極限定義四則運(yùn)算課件

極限定義四則運(yùn)算課件2023REPORTING極限定義四則運(yùn)算極限的四則運(yùn)算習(xí)題與解答目錄CATALOGUE2023PART01極限定義2023REPORTING極限是函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)，即當(dāng)自變量趨近于某一值時(shí)，函數(shù)值的變化情況。描述性定義當(dāng)x趨近于a時(shí)，f(x)趨近于L，表示f(x)在x=a處的極限為L(zhǎng)。舉例極限的描述性定義對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在另一個(gè)正數(shù)δ，當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε恒成立。精確定義對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε。舉例極限的精確定義若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該極限值是唯一的。唯一性有界性局部有界性函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該點(diǎn)的函數(shù)值必定是有界的。若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則在該點(diǎn)附近一定存在一個(gè)區(qū)間，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有界。030201極限的性質(zhì)PART02四則運(yùn)算2023REPORTING總結(jié)詞加法運(yùn)算的基本性質(zhì)詳細(xì)描述加法運(yùn)算具有交換律和結(jié)合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。加法運(yùn)算加法運(yùn)算的逆元總結(jié)詞對(duì)于任何數(shù)a，存在一個(gè)數(shù)-a，使得a+(-a)=0。詳細(xì)描述加法運(yùn)算的零元總結(jié)詞加法運(yùn)算總結(jié)詞加法運(yùn)算的單位元詳細(xì)描述存在一個(gè)特殊的數(shù)1，使得對(duì)于任何數(shù)a，都有a+1=1+a=a+(-0)=a。詳細(xì)描述存在一個(gè)特殊的數(shù)0，使得對(duì)于任何數(shù)a，都有a+0=0+a=a。加法運(yùn)算03總結(jié)詞減法的反元素01總結(jié)詞減法運(yùn)算的基本性質(zhì)02詳細(xì)描述減法運(yùn)算可以看作加法運(yùn)算的逆過程，即a-b=a+(-b)。減法運(yùn)算減法運(yùn)算詳細(xì)描述：對(duì)于任何數(shù)a，存在一個(gè)數(shù)-a，使得a-(-a)=2a?？偨Y(jié)詞詳細(xì)描述總結(jié)詞詳細(xì)描述減法運(yùn)算01020304減法的零元存在一個(gè)特殊的數(shù)0，使得對(duì)于任何數(shù)a，都有a-0=0。減法的單位元存在一個(gè)特殊的數(shù)1，使得對(duì)于任何數(shù)a，都有a-1=-1?？偨Y(jié)詞乘法運(yùn)算的基本性質(zhì)詳細(xì)描述乘法運(yùn)算具有交換律、結(jié)合律和分配律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)，a*(b+c)=a*b+a*c。乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算的逆元總結(jié)詞對(duì)于任何非零數(shù)a，存在一個(gè)數(shù)-a，使得a*(-a)=(-a)*a=-1*1=-1。詳細(xì)描述乘法運(yùn)算乘法的零元總結(jié)詞存在一個(gè)特殊的數(shù)0，使得對(duì)于任何數(shù)a，都有0*a=0。詳細(xì)描述乘法的單位元總結(jié)詞存在一個(gè)特殊的數(shù)1，使得對(duì)于任何數(shù)a，都有1*a=a。詳細(xì)描述乘法運(yùn)算總結(jié)詞除法運(yùn)算的基本性質(zhì)詳細(xì)描述除法運(yùn)算可以看作乘法運(yùn)算的逆過程，即a/b=a*1/b?？偨Y(jié)詞除法的反元素除法運(yùn)算詳細(xì)描述：對(duì)于任何非零數(shù)b，存在一個(gè)數(shù)1/b，使得b*(1/b)=1。除法運(yùn)算除法的零元總結(jié)詞詳細(xì)描述總結(jié)詞詳細(xì)描述不存在任何數(shù)能夠被0整除。除法的單位元存在一個(gè)特殊的數(shù)1，使得對(duì)于任何數(shù)a，都有1/1=1。除法運(yùn)算PART03極限的四則運(yùn)算2023REPORTING若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A+B。極限的加法規(guī)則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)-g(x)]=A-B。極限的減法規(guī)則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)*g(x)]=A*B。極限的乘法規(guī)則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B（B≠0），則lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B。極限的除法規(guī)則極限的四則運(yùn)算規(guī)則123lim(x→1)[(x^2-1)/(x-1)]=lim(x→1)(x+1)=2。舉例1lim(x→∞)[(1/x)/(1/x^2)]=lim(x→∞)x=∞。舉例2lim(x→0)[(sinx)/x]=1。舉例3極限的四則運(yùn)算舉例注意101在進(jìn)行極限的四則運(yùn)算時(shí)，必須先求各個(gè)函數(shù)的極限，然后再進(jìn)行四則運(yùn)算。注意202當(dāng)分母的極限為0時(shí)，需要注意分母不能為0的情況，此時(shí)該極限可能不存在。注意303當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的極限不存在時(shí)，四則運(yùn)算的結(jié)果可能不存在。例如，lim(x→0)(1/x)和lim(x→0)(-1/x)都存在，但lim(x→0)[(1/x)+(-1/x)]不存在。極限的四則運(yùn)算注意事項(xiàng)PART04習(xí)題與解答2023REPORTING習(xí)題$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}$$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-sinx}{x^{2}}$$lim_{xto0}frac{tanx-x}{x^{3}}$$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-cosx}{x^{2}}$1、求下列極限2、求下列極限3、求下列極限4、求下列極限1、【答案】$frac{1}{2}$【解析】利用泰勒公式展開$sinx$和$x$，得到：$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}=lim_{xto0}frac{x-x}{x^{3}}=lim_{xto0}frac{0}{x^{3}}=0$，由于題目中給定的極限是$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}$，因此答案為$frac{1}{2}$。答案及解析2、【答案】$frac{1}{2}$【解析】利用泰勒公式展開$ln(1+x)$和$sinx$，得到：$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-sinx}{x^{2}}=lim_{xto0}frac{x-sinx}{x^{2}}=lim_{xto0}frac{1-cosx}{2x}=frac{1}{2}$，由于題目中給定的極限是$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-sinx}{x^{2}}$，因此答案為$frac{1}{2}$。答案及解析3、【答案】$frac{1}{3}$【解析】利用泰勒公式展開$tanx$和$x$，得到：$lim_{xto0}frac{tanx-x}{x^{3}}=lim_{xto0}frac{x-x}{x^{3}}=lim_{xto0}frac{0}{x^{3}}=0$，由于題目中給定的極限是$lim_{xto0}frac{tanx-x}{x^{3}}$，因此答案為$frac{1}{3}$。答案及解析4、【答案】$-frac{1}{2}$【解析】利用泰勒公式展開$ln(1+x)$和$cosx$，得到：$lim_{xto0}frac{ln(1+x)-c