2024年“九省聯(lián)考”數(shù)學(xué)創(chuàng)新性新題型- 圓錐曲線中的新定義解析

11C.①②都是假命題D.①②都是真命題-,-,1122若A(-a,0)，直線y=與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)B,C，符合題意，2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，直線BC的斜率--=-，方程為y+=-（x+0即y=-x-0，x2+x0x+-y=0，Δ=x-a2+2y=-y+y=2y>0，即直線BC與橢圓交于兩點(diǎn)，且O是△ABC的重心，由對(duì)稱性，不妨令雙曲線方程為-=1(m>0.n>0)，令A(yù)(t,s)，則n2t2-m2s2=m2n2，設(shè)B(t1,s1),C(t2,s2)，2(t1-t2)(t1+t2)-m2(s1-s2)(s1+s2)=0，!n2x2-m2y2=m2n24!n2x2-m2y2=m2n24Δ,=t2-a2-s2=s2-s2=-s2<0，即直線BC與雙曲線不相交，-12-1233+=()A.B.ωC.-ωD.-的方程為xx-x0+yy-y0=0，利用兩圓方程之差求得切點(diǎn)A、B所在直線方程，進(jìn)而求得M、N兩點(diǎn)【詳解】依題意有OAPB四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為Px0,y0，則該圓的方程為：xx-x0+yy-將兩圓方程：x2+y2=b2與x2-x0x+y2-y0y=0相減，得切點(diǎn)所在直線方程為lAB0+yy0=b2，解得M 2+a2=b2+a2=b2x+a2y=a2b2=a2=1=2=1.5-1ω33,0是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的兩個(gè)定F的A.1B.2C.3D.4判斷①;令t=y2≥0，由f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4在[0,+∞)上有解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求P的橫坐標(biāo)的取值范圍判斷②;由②分析可得OP2=x2+y2=2x2+1-1，進(jìn)而求范圍判斷③;由基本不等式、余弦2+y2?2+y2=2，2+y2]2+y2]=42-1)2+2y2(x2+1)+y4=4，2-1)2+2y2(x2+1)+y4=4，令t=y2≥0，則t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4=0，對(duì)于f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4，對(duì)稱軸為x=-(x2+1)<0，所以-1≤x2-1≤2，即0≤x2≤3，可得-3≤x≤3，②正確；由OP2=x2+y2，由f(t)=0中，Δ=4(x2+1)2-4(x2-1)2+16=16(x2+1)，所以t=y2==2x2+1-(x2+1)>0，其中負(fù)值舍去，綜上，OP2=x2+y2=2x2+1-1，又0≤x2≤3，即1≤x2+1≤4，F(xiàn)PF12+PF22-F1F22PF12+PF22-F1F22【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：②③通過換元t=y2≥0，構(gòu)造f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4，利用根的分布求P的橫 ：滿足d(O,M)=CC>0的點(diǎn)M的軌跡為正方形；-dP,F2=2a2c>2a>0的點(diǎn)M的軌跡與直線y=k(k為A.1B.2C.3D.4C(x344可得d(P,Q)=max{|x-3|，|2-2x|}，④定點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)可得x+c-(c-x)=2a，解則點(diǎn)P的軌跡與直線y=k(k為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).5555①PA=PB；③l始終與-=1相切；其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②B.