中考數(shù)學復習指導：例談與雙曲線有關(guān)的中考題

例談與雙曲線有關(guān)的中考題反比例函數(shù)y＝是中考的一個熱點．利用雙曲線的對稱性、k的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵．現(xiàn)例析近兩年中考題，供教學參考．一、求坐標例1如圖1，平面直角坐標系中，⊙O1過原點O，且⊙O1與⊙O2相外切，圓心O1與O2在x軸正半軸上，⊙O1的半徑O1P1.⊙O2的半徑O2P2都與x軸垂直，且點P1（x1，y1）、P2(x2，y2)在反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象上，則y1＋y2＝_______．點評本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了圓的外切、一元二次方程，以及點在反比例函數(shù)圖象上等知識點，也考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想．例2如圖2，若正方形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在函數(shù)y＝(x>0)的圖象上，則點E的坐標是(_______，_______）．解析由點B在y＝圖象上，易求點B(1，1)，設(shè)正方形ADEF的邊長為m，則E為(1＋m，m)．點評本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了圓的外切正方形、一元二次方程，以及點在反比例函數(shù)圖象上等知識點，也考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想．二、求面積例3如圖3，兩個反比例函數(shù)y＝和y＝―的圖象分別是l1和l2．設(shè)點P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點B，則三角形PAB的面積為() (A)3 (B)4 (C) (D)5 解析可設(shè)P（a，）．因為P和A的縱坐標相同，又A在l2上，可得A點的縱坐標為－，所以PA＝．P點和B點的縱坐標相同，同理可得B點橫坐標為－2a，即PB＝3a，所以三角形PAB的面積為××3a＝，故選C．點評本題結(jié)合反比例函數(shù)的圖象表示出點P、A.B的坐標是解題的關(guān)鍵，然后根據(jù)直角三角形的面積公式求出結(jié)論．例4如圖4，已知雙曲線y1＝（x>0），y2＝(x>0)，點P為雙曲線y2＝(x>0)上的一點，且PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，PA.PB分別交雙曲線y1＝(x>0)于D.C兩點，則△PCD的面積為_______．解析作CE⊥AO，DE⊥CE．因為雙曲線y1＝（x>0），y2＝(x>0)，且PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，PA.PB分別交雙曲線y1＝于D.C兩點，所以矩形BCEO的面積為xy＝1．點評此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)已知，得出BC＝BP，AD＝AP是解決問題的關(guān)鍵；同時考查了數(shù)形結(jié)合、整體代入思想．三、求最值例5如圖5，為反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象，點A為此圖象上的一動點．過點A分別作AB⊥y軸，垂足分別為B，C．則四邊形OBAC周長的最小值為（）(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析因為點A在反比例函數(shù)圖象上，所以AC與AB的乘積等于1，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積是一個常數(shù)，則這2個乘數(shù)越接近，它們的和越小，當它們相等時，其和最小，當AC＋AB最小時，AC＝AB＝1，所以周長為4．故選A點評本題利用反比例函數(shù)的圖象解決問題，必須正確理解反比例函數(shù)圖象橫縱坐標表示的意義，還要知道兩個數(shù)的乘積一定時，這兩個數(shù)的和的最小值的求法．例6知識遷移：當a>0且x>0時，因為≥0，所以x－2＋≥0，從而x＋≥2（當x＝時取等號）．記函數(shù)（a>0，x>0），由上述結(jié)論可知：當x＝時，該函數(shù)有最小值為2．直接應用已知函數(shù)y1＝x(x>0)與函數(shù)y2＝（x>0），則當x＝_______時，y1＋y2取得最小值為_______．變形應用已知函數(shù)y1＝x＋1（x>－1）與函數(shù)y2＝(x＋1)2＋4(x>－1)，求的最小值，并指出取得該最小值時相應的x值．實際應用已知某汽車的一次運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用－，共360元；二是燃油費，每千米為1.6元；三是折舊費，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0.001．設(shè)該汽車一次運輸?shù)穆烦虨閤千米，求當x為多少時，該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？ 解直接應用1；2． 點評本題是閱讀應用性問題，要求從學生熟知的乘法公式出發(fā)，歸納出“均值不等式”，并給出取最小值的條件，學生能否通過閱讀理解新知識，成為解決問題（探索應用）的關(guān)鍵．本題同時要求學生利用已有知識與經(jīng)驗自主證明新結(jié)論，有效地考查了學生的轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、數(shù)學建模能力，值得一提的是，較好地考查了學生的閱讀理解、自我解釋、新知識應用與遷移等學習能力指標．本題中，不等式的應用由直接應用到變形應用再到實際應用，能夠考查學生對不等式知識掌握的深度，以及靈活運用的能力，本題關(guān)注對數(shù)學活動過程的評價，考查學生思維能力和水平，較好地貫徹了“對學生數(shù)學學習的評價，既關(guān)注結(jié)果，更關(guān)注他們在學習過程中的變化和發(fā)展”這一理念，體現(xiàn)了“用數(shù)學”的新課標的理念．四、求線段長例7如圖6，定義：若雙曲線y＝（k>0）與它的其中一條對稱軸y＝x相交于A.B兩點，則線段AB的長度為雙曲線y＝（k>0）的對徑．(1)求雙曲線y＝的對徑；(2)若某雙曲線y＝（k>0）的對徑是10，求k的值；(3)仿照上述定義，定義雙曲線y＝(k<0)的對徑．分析(1)先解方程組可得到A點坐標為(1，1)，B點坐標為（－1，－1），即OC＝AC＝1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA＝OC＝，則AB＝2OA＝2，于是得到雙曲線y＝的對徑；(2)過A點作AC⊥x軸于點C，根據(jù)雙曲線的對徑的定義，得到當雙曲線的對徑為10，即AB＝10，OA＝5，根據(jù)OA＝OC＝AC，則OC＝AC＝5，得到點A坐標為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線y＝（k>0）即可得到k的值；(3)雙曲線y＝（k<0）的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點，根據(jù)題目中的定義，易得到雙曲線y＝（k<0）的對徑．如圖7，過點A作AC⊥x軸，則△AOC是等腰直角三角形．∴點A坐標為(5，5)，則k＝5×5＝25．(3)若