2023屆高考數(shù)學(xué)試題一輪總復(fù)習(xí)題型練習(xí)第12講　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義

第12講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

考點(diǎn)1：對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值

/對(duì)數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

?喜在2:對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用∈'”里函數(shù)圖象的辨析

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)「婺函數(shù)圖象求逑的范圍

\利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性喇%J1

［考住3：重?cái)?shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用求解對(duì)數(shù)方程、產(chǎn)三崛題

\、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性值域問(wèn)疑

須

走進(jìn)教材?自主回顧//////////////////////////////

L對(duì)數(shù)的概念

如果爐=M“>0,且αWl),那么數(shù)X叫做以α為底N的對(duì)數(shù)，記作X=,其中α叫做對(duì)數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù).

2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式

(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①。叫，=；②IOgM=伙”>0,且α≠l).

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果α>0且ori,M>Q,N>0,那么

①I(mǎi)oga(MM=；

?M

②∣og"W=；

③IogM=5∈R).

(3)換底公式：log/=(">0,且αWl,6>0,c>0,月.cWl).

3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=logd(">0,且α≠l)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，定義域是(O,+∞).

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>?0<a<?

y

『1產(chǎn)IogMX=I

3，。)一

圖象

~0

____1T=IogM

定義域：_________

性質(zhì)值域：

當(dāng)X=I時(shí)?，y=0,即過(guò)定點(diǎn)_________

當(dāng)x>l時(shí)，)>0；當(dāng)x>?時(shí)，γ<0;

當(dāng)(XXVl時(shí)，y<0當(dāng)OaVl時(shí)，y>0

在(0,+8)上是_在(0,+8)上是—

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y="(α>0,且α≠l)與對(duì)數(shù)函數(shù)(a>O,且。云1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱.它們的定義域和值域正好互換.

考點(diǎn)探究?題型突破

A考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值

［名師點(diǎn)睛］

1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用蕊的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)露的形式，使蕊的底數(shù)最簡(jiǎn)，然

后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.

2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、

商、系再運(yùn)算.

3.ab=Λ%=IogJV(4>O,且α≠D是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.

［典例］

1.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))己知Iga+8=2M"=10,則〃=；b=.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))化簡(jiǎn)求值

s2sl

(I)Iog31+Iog3y-3'°'+(√2-l)';

(2)(Ig2)2+lg5×lg2+lg5+lnl；.

2

(3)In2?+Iog37Iog781-In2-Iog2√2-Iog2√8;.

(4)2鶴3-log,7Iog79+logιs6+logl83.

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)計(jì)算3'叫2+27g+Ig5()+Ig2；

(2)已知Iog2［log3(lgx)］=l,求實(shí)數(shù)X的值；

k

(3)若18"=5,‰9=b,用α,b,Iog3645.

［舉一反三］

1.(多選)(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)α,匕，c都是正數(shù)，且4"=6"=9’,那么(???????)

02/26

A.cιb+be=2acB.ab÷be=acC.—=—+-D.-=-------

cabcba

o

2.(2022?山東濱州?二模)?og2si∏15-Iog,cos345°=

2

,32

,og53

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)2log32-log3-+log38-5;

(2)(log2125+log425+Iogs5)?(log52+log254+log1258).

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))化簡(jiǎn)求值：

71

l8j5

(1)Iog35-Iog315-(log,5)^--~-+3°.

3

lθg5

(2)(Ig2)2+lg20×lg5÷3l0fo4;

ln2

(3)Ig20-Ig2+Iog23?Iog916-e+2sin330.

(4)Ig25+∣lg8+lg5?lg2θ+(lg2)2.

(5)(log,3+Iog53)?(Iog35+Iog95)lg2.

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)求∣og?上bg38∕0g∣27的值.

255

(2)已知log,>5=α,36=7,試用α,b表示k‰35

>考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

［名師點(diǎn)睛］

L在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低

點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

［典例］

1.（2022?山東濰坊?二模）已知函數(shù)〃尤）=IOg“（x-。）（α>0且"1）的圖像如圖所示，則以下說(shuō)法正確

的是(???????)