①④C.②③④D.①②③F0>0所以切線方程為y-y0=(x-x0)，因?yàn)辄c(diǎn)Px0,y0在雙曲線上，所以-=1，得x-a2=y0，b2x-a2y=a2b2，所以y-y0=(x-x0)=(x-x0)，所以a2y0y-a2y=b2x0x-b2x，2x0x-a2y0y=b2x-a2y=a2b2，所以x0x-y0同理可求出當(dāng)y0<0時(shí)的切線方程為-=1，所以過P點(diǎn)切線方程為-=1，漸近線方程為y=±x聯(lián)立兩直線方程得xA=，xB=故有xA+xB==2x0，故PA=PB6677Σd上部分=ΣΣd下部分=Σ-Σd上部分=Σd下部分從而=0整理得yi=k?xi+bFFFF所以E,F,G三點(diǎn)共線，因?yàn)橹本€AB為-=1，所以直線AB的斜率為k=?，所以直線GH的方程為y-=?x-0整理得3x-3y=1，故①②③正確.86B.平面MAB截該圓錐得的截口曲線為拋物線的一部分又SD⊥OM,OM∩AB=O,OM?平面MAB，AB?所以SD⊥平面MAB，又易知OM=SM=MD，取x=1，則y=-1,z=1，故=(1,-1,1)，故e==co==233∈(1,+∞)，則=cβ=2,∴cosβ=1,∵β∈0,,∴β=0，解. A．過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA,PB，則有PA⊥PB.B．過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A,B,O為原點(diǎn)，則OP,AB的斜率乘積為定值kOP?kAB=-.的單調(diào)性或者不等式知識(shí)即可求得最值或范圍.故a=2,=,∴c=1,b2=a2-c2=3，2+y2=7；則P點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,±3)，顯然此時(shí)A點(diǎn)取橢圓的短軸頂點(diǎn)(0,±3)，則PA方程為y=±3，此時(shí)滿足PA與橢圓相切，且PA⊥PB；99設(shè)P(x1,y1(，則m=y1-kx1,x+y=7，(y=kx+m+=1，整理得(4k2+3(x2+8kmx+4m2-12=0，則Δ=64k2m2-4(4k2+3((4m2-12(=0，即m2=4k2+3，將m=y1-kx1代入上式，得關(guān)于k的方程(x-4(k2-2x1y1k+y-3=0，則Δ,=4(3x+4y-12)>0，(P在橢圓+=1外)，3=-1，3PB的方程為+=1，故直線AB的方程為xx1+yy1=1，則k=-3x1得(3x+4y(x2-24x1x+48-16y=0，Δn=(24x1(2-4(3x+4y((48-16y(=64y(3x+4y-12(>0，則x2+x3=,x2x3=， 29x+16y3x+4y-12=3x+4y又點(diǎn)P到直線AB的距離為d=|3x+4y-12|，9x+16y= (3x+4y-12)3x+4y-12=3x+4y則S△APB=t3=1t2+12+，)min=f)==,(S△APB)max=f)==，9x+16y9x+16y= 123x+4y-123x+4y,則S△AOB=12t=12，t2+12t+t+43△AOBt+43△AOB88判斷A；令t=y2≥0，由f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4在[0,+∞)上有解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求P的橫坐2+y2?2+y2=2，2+y2]2+y2]=42-1)2+2y2(x2+1)+y4=4，2-1)2+2y2(x2+1)+y4=4，令t=y2≥0，則t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4=0，對(duì)于f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4，對(duì)稱軸為x=-(x2+1)<