中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：例談“SAS”全等思想在解題中的應(yīng)用

例談“SAS”全等思想在解題中的應(yīng)用利用兩個(gè)特殊多邊形的對應(yīng)邊及其夾角相等得到兩個(gè)三角形全等，這也就是SAS全等思想的應(yīng)用．運(yùn)用其模型分析時(shí)，一要抓住兩對相等的對應(yīng)邊，二要找準(zhǔn)等對應(yīng)邊的夾角．下面以近年來的中考試題加以說明．一、兩個(gè)等腰三角形組合型例1已知：如圖1(1)，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180°)，得到△AB'C'，如圖1(2)．(1)探究DB'與EC'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(2)當(dāng)DB'∥AE時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．評析本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．題中的兩個(gè)等腰三角形中隱含著兩對對應(yīng)邊相等，易想到利用“SAS”全等模型分析，從而使問題迅速得解，問題(2)也可證∠AEC'＝90°，在Rt△AEC'中，根據(jù)cosα＝，求得旋轉(zhuǎn)角α＝60°．二、兩正方形組合型例2如圖2，點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H． (1)求證：EB＝GD； (2)判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若AB＝2，AG＝，求EB的長．解析(1)由正方形ABCD和正方形AEFG知：AG＝AE，AB＝AD．又∠GAD＝90°＋∠EAD，評析本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)以及勾股定理，題中的兩個(gè)正方形中隱含著我們需要的兩對相等的對應(yīng)邊，利用“SAS”全等模型分析，易判斷出夾角相等，從而完成(1)問，根據(jù)(1)的解答才能順利完成(2)、(3)問．三、等腰三角形與正方形組合型例3如圖3(1)，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)D，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，此時(shí)BD＝CF，BD上CF成立．(1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角（0°<θ<90°）時(shí)，如圖3(2)，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3(2)，延長BD交CF于點(diǎn)G．①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB＝4，AD＝時(shí)，求線段BG的長．解析(1)由等腰直角AABC和正方形ADEF知：AB＝AC，AD＝AF；由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠BAD＝∠CAF＝θ．根據(jù)“SAS”全等模型可得評析此題利用圖形的旋轉(zhuǎn)，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識，綜合性很強(qiáng)．問題(1)利用“SAS”全等模型易得解，根據(jù)(1)中的全等條件，利用其對應(yīng)角相等并結(jié)合條件中的兩角和為90°，可證(2)問中的①；第②問利用①中的結(jié)論垂直，并結(jié)合三角形函數(shù)，求得CC的長，最后利用勾股定理得解．四、等邊三角形與菱形組合型例4已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重臺），以AD為邊作菱形ADEF(A.D.E.F按逆時(shí)針排列)，使∠DAF＝60°，連結(jié)CF．(1)如圖4(1)，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；(2)如圖4(2)，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，請寫出AC，CF，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖4(3)，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC，CF，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．解析(1)由△ABC是等邊三角形，可得評析