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例談“SAS”全等思想在解題中的應(yīng)用利用兩個(gè)特殊多邊形的對應(yīng)邊及其夾角相等得到兩個(gè)三角形全等,這也就是SAS全等思想的應(yīng)用.運(yùn)用其模型分析時(shí),一要抓住兩對相等的對應(yīng)邊,二要找準(zhǔn)等對應(yīng)邊的夾角.下面以近年來的中考試題加以說明.一、兩個(gè)等腰三角形組合型例1已知:如圖1(1),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E分別是AB,AC邊的中點(diǎn).將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180°),得到△AB'C',如圖1(2).(1)探究DB'與EC'的數(shù)量關(guān)系,并給予證明;(2)當(dāng)DB'∥AE時(shí),試求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù).評析本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).題中的兩個(gè)等腰三角形中隱含著兩對對應(yīng)邊相等,易想到利用“SAS”全等模型分析,從而使問題迅速得解,問題(2)也可證∠AEC'=90°,在Rt△AEC'中,根據(jù)cosα=,求得旋轉(zhuǎn)角α=60°.二、兩正方形組合型例2如圖2,點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn),以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG,線段EB和GD相交于點(diǎn)H. (1)求證:EB=GD; (2)判斷EB與GD的位置關(guān)系,并說明理由;(3)若AB=2,AG=,求EB的長.解析(1)由正方形ABCD和正方形AEFG知:AG=AE,AB=AD.又∠GAD=90°+∠EAD,評析本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)以及勾股定理,題中的兩個(gè)正方形中隱含著我們需要的兩對相等的對應(yīng)邊,利用“SAS”全等模型分析,易判斷出夾角相等,從而完成(1)問,根據(jù)(1)的解答才能順利完成(2)、(3)問.三、等腰三角形與正方形組合型例3如圖3(1),△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)D,F(xiàn)分別在AB,AC邊上,此時(shí)BD=CF,BD上CF成立.(1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角(0°<θ<90°)時(shí),如圖3(2),BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.(2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖3(2),延長BD交CF于點(diǎn)G.①求證:BD⊥CF;②當(dāng)AB=4,AD=時(shí),求線段BG的長.解析(1)由等腰直角AABC和正方形ADEF知:AB=AC,AD=AF;由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠BAD=∠CAF=θ.根據(jù)“SAS”全等模型可得評析此題利用圖形的旋轉(zhuǎn),考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識,綜合性很強(qiáng).問題(1)利用“SAS”全等模型易得解,根據(jù)(1)中的全等條件,利用其對應(yīng)角相等并結(jié)合條件中的兩角和為90°,可證(2)問中的①;第②問利用①中的結(jié)論垂直,并結(jié)合三角形函數(shù),求得CC的長,最后利用勾股定理得解.四、等邊三角形與菱形組合型例4已知△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重臺),以AD為邊作菱形ADEF(A.D.E.F按逆時(shí)針排列),使∠DAF=60°,連結(jié)CF.(1)如圖4(1),當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí),求證:①BD=CF,②AC=CF+CD;(2)如圖4(2),當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí),結(jié)論AC=CF+CD是否成立?若不成立,請寫出AC,CF,CD之間存在的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)如圖4(3),當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時(shí),補(bǔ)全圖形,并直接寫出AC,CF,CD之間存在的數(shù)量關(guān)系.解析(1)由△ABC是等邊三角形,可得評析
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