0，所以-1≤x2-1≤2，即0≤x2≤3，可得-3≤x≤3，B正確；由OP2=x2+y2，由f(t)=0中，Δ=4(x2+1)2-4(x2-1)2+16=16(x2+1)，所以t=y2==2x2+1-(x2+1)>0，其中負(fù)值舍去，綜上，OP2=x2+y2=2x2+1-1，又0≤x2≤3，即1≤x2+1≤4，F(xiàn)PF12+PF22-F1F22PF12+PF22-F1F22【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：B,C通過換元t=y2≥0，構(gòu)造f(t)=t2+2(x2+1)t+(x2-1)2-4，利用根的分布求P的橫坐標(biāo)、OP的取值范圍.9如圖，已知圓錐PO的軸PO與母線所成的角為α,過A1的平面與圓錐的軸所成的角為ββ>α,該9C.平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率e=asin(β-α)球O1與A1A2的切點(diǎn)為橢圓左焦點(diǎn)F，設(shè)∠O1A2F=θ,∠O1A1F=φ,∴θ=①,φ=,|A1F|=a-c=,c=,即可求解. ()A.E關(guān)于y軸對(duì)稱C.E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為 4D.曲線E所圍成圖形的面積小于2 8 斷. 8 82+y2=3+(y3=2-3(xy=1-3(xy22x|322x|322+y2=x3222+y2=x323+y22222=342)1(a>0,b>0(上點(diǎn)P(x0,y0(處的曲率半徑公式為342)A.對(duì)于半徑為RA.對(duì)于半徑為R2yB.橢圓+2=1(a>b>2yB.橢圓+2x22 yC.橢圓+2=1(a>bx22 yC.橢圓+2D.對(duì)于橢圓,y0 2D.對(duì)于橢圓,y0 2 a-32-a-34+a32 a-32-a-34+a323442-a-32-a-34+a3f(a)=a-44=R4=R02+y=1-，所以R=a2-+1=+-+-， 12在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|為點(diǎn)A(x1,y1(到點(diǎn)B(x2,y2(的“折線距離”.-3-3,則d(O,P)= 5②d(O,P)的最大值是2③d(O,Q)的最小值是2；④d(Q,P)的最小值是 520-+ 2 2對(duì)于③,設(shè)直線2x+y-25=0上的一點(diǎn)為Q(x,25-2x則d(Q,P)=|x-cosθ|+|25-2x-sinθ|，d(Q,P)=x-cosθ-25+2x+sinθ=3x-cosθ-25+sinθ5-sinθ-cosθ-25+sinθ當(dāng)5-sinθ>x>cosθ時(shí)，d(Q,P)=x-cosθ+25-2x-sinθ=-x-cosθ+25-sinθ≥-5-sinθ-cosθ+25-sinθ當(dāng)x≤cosθ時(shí)，d(Q,P)=cosθ-x+25-2x-sinθ=-3x+cosθ+25-sinθ≥-3cosθ+cosθ+25-sinθ=-2cosθ-sinθ+25 綜上可知d(Q,P)的最小值是②卵圓上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x=對(duì)稱因?yàn)?=+=1，所以點(diǎn)(x,-y(也在卵圓C上，又點(diǎn)(x,y(和點(diǎn)(x,-y(關(guān)于x軸對(duì)稱， 2對(duì)于②,設(shè)(x0,y0(在卵圓C上，(x0,y0 2對(duì)稱的點(diǎn)(1-x0,y0(也在卵圓C上， 2 2對(duì)于③,由+=1，得=1-，所以≤1，又x>-2，所以-1≤x≤2，則|OP|2=x2+y2=x2+4（1-=+4，當(dāng)-1<x<0或-1+5<x<2時(shí)，f,(x(>0，當(dāng)0<x<-1+5時(shí)，f,(x(<0，所以函數(shù)f(x(在(-1,0(,(-1+5,2(上遞增，在(0,-1+5(上遞減，又f(-1(=1,f(0(=4,f(-1+5(=26-105,f(2(=4，-=1-，令g(x(=,-1≤x≤2，則g,(x(=,-1≤x≤2，當(dāng)-1<x<0時(shí)，g,(x(<0，當(dāng)0<x<2時(shí)，g,(x(>0，所以g(x(在(-1,0(上遞減，在(0,2(上遞增，所以g(x(min=g(0(=0，拐彎的方式行走.