1

'5;3.y+2=3(x+l);4.1;5.a=<；6.-1;

5n2n-l,n>2

9.1<|a+^|<|-;10.1078；11.2021

7.arctan(-2);8.12.①②④

IL設(shè)數(shù)列｛a“｝滿足q=2,與=6,%=12，數(shù)歹!l｛%｝前n項(xiàng)和為Sn,且

黑二^^^=3(〃eN*且〃22).若因表示不超過x的最大整數(shù),"=("I/，數(shù)列

S“+「S,+1[a_

低｝的前〃項(xiàng)和為Tn，則％20=；

【答案】2021

【解析】???當(dāng)啰2時(shí)，S"±2-S曰+1=3,...%也+4田+@+1=3,...a,"-2a?+l+a?=2,

S.+「S“+1.+1

；?。“+2-。“+1-(％+i-%)=2，：.｛a“+]｝從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列又va｝=2,a2=6,%

=12,-2)一一《)=2,用一%=4+2(〃-1)=2〃+2,當(dāng)時(shí)，an=(a?

2/7?

)+(a?_1-a,一2)+…+(%—4)+卬=+2(〃-1)+??■+2x2+2=2x〃。；。=

.(fl+1)-"+1/、—、、|,、cn_l,(〃+IL〃+l,f,

+1),-------------當(dāng)〃)2時(shí)，b“=-----------------=----—1.又，：b、=

明?L%」L〃一

(l+l)2cT

=2,7^O2o-----=2+2019=2021.故選C.

%a2020_

12.向量集合S={H2=(x,y),xjeR}.對(duì)于任意a,￡eS;以及任意/le(0,l)，都有

+(1—幾)AeS,則稱S為“C類集現(xiàn)有四個(gè)命題:

⑴若S為"C類集”，則集合〃=萬eS}(〃為實(shí)常數(shù))也是“。類集”;

7

⑵若S,T都是“C類集”，則集合/={￡+距"}也是“C類集”；

(3)若M,A2都是“C類集”，則&uA2也是“C類集”；

(4)若同,A2都是“c類集”，且交集不是空集，則4cA2也是“c類集”.

其中正確的命題有;(填寫所有正確命題的序號(hào))

【答案】①②④

【解析】(1)若S為“C類集”，則對(duì)于任意5、6eS,以及任意丸e(0,1),都有

+(1—/l)AeS，對(duì)于集合〃={〃萬|萬eS}(〃為實(shí)常數(shù)),可得對(duì)于任意向小BwM,以

及任意2e(0,1)都有加1+(1-4)"eM，故正確；

(2)若S為“C類集”，則對(duì)于任意%,反eS,以及任意4e(0,1),都有+(1-4)反eS，若

T為"C類集"，則對(duì)于任意了,瓦eT，以及任意2e(0,1)，都有2^+(1-⑷瓦eT可得對(duì)

于任意ay+a'1&M,"+瓦6/，以及任意2e(0,l),都有

4(%+%)+(1-2)(夕?+夕2)eM，故正確；

⑶若4為“C類集”，則對(duì)于任意)，豆e4，以及任意2e(0,1),都有力1+(1-4)耳e4，

若A2為“C類集”，則對(duì)于任意之,瓦e4，以及任意幾e(0,1)，都有九2+°-％)瓦e4,設(shè)

M=4u^2，〃為4，4中元素的合并而得，且不重復(fù)，不符合“。類集”的定義，故錯(cuò)誤；

(4)若同為“C類集”，則對(duì)于任意)，"e4，以及任意2e(0,1)，都有％]+(1—4)耳e4,

若A2為“C類集”，則對(duì)于任意0，區(qū)e4，以及任意，€(0,1)，都有％2+(1-4)瓦e%,設(shè)

M=4c〃2，M為4、4中元素的公共部分，且不為空集，符合“C類集”的定義，故正確.