A.a+h<0B.ab<-?c.(W<1D.1ogJ?∣>0

2.（2022?廣東廣州?二模）函數(shù)/（x）=Sin萬(wàn)X-Inl2x-3∣的所有零點(diǎn)之和為.

［舉一反三］

1.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=log"（-x）,y=?（“>0）,且αwl的圖象

2.（2022?江蘇?二模）已知實(shí)數(shù)4，b,C滿足hiα=2%=cT,則下列關(guān)系式中不可能成立的是（??????？）

A.a>b>cB.a>Ob

C.c>a>bD.c>b>a

?考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

［名師點(diǎn)睛］

L比較對(duì)數(shù)值的大小與解形如1。&</（工）>108*（》）的不等式，主要是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解，如果”的

取值不確定，需要分”>l與0<α<1兩種情況討論.

2.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必

須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而

成的.

［典例］

1.（2022?浙江金華三模）若函數(shù)/（》）=彳（2,-2-，）,設(shè)α=g,?=log4∣,c=Iog5?,則下列選項(xiàng)正確

的是(9999999999)

04/26

A./(a)<∕(ft)<∕(c)B./(a)<∕(c)<∕(ft)

C./(?)<∕(α)<∕(c)D./(c)<∕(α)<∕(?)

2.(2022?福建莆田?三模)已知α=2°',6=log"3,c=log52,則(???????)

A.a>c>bB.b>c>a

C.a>b>cD.h>a>c

3.(2022?湖北?二模)己知函數(shù)，(X)=Ig(IXlT)+2,+2-，，則使不等式F(X+l)<f(2x)成立的X的取值范

圍是(???????)

A.(―∞,-1)D(I,+∞)B.(-2,-1)

C.I-∞,-7I(h÷∞)D.(-∞,-2)1(l,+∞)

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=IogJl+4')-x,則下列說(shuō)法正確的是(??????？)

A.函數(shù)/(x)在(f,θ］上為增函數(shù)B.函數(shù)/(x)的值域?yàn)镽

C.函數(shù)/(χ)是奇函數(shù)D.函數(shù)/(χ)是偶函數(shù)

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))知函數(shù)/(x)=k‰(A√-2x+6)(a>0,"l)

(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(2)若函數(shù)/(x)在［1,2］上恒有意義，求k的取值范圍;

(3)是否存在實(shí)數(shù)3使得函數(shù)/(x)在區(qū)間23］上為增函數(shù)，且最大值為2?若存在，求出Z的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

［舉一反三］

1.(2022?湖南?岳陽(yáng)一中一模)設(shè)α=logs4,?=log43,c=g),則(???????)

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

2.(2022?北京房山?二模)已知函數(shù)/(x)=IbgaX,則不等式/3<2的解集為(???????)

A.(T,0)50,4)B.(0,4)

c

?(白)D.

3.(2022?北京昌平?二模)已知函數(shù)/(X)=OT?-40v+2(α<0),則關(guān)于X的不等式〃x)>log?x的解集是

(9999999)

A.(-∞,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,+∞)

4.(2022?北京豐臺(tái)?二模)已知偶函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+向上單調(diào)遞減.若"lgx)>∕(l),則X的取值范

圍是(???????)

。,哈卜(1'+8)

B.

D.(0,總U(IO,+8)

(萬(wàn))“并，則/(x)≤gx的解集為(???????)

5.(2022?河北?高三階段練習(xí))已知函數(shù)

log4(x+l),-l<x<l

A.(-∞,0]B.(-l,0]C.(-l,θ]u[l,+∞)D.[l,+∞)

6.(2022?重慶?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(幻=Iog.(-3/+4以-1)有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(??????？)

C.0,—D.(W,+oo)

/I?ax2-2x+4/1~|

7.(2022?江蘇?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=；J的值域?yàn)椋邸?，記?若不等式log“Q⑷)<log“(2,T)

在Xe［1,2］上恒成立，則f的取值范圍是(???????)

A.dB.,+∞^C.(—8⑵D.(0,2)

8.(多選)(2022?江蘇?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-log2X,下列四個(gè)命題正確的是(???????).