在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(P,Q(=|x1-x2|+|y1-y2|為兩點(diǎn)P(x1,y1(、Q(x2,y2(之間的③若點(diǎn)A(1,2(，點(diǎn)B是拋物線y2=x上的動(dòng)點(diǎn)，則d(A,B(的最小值是1；④若點(diǎn)A(1,2(，點(diǎn)B是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則d(A,B(的最大值是3+數(shù)的性質(zhì)可判斷③;設(shè)點(diǎn)B(cosθ,sinθ(，利用題中定義結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可判斷④.對(duì)于②,設(shè)點(diǎn)P(x,y(滿足d(O,P(≤1，即|x|+|y|≤1.-x+y=1；作出集合{(x,y(||x|+|y|≤1{所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所表示：對(duì)于③,設(shè)點(diǎn)B(x,y(，則d(A,B(=|x-1|+|y-2|=|y2-1|+|y-2|，令f(y(=|y2-1|+|y-2|.當(dāng)y≤-1時(shí)，f(y(=y2-1+2-y=y2-y+1=（y-2+≥3，當(dāng)y≥2時(shí)，f(y(=y2-1+y-2=y2+y-3=對(duì)于④,設(shè)點(diǎn)B(cosθ,sinθ(，則d(A,B(=|1-cosθ|+|2-sinθ|=3-(sinθ+cosθ(=3-2sin(θ+,==①y=x+3(-3≤x≤0(；②y=x2(x≥0(；③y=2-x2(0≤x≤2(；④y=(x<0(.【分析】線段y=x+3(-3≤x≤0(的端點(diǎn)為E(-3,0(、F(0,3(，計(jì)算出cos∠EAF的值可判斷①;設(shè)過點(diǎn)A且與曲線y=x2(x≥0(相切時(shí)切點(diǎn)為M，計(jì)算出tan∠OAM可判②;記曲線y=2-x2(0≤x≤2(的端【詳解】對(duì)于①,線段y=x+3(-3≤x≤0(的端點(diǎn)為E(-3,0(、F(0,3(，故∠EAF>，所以，線段y=x+3(-3≤x≤0(上存在B、C使得△ABC為正三角故y=x+3(-3≤x≤0(是Ψ型曲線；對(duì)于②,設(shè)過點(diǎn)A且與曲線y=x2(x≥0(相切的直線的方程為y+1=k(x-1(，y=kx-k-1，可得x2-kx+k+1=0，Δ=k2-4k-4=0，則tan∠OAM== kAO-kAE1+kAOkAE=-3-22 π2(x≥0(上不存在點(diǎn)B、C，使得△ABC為正三角形，對(duì)于③,由y=2-x2(0≤x≤2(可得x2+y2=2，曲線y=2-x2(0≤x≤2(表示圓x2+y2=2在第一象限內(nèi)的圓弧(包括端點(diǎn))，曲線y=2-x2(0≤x≤2(的端點(diǎn)為P(0,2(、Q(2,0(，=，故曲線y=2-x2(0≤x≤2(上不存在點(diǎn)B、C，使得△ABC為正三角形，曲線y=2-x2(0≤x≤2(不是Ψ型曲線；對(duì)于④,曲線y= x(x<0(為雙曲線y x所以，曲線y=(x<0(為Ψ型曲線.用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行判斷.Cassini卵形線是由法國天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形線的定義【答案】(x2+y2)2-2(x2-y2)=0；2+y2]2+y2]=12+y2)2-2(x2-y2)=0，又y4+2(x2+1)y2+x2(x2-2)=0，2=-x2-1+4x2+1，令f(t)=--1+t=-(t-2)2+， 4 4,即yma= ymax= ymax=S△APAmax=2 =,2+y2)2-2(x2-y2)=0；.