指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)1．指數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1〕函數(shù)的定義域?yàn)镽，2〕函數(shù)的值域?yàn)椋?〕當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù).②函數(shù)圖像：1〕指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)〔0，1〕，且圖象都在第一、二象限，2〕指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線〔當(dāng)時(shí)，圖象向左無限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無限接近軸〕，3〕對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.①①，②，③①，②，③，③函數(shù)值的變化特征：性質(zhì)：1〕、Q〕，2〕、Q〕，3〕Q〕〔注〕上述性質(zhì)對r、R均適用.2．對數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)，1〕函數(shù)的定義域?yàn)椋?〕函數(shù)的值域?yàn)镽，3〕當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，4〕對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).②1〕對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)〔0，1〕，且圖象都在第一、四象限，2〕對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線〔當(dāng)時(shí)，圖象向上無限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無限接近軸〕.①，②，③.①，②①，②，③.①，②，③.③函數(shù)值的變化特征：根本性質(zhì)：1〕真數(shù)N為正數(shù)〔負(fù)數(shù)和零無對數(shù)〕，2〕，3〕，4〕對數(shù)恒等式：③運(yùn)算性質(zhì)：如果那么1〕；2〕；3〕R〕.④換底公式：1〕，2〕3.指數(shù)式與對數(shù)式有如下關(guān)系(指數(shù)式化為對數(shù)式或?qū)?shù)式化為指數(shù)式的重要依據(jù)):且指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線對稱,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見下表:典型例題講解:例1.定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)比擬與的大?。猓骸?〕∵,∴,.∵,∴,(2)∵∴而∴例2．方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為〔〕A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)．它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D．至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比擬困難了．實(shí)際上這是要比擬與2的大小．當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故此題應(yīng)選C．說明：此題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間．?dāng)?shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫．不僅要通過圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過比擬其大小進(jìn)行判斷．例3.設(shè)a＞0,f(x)＝是R上的奇函數(shù).(1)求a的值;(2)試判斷f(x)的反函數(shù)f－1(x)的奇偶性與單調(diào)性.解：(1)因?yàn)樵赗上是奇函數(shù),所以,(2),為奇函數(shù).用定義法可證為單調(diào)增函數(shù).例4.是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)＝在區(qū)間上是增函數(shù)?如果存在,說明a可以取哪些值;如果不存在,請說明理由.解：設(shè),對稱軸.(1)當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),.綜上所述:例5．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)假設(shè)f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，那么有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．令t=3＞0，問題等價(jià)于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．R恒成立．例6．函數(shù)f(x)=logm(1)假設(shè)f(x)的定義域?yàn)椋郐?，β］，〔β＞α?〕，判斷f(x)在定義域上的增減性，并加以說明；(2)當(dāng)0＜m＜1時(shí)，使f(x)的值域?yàn)椋踠ogm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定義域區(qū)間為［α,β］(β＞α＞0)是否存在？請說明理由.解：〔1〕x＜–3或x＞3.∵f(x)定義域?yàn)椋郐?β］,∴α＞3設(shè)β≥x1＞x2≥α，有當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)m＞1時(shí)，f(x)為增函數(shù).〔2〕假設(shè)f(x)在［α,β］上的值域?yàn)椋踠ogmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1,f(x)為減函數(shù).∴即即α,β為方程mx2+(2m–1)x–3(m–∴∴0＜m＜故當(dāng)0＜m＜時(shí)，滿足題意條件的m存在.例7，求函數(shù)的值域。解：，，即，得，而是上的增函數(shù)，，故所求函數(shù)的值域是。例8函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，求的值。解：將函數(shù)化為，令，那么，由，得。從而，而，。①，又，即。解之，得即②比擬①、②得或，解得。例9設(shè)，、是滿足的實(shí)數(shù)，其中。求證：①；②。證明：①，，又，。②，而。，從而，又，故。例10是奇函數(shù)〔其中，〔1〕求的值；〔2〕討論的單調(diào)性；〔3〕求的反函數(shù)；〔4〕當(dāng)定