A.函數(shù)/(IM)為偶函數(shù)

B.若f(α)=∣∕(b)∣,其中α>0,?>0,a<?<h,則成=1

C.函數(shù)/(-Y+2x)在(1,3)上為單調(diào)遞增函數(shù)

D.若0<“<l,則∣∕(l+α)∣<∣∕(l-α)∣

9.(多選)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，W∕(x+l)=-∕(x),

且當(dāng)xe［0,l)時(shí)，/(x)=l0g2(x+l).給出下列命題，其中正確的命題的為(???????)

06/26

A./(2016)+∕(-2017)=0

B.函數(shù)/(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)

C.直線y=χ與函數(shù)/(X)的圖像有I個(gè)交點(diǎn)

D.函數(shù)/(x)的值域?yàn)?-U)

10.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=∕-2x+3,g(x)=?og2x+m,對(duì)任意的美,x2e［?,4］有

/(Λ1)>g(Λ2)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

11.(2022?北京?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=∣og,,x(a>0),且"1),設(shè)α>l,函數(shù)y=∣log,,可的定義域

為阿，n］(m<n),值域?yàn)椋?,1］,定義“區(qū)間［成，川的長(zhǎng)度等于〃一機(jī)“，若區(qū)間的，川長(zhǎng)度的最小值為之,求

實(shí)數(shù)a的值；

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=IOg,,(3-αx)(α>0,且α≠l).

(1)求/(x)的定義域.

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)〃x)在區(qū)間口，2］上單調(diào)遞減，并且最大值為2?若存在，求出。的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/(x)=lOg,,(2-x)+loglj(x+4),其中α>l.

(1)求函數(shù)/O)的定義域；

(2)求函數(shù)AX)圖像所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)；

(3)若函數(shù)/(X)的最大值為2,求"的值

第12講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

考點(diǎn)1：對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值

對(duì)數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

考點(diǎn)2:對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的辨析

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象求參數(shù)的范圍

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小

考點(diǎn)3:對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用求解對(duì)數(shù)方程、不等式的問(wèn)題

對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域問(wèn)題

走進(jìn)教材?自主回顧//////////////////////////////

1.對(duì)數(shù)的概念

如果∕=Mα>O,且αWl),那么數(shù)X叫做以α為底N的對(duì)數(shù)，記作X=IogJV,其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N

叫做真數(shù).

2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式

⑴對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①αk?N=M②IOgM=仇”>0,且“#1).

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果“>0且“≠l,M>0,N>0,那么

Φlogu(M∕V)=log,,M+IogJV;

CM

②Iog“討-IognM-IogflTV;

fl

(3)logαM=nlogaM(∕2∈R).

(3)換底公式：IogJ?=出H(a>O,且?>0,c>0,且CW1).

3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=log,κ(α>0,且α*l)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，定義域是(O,+∞).

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>?O<tz<l

y

卜1）=1OgMx=l

（））

圖象Ua,,

OaO）~~o

產(chǎn)log,,x

定義域：(0>+°o)

值域：K

當(dāng)X=I時(shí)，y=0,即過(guò)定點(diǎn)(1,0)

性質(zhì)

當(dāng)x>l時(shí)，)>0；當(dāng)x>l時(shí)，y<0；

當(dāng)O<χvl時(shí)，y<0當(dāng)O4<l時(shí)，y>0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=α'(α>O,且"Wl)與對(duì)數(shù)函數(shù)γ=k‰r(a>O,且αWl)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線V=X

對(duì)稱.它們的定義域和值域正好互換.

能

考點(diǎn)探究?題型突破//////////////////////////////

>考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值

08/26

［名師點(diǎn)睛］

1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用森的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)繇的形式，使賽的底數(shù)最簡(jiǎn)，然

后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.

2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、

商、賽再運(yùn)算.

3.ab=N7b=logJV(a>0,且是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.

［典例］

1.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))己知lgα+匕=2,α"=10,則。=；b=

【答案】????10????1

i

【解析】a=10=>Z>=Iogfl10,

.?,lgα+?=?+logfl10=2,解得Iog“10=l=>α=10,.?b=?.

lɑgjθ

故答案為：10；1.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))化簡(jiǎn)求值

lυ82s

(1)log3→log3y-3'+(√2-l)'';

(2)(Ig2)2+lg5×lg2+lg5+lnl；.