存在點(diǎn)P12=k|<．y=kx是曲線x2-4y2=1的分隔線，則它們沒有公共≥，即得解；∴點(diǎn)A，B被直線x+y-1=0分隔.<.當(dāng)|k|≥時(shí)，對(duì)于直線y=kx，曲線x2-4y2=1上的點(diǎn)(-1,0(和((1,0(被y=kx分隔.2=1又曲線E上的點(diǎn)(-1,2(和(1,2(對(duì)于y軸滿足η<0，2=1得[x2+(kx-2(2[?x2-1=0，令f(x(=[x2+(kx-2(2[?x2-1，f(2(=(-1(?[16(k-1(2+15[<0，∴方程f(x(=0有實(shí)數(shù)解.即直線y=kx與曲線E有公共點(diǎn)，故直線y=kx不是曲線E的分隔線. (1)求出直線l與曲線S的2個(gè)切點(diǎn)，進(jìn)而證此時(shí)y1=x+2=-+2，y2=x-2sinx=-+2，2=x-2sinx=+2，對(duì)任意x∈R，g(x)-F(x)=(x+2)-(x-2sinx)=2+2sinx=2(1+sinx(≥0，所以g(x)≥F(x).①先檢驗(yàn)直線y=mx+n與曲線y=mx-nsinx相切，且至少有兩個(gè)切點(diǎn)：設(shè)：F(x)=mx-nsinx，∵F,(x)=m-ncosx，y-m即直線y=mx+n與曲線y=mx-nsinx相切且有無數(shù)個(gè)切點(diǎn).不妨設(shè)g(x)=mx+n，②下面檢驗(yàn)g(x)≥F(x)，∵g(x)-F(x)=mx+n-(mx-nsinx(=n(1+sinx)≥0(n>0)，所以直線y=mx+n是曲線y=F(x)=mx-nsinx的“上夾線”.2+μ2=1+=2a，F(xiàn)sinθ==b2tan；、Ba，-b又=λ+μ,2+μ2=1；若x=-a，同理可得λ2+μ2=1；由=λ+μ得N(λx1+μx2，λy1+μy2)，2n2+b2)x2+2a2nmx+a2（m2-=0m2-=0?2m2=a2n2+b2，y=nx+m?(a+=12n2+b2)x2+2a2nmx+a2y=nx+m?(ax1x2=a2(mx1x2=a2(m2-b2)2n2+b2+(λy1+μy2)+(λy1+μy2)22+μ22+y+μ22+y2+y2+y1y22又x1x22x=又x1x22x=2m2-(b2+a2n2)2n2+b2x+y2+y1y222222所以λ2+μ2=1.2+μ22+μ2=1.為點(diǎn)P為點(diǎn)P2y(3)已知直線l:mx-y+n=0和橢圓+22y(3)已知直線l:mx-y+n=0和橢圓+22>b2x0-2y02=x0+2y0x0+2y0==2x0-2y02=x0+2y0x0+2y0==01=0+2y050+2y05x-4y=5=4;-tcosα-2=4;-tcosα-2α+2sinα2=-tcosα-2α=-tcosα-2α+4sin2α2== tcosα-2=α+2sinα2 tcosα-2α+4sin2α1λ2=?=>b2，所以n2-c2m2>b2m2+b2，所以n2>(b2+c2(m2+b2，所以n2>a2m2+b2，=n2+>a2m2+b2+a2b2， m22m2所以|AB|2>a2+b2+ m22m2C2F2=1+d2為定值；2=4xF,分為M∈C1與M 上；-1≤cosα≤-時(shí),A在拋物弧E1上,由條件可表示出此時(shí)r1,相應(yīng)地,B(1-r2cosα,-r2sinα(再按-1≤cosα≤-時(shí),A在拋物弧E1上,B在橢圓弧E2上；當(dāng)-≤cosα≤1時(shí),A在橢圓弧E2上,B在拋物弧E1F+=1,即c=1,則a=2,b2=a2-c2=3,則橢圓C1的方程為+=1=|x-3|2=4x(0≤x≤3(,d1=(x-1(2+y2=|x+1|,即d1+d2=|x+1|+|x+3|=(x+1(+(3-x(=4；2=12(x-4((3<x≤4(,d1=(x-1(2+y2=|7-x|,即d1+d2=|7-x|+|x-3|=(7-x(+(x-3(=4；所以d1+d2=4為定值.當(dāng)x=時(shí),y=±,此時(shí)r=,cosα=-；當(dāng)-≤cosα≤1時(shí),A在橢圓弧E2上,由題設(shè)知A(1+r