二、選擇題

13.C14.B15.A16.C

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(-1,0)、5(1,0).若對(duì)于y軸上的任意〃個(gè)不同的點(diǎn)

8

m?P.，總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)匕5（i,/=1,2,…,〃），使得|sinAAP{B-sin乙〃型上:,

則〃的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可知OWsinN/eBWLOWsin//月84,故

卜in乙49一sin乙華*[0』].因?yàn)榭偞嬖谄?《使卜in乙巧8—sin乙巧8歸；，所以可

將sinN/E/的值域分成°，；），四個(gè)區(qū)間，則根據(jù)抽屜原

理,〃>1=4,故〃的最小值為5.故選C.

4

三、解答題

arctan(--),/??<0

m

(

兀八

17.(1)-2^3,-(2)a=<—.m-0

2

7t-arctan(一--),m>0

m

18.(1)z=l+2k/ri，(keZ)

,c，，、△八、cos(b+加)=3"cosb口口/cos(6+加)=cos6

⑵由/(6+加)=/(6),則L」《3".、》,人即1?/入、.入，

[3sin(6+m)-3smb[sin(Z?+加)=sinb

所以加=2k兀,k￡Z,所以用不是唯一的；

19.(1)x5.44切？

11

(2)在4MBe中，由-MB-=—，得MB=3旦吧x6.857

sin105sin25sin25

在△中,AMBA=70°,48=2MAy]AB2+MB1-2AB-MB-cos70°=6.452

第一種方案費(fèi)用：

9

=a(\MA\+\AB\+\BC\+\CM\)a(6.452+2+3+5.438)=16.89〃

第二種方案費(fèi)用：=2。|MB\+2Aa(\AB\+\BC\)a(13.713+102)

y>y2時(shí),0.01W4<0.32，選擇方案二合算;

乂<y2時(shí),0.32<玄0.99，選擇方一合算

20.(1)解:由函數(shù)/(x)=sin(ox+9)的周期為不,(y>0得切=2,又曲線y=f(x)的一個(gè)

對(duì)稱中心為(7,oJ，9€(O,萬)，故f：J=sin(2x*+e]=0，得9=1?，所以

/(x)=cos2x.將函數(shù)/(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得

rr

y=cosx的圖像，再將N=COSX的圖像向左平移卷個(gè)單位長度后得到函數(shù)

g(x)=cos(x-m)的圖像，所以g(x)=sinx.

(B—

(2)存在且唯一，注」」

11I22J

(3)a=1,”=1344或a==1344

21.定義:若數(shù)列｛&｝和｛4,｝滿足c“>0,d”>0,且c,M=:",+4，〃eN*,則稱數(shù)列｛*｝

舊+戊

是數(shù)列｛qj的“伴隨數(shù)列''.已知數(shù)列｛〃｝是數(shù)列｛4｝的伴隨數(shù)列，試解答下列問題：

(1)若”,=a"(〃wN*),“=后，求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式a.；

,,f/,y

(2)若“M=l+%(〃6N*),4?為常數(shù)，求證:數(shù)列1%1是等差數(shù)列；

%q

(3)若4+]=后％(〃€?4*),數(shù)列｛?！埃堑缺葦?shù)歹1」,求6、4的數(shù)值.

10

【答案】(1)%=啦,〃eN*

(2)???〃川=l+%(〃eN*)%>0,2>0,且%=,nwN*

%M十斤

1+九](、2

?—,%=,%，組~=J1+%,〃wN*°

、+32%'

(卜y(by[/,yl/、2

???3-2=L〃￡N*.?.數(shù)列二:是首項(xiàng)為幺、公差為1的等差數(shù)列。

<an+\JI〃，J[\an)\bj

a}=y/2

(3)<1.

4=0

(解析】⑴根據(jù)題意，有a>0,b,>0,且a=:"+如

nn+],nGN*0

g+b：

由6“二a”(〃wN),/?.=V2，得a..,=」...-=五,ax=b,=V2,/?GN*

27117

M+an

所以a,,=后,〃eN*。

(2)v〃+]=l+%(〃eN*)a“>0,b,>0,且a,_2,+4neN*

+1/90，〃e/v

%加+b；

1+%r

(丫

-a--l%「b“.%_1h

+2,n&N\

a

rkir(d\n)

(,、2zx2[■/,\2'(■V

3-2