2

(3)In2e+Iog37?Iog781-In2-Iog2?∣2-Iog2Vδ；.

tog23

(4)2-log,7-Iog79+log,86+Iogl83.

【解】⑴1嗚?+小片一3爾?+(夜-11

0

=log39-2÷(√2-l)=2-2÷l=l;

2

(2)(Ig2)÷lg5×lg2÷lg5+lnl

=(lg2+lg5)×lg2÷lg5+0=lg2+lg5=l；

2

(3)↑n2e÷log37?log781-ln2-log2√2-Iog2冊(cè)

2In7In?

=In2+Ine~+---------------In2-log,22-log?22

In3In7

13

=In2+2+4—In2--------=4；

22

log23

(4)2-log,7Iog79+Iogls6+Iogis3

=3一號(hào).詈+log∣a(6x3)=3-2+l=2

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)計(jì)算3幅2+27、Ig50+Ig2；

(2)已知Iog2[log3(lgx)]=1,求實(shí)數(shù)X的值；

(3)若18"=5，logl89=Z?,用"，h,表示Iog3e45.

【解】(1)原式=2+3+lg(5xl0)+lg2=5+lg5+l+lg2=6+lg5+lg2=6+lgl0=7:

(2)因?yàn)閘og?[l0g3(Igx)]=1,所以log3(lgx)=2,所以lgx=3、9,所以ml。，

⑶因?yàn)棰?5,所以1叫5="，所以*45=獸嗖=魯鑼彗唳G

lθgl836logl8(18×2)Iog1818+logl8(18÷9)

Iogi85+k‰9=a+b

logικ18+logιs18-logιs92-b'

[舉一反三]

1.(多選)(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)α,b,C都是正數(shù),且4"=6"=9<’,那么(？?????？)

22112I

A.ab+bc=2acB.ab+be=acC.—=—+—D.—=--------

cabcha

【答案】AD

【解析】由于。，b,C都是正數(shù)，故可設(shè)4"=6〃=9'=M,

a=Iog4M,b=Iog6M,c=Iog9M,則I=log,w4,-=Iogw6,-=Iogw9.

abc

112121

?ogM4+log,w9=21og,M6).?.1+1=±,即_L=]_±,去分母整理得，ab+bc=2ac.

acbcba

故選AD.

2.(2022?山東濱州?二模)Iog2sinl50-Iog,cos345°=

2

【答案】-2

【解析】解：因?yàn)閏os345°=Cos(3600-15°)=Cos15°,

00ooo0

所以Iog2sin15-loglcos345=Iog2sin15+log2cos15=Iog2(sin15cos15)

2

=Iog2Sin30j=log,；=,

故答案為：-2.

32

,0ε*23

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)21og32-log3y+log38-5^;

(2)(log2125+log425+Iogs5)?(log52+Iog2s4+log1258).

10/26

【解】(1)原式=2k>g32—51og32+2+31og32—3=-1.

31。氏25Iog54ιIog58

(2)原式=|Iog25+

4

?θg?Iog525Iog5125?

=β+l+∣jlog5?(31og2)

=[31^5÷i?i÷?)?h2÷≡i÷≡ij25

1嗅2

=131og25-=13.

lθg25

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)求值:

?1

(1)10g5-Iog15-(Iog5)^---+3啕5.

333logs3

2l0fo4

(2)(Ig2)+lg20×lg5+3;

,n2

(3)Ig20-Ig2+Iog23?Iog916~^+2sin330.

2

(4)Ig25+-lg8+lg51g2θ+(lg2)2.

(5)(log23+Iog53)?(log35+Iog95)lg2.

【解】⑴?ɑg?5?l0g315-(Iog35『--?-+3嘀$

logs3

2

=Iog35XIog3(5×3)-(Iog35)-Iog35+5

2

=?og?5×(1+Iog35)-(Iog35)-Iog35+5

2

=lɑg?5+(Iog35)2-(Iog35)-Iog35+5=5；

(2)(Ig2)2+lg20×lg5+3l0fo4

2tofo2

=(lg2)+(lg2+l)?lg5+3

2

=(lg2)+lg2?lg5+lg5+2

=lg2(lg2+lg5)+lg5+2=lg2+lg5+2=3;

ln2

(3)Ig20-Ig2+Iog23?Iog916-β+2sin330°

20

4

=Ig—+Iog23?log3,2-2+2sin(-30°)

=lgl0+log23?2?log,2-2+2-f-∣^l+2-2-l=O；

2

(4)Ig25+^lg8+lg5?lg2θ+(lg2)2

=2lg5+21g2+lg5?lg(10×2)+(lg2)2

=2(lg5+lg2)+lg5(l+lg2)+(lg2)2

=2+lg5+lg2(lg5+lg2)=3;

(5)(log23+Iog53)?(log35+Iog95)lg2

Ig3(lg2+lg5)Ig5(lg3+lg9).?

Ig21g5Ig3-lg9fo

Jg3+2?lg3=3

21g3-2-

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)求1鳴天/啕8」唱27的值.

Z-

(2)已知log,>5=α,3"=7,試用。，b表示1<‰35

3

【解】(I)原式=IogQHlogsZrogsT3=(-2log,5)?(31og32).(-3Iog53)

Ig5Ig2Ig3

=18=18

lg2-?3?5

(2)由寸=7得至IJIOg37=b,

由log,,5=α,得到cyglogQ,即log.35=2”.

Iog335_Iog35+Iog31_2a+b

Iog2l35=

Iog321Iog37+Iog33b+?

?考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

［名師點(diǎn)睛］

L在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低

點(diǎn)等）排除不符合要求的選項(xiàng).

2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

［典例］

1.（2022?山東濰坊?二模）已知函數(shù)/（x）=log,,（x-（α>0且αwl）的圖像如圖所示，則以下說(shuō)法正確

的是（???????）

12/26

A.α+bvθB.ab<-?C.O<ab<1D.Iog^?b?>0

【答案】C

【解析】由圖象可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以

令/(x)=10g0(j)=0,即x=b+l,所以函數(shù)“X)的零點(diǎn)為一+1,結(jié)合函數(shù)圖象可知Ovb+lvl,所以

-l<?<0,

因此α+b>O,故A錯(cuò)誤；

又因?yàn)樗?因此必不一定成立.，故錯(cuò)誤；

-a<ab<Ofα>l,<-1B

因?yàn)楱M<∕<ɑ°,即L<a”<l,且O<L<1,所以0<∕<l,故C正確；

aa

因?yàn)?<例<1,所以log“四<log,』，即IOgM<0,故D錯(cuò)誤，

故選：C.

2.(2022廣東廣州?二模)函數(shù)"x)=SinGTn∣2x-3∣的所有零點(diǎn)之和為.

【答案】9

【解析】由/(x)=0<=>SinG=In∣2x-3|,令y=sinπr,y=ln∣2x-3∣,

Q

顯然y=sin?與y=ln∣2x-3∣的圖象都關(guān)于直線Λ=∣對(duì)稱，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=sinπx,y=ln∣2x-3∣的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)y=sinπr,y=ln∣2x-3∣的圖象有6個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為為西，毛，％%%，

3

這6個(gè)點(diǎn)兩兩關(guān)于直線尤=∣■對(duì)稱，有x∣+4=々+&=G+Z=3,則為+X2+X3+X4+X5+?r6=9,

所以函數(shù)/(x)=SinG-In∣2x-3∣的所有零點(diǎn)之和為9.

故答案為：9

［舉一反三］

1.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=log(J(T),)，=?(。>0),且α≠l的圖象

可能是(???????)

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=log,,(r)的圖象與函數(shù)尸】Og“x的圖象關(guān)于>軸對(duì)稱，

所以函數(shù)y=log,,(T)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)㈠,0),故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；

當(dāng)”>1時(shí)，函數(shù)產(chǎn)∣0guX在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=logα(-X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

又y=T?,>l)在(--O)和(0,”)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.

故選：C.

2.(2022?江蘇?二模)已知實(shí)數(shù)a，b,C滿足［nα=2%=￡?《，則下列關(guān)系式中不可能成立的是(??????？)

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>hD.c>h>a

【答案】D

14/26

【解析】設(shè)］n4=2"=∕=f,，>°，

則α=e',b=?ogit,c=p-,

在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)y=e',y=10g2x,y='的圖象,

當(dāng)f=%時(shí)，c>a>b,

當(dāng)r=%時(shí),a>c>b.

當(dāng)f=匕時(shí)，a>b>c,

由此可以看出，不可能出現(xiàn)c>0>α這種情況,

故選：D.

A考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

［名師點(diǎn)睛］

1.比較對(duì)數(shù)值的大小與解形如∣og∕x)>log"g(x)的不等式，主要是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解，如果。的

取值不確定，需要分α>l與O<α<l兩種情況討論.

2.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必

須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而

成的.

［典例］

1.(2022?浙江金華?三模)若函數(shù)"x)=x(2'-2-*),設(shè)a=g,*=log4∣,C=Iog則下列選項(xiàng)正確

的是(999799????)

A./(4)<∕(6)<∕(C)B./(α)<∕(c)<∕(?)

C.f(b)<f(a)<f(c)D./(c)<∕(a)<∕(?)

【答案】A

【解析】由題可知/(x)=x(2'-2-*)(xwR),故〃-X)=-X(2一，-2、)=/(x),

函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；

易知，當(dāng)x>0時(shí)?，/(x)在(O,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù)；

X?=Iog4∣=-log43,Λ?(/?)=/(-Iog43)=/(Iog43),

同理，/W=/(Iog54)；

又g=∣og42<log43,

Ig42

?4=Jg5=Ig4?lg4≥Qg4y=(lgJIg4]>∣

2

Iog43-?3^Ig5?lg3^∩g5+lg3V^(lg√15)~[?gy∕i5)，

?4J

故?<log43<Iog54,故/(α)<f(b)</(c).

故選:A.

2.(2022?福建莆田?三模)已知α=2"',6=log,3,c=log52,則(???????)

A.a>c>bB.b>c>a

C.a>b>cD.h>a>c

【答案】C

【解析】α=20l>20=l

JL-1

Ξ,2

4>3>2=4?>-1>?=Iog43>Iog44=-?

2-1

2<5Ξ??c=log52<log552=2

.?a>b>c

故選：C.

3.(2022?湖北?二模)已知函數(shù)/(x)=Ig(IXlT)+2*+2L則使不等式F(X+1)<f(2x)成立的X的取值范

圍是(???????)

A.(-∞,-l)<J(l,+∞)B.(-2,-1)

C.1-°0'-]](l,+∞)D.(―∞,-2)∣(l,+∞)

【答案】D

【解析】由IXI-1>O得/(?)定義域?yàn)?-∞,-l)o(l,y),

16/26

f(-χ)=?g(iXl-1)+rx+2?'=/(%),故f@)為偶函數(shù),

而y=lg(∣x∣-l),y=2'+?在(l,+∞)上單調(diào)遞增，

故/S)在(l,+∞)上單調(diào)遞增，

+12x

>H∣∣r√+2χ+ι<4√

則f(x+l)<∕(2x)可化為《∣X+1∣>1,得(T

∣2x∣>l［χ+l>l<r+K-l

解得x>l或x<-2

故選：D

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=∣og20+4,)-x,則下列說(shuō)法正確的是(???????)

A.函數(shù)/(x)在(9,O］上為增函數(shù)B.函數(shù)/S)的值域?yàn)镽

C.函數(shù)/O)是奇函數(shù)D.函數(shù)/(x)是偶函數(shù)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)〃x)=k)g2(l+4x)-x,其定義域?yàn)镽,

有/(-x)=log2(l+!)+x=log2(l+4x)-x=〃x),所以函數(shù)/(χ)是偶函數(shù)，則。正確，C錯(cuò)誤，

對(duì)于A,?(-l)=Iog21>1=/(0),/(?不是增函數(shù)，A錯(cuò)誤，

rx

對(duì)于B,/(X)=log2(l+4)-x=log2(^+2),

設(shè)r4+2，..2,當(dāng)且僅當(dāng)X=O時(shí)等號(hào)成立，則t的最小值為2,故/(工).」唯2=1,即函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8),

8錯(cuò)誤，

故選：D

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))知函數(shù)/(x)=IOg“(依2-2x+6)(a>0,α*l)

(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)在［1,2］上恒有意義，求笈的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)"使得函數(shù)“力在區(qū)間⑵3］上為增函數(shù)，且最大值為2?若存在，求出k的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

【解】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，

則辰2-2x+6>0在R上恒成立，

當(dāng)％=O時(shí)，-2x+6>0,得xv3,不合題意舍去；

1』?>0-2縱<?！獾?T1，

當(dāng)左≠0時(shí),

;'宗合乙*>2O

(2)函數(shù)/(x)在口,2］上恒有意義，即心-2x+6>0在口,2］上恒成立

26

.,.kx2>2%—6,?,?k>-------恒成立,

XXT

令f=L?€則),=_6/+2r,當(dāng)時(shí),y=-6χ[g]∣2÷2×I=-I,

1,maχ

XPI22

2

?>0?<0

(3)當(dāng)0>l時(shí),-≤2或-~≥3

kk

logrt(9k-2×3+6)=2Iog“(9%-2x3+6)=2

1

解得幺,-，

Jt=9

?>O<O

?≤2

當(dāng)OVaVI時(shí)，`~≥3或4

kk

IOga(94-2×3+6)=2logα(9Λ-2×3+6)=2

解彳IJk=—,0<k<—.

99

故存在實(shí)數(shù)k=f,使得函數(shù)/(x)在區(qū)間23］上為增函數(shù)，且最大值為2.

［舉一反三］

1.(2022?湖南?岳陽(yáng)一中一模)設(shè)α=logs4,fo=log43,c=(})，則(???????)

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】A

2lg3lg5222

?4-(^)-lg4-lg√15

【解析】log,4.log3=晝-柜=里士妒跤

4≥__________Z_____—>U,

Ig5Ig4Ig41g5Ig41g5Ig41g5

所以Iog54>log43,

062

log43>log42=∣,lΓij?=?<∣,

18/26

所以a>b>c.

故選：A.

2.(2022?北京房山?二模)已知函數(shù)/(X)=Ilog",則不等式/(x)<2的解集為(???????)

A.(-4,0)?(0,4)B.(0,4)

c

?(川DL

【答案】C

22

【解析】/(x)=∣log2^<2=>-2<Iog2X<2=>2~<X<2.

故選：C.

3.(2022?北京昌平?二模)已知函數(shù)/(x)=oχ2-40x+2(α<0),則關(guān)于X的不等式/(x)>log?x的解集是

(9999999)

A.(→o,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,Zo)

【答案】C

【解析】山題設(shè)，/O)對(duì)稱軸為x=2且圖象開(kāi)口向下，則/(x)在(0,2)上遞增，(2,+8)上遞減，

由f(x)=ax2-4ax+2=ax(x-4)+2,即/(x)恒過(guò)(4,2)且/(0)=2,

所以(0,4)上/(x)>2,(4,+8)上/(x)<2,

而y=Iog?X在(0,+∞)上遞增，且(0,4)上y<2,(4,+∞),hj>2,

所以/(x)>log?X的解集為(0,4).

故選：C

4.(2022?北京豐臺(tái)?二模)已知偶函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+e)上單調(diào)遞減.若y(lgx)>/⑴,則X的取值范

圍是(???????)

?'?a)B-l?K(L+8)

c

?心。)D-(O4.4")

【答案】C

【解析】解：偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(x)在區(qū)間(YO,0］上單調(diào)遞增；

則/(lgΛ-)>/⑴等價(jià)于IIgM<1,BP-1<?X<1,

即端<lgx<lglθ,解得1?<x<10,即原不等式的解集為七,10)；

故選：C

5.(2022?河北?高三階段練習(xí))已知函數(shù)，〔萬(wàn))‘**1,則〃x)≤g*的解集為(???????)

log4(x+l),-l<x<l一

A.(―∞,θ]