2022年福建省福州市三中金山校區(qū)高二數(shù)學理期末試題含解析

2022年福建省福州市三中金山校區(qū)高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第2016個圖案中的白色地面磚有（）A．8064塊 B．8066塊 C．8068塊 D．8070塊參考答案： B【考點】歸納推理．【分析】通過已知的幾個圖案找出規(guī)律，可轉化為求一個等差數(shù)列的通項公式問題即可．【解答】解：第1個圖案中有白色地面磚6塊；第2個圖案中有白色地面磚10塊；第3個圖案中有白色地面磚14塊；…設第n個圖案中有白色地面磚n塊，用數(shù)列{an}表示，則a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知數(shù)列{an}是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2，n=2016時，a2016=8066．故選：B．2.已知定義在上的函數(shù)，若對任意兩個不相等的實數(shù)，，都有，則稱函數(shù)為“D函數(shù)”.給出以下四個函數(shù)：①；②；③；④其中“D函數(shù)”的序號為（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．②③④參考答案：C3.與的等比中項是

A．-1

B．

C．1

D．參考答案：B4.已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形參考答案：A5.在曲線的圖象上取一點(1,1)及附近一點，則為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】求得的值，再除以，由此求得表達式的值.【詳解】因為，所以．故選C.【點睛】本小題主要考查導數(shù)的定義，考查平均變化率的計算，屬于基礎題.6.已知，則向量與的夾角是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知，為拋物線上的動點,若到拋物線的準線的距離為，記拋物線的焦點為，則的最小值是A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B8.已知點，且該點在三個坐標平面平面、平面、平面上的射影的坐標依次為、、，則（A）

（B）（C）

（D）以上結論都不對參考答案：B略9.設α、β、γ為平面，m、n、l為直線，則m⊥β的一個充分條件是（） A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α 參考答案：D【考點】直線與平面垂直的判定． 【專題】證明題；轉化思想． 【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理可知選項A是否正確，根據(jù)平面α與平面β的位置關系進行判定可知選項B和C是否正確，根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行，以及與兩平行平面中一個垂直則垂直于另一個平面，可知選項D正確． 【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，缺少條件m?α，故不正確； α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不一定垂直，故不正確； α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不一定垂直，故不正確； n⊥α，n⊥β，?α∥β，而m⊥α，則m⊥β，故正確 故選D 【點評】本小題主要考查空間線面關系、面面關系以及充分條件的判定等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題． 10.過（2，0）點作圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的切線，所得切線方程為（）A．y=0 B．x=1和y=0 C．x=2和y=0 D．不存在參考答案：C【考點】圓的切線方程．【分析】由題意得圓心為C（1，1），半徑r=1．討論當l過點（2，0）與x軸垂直時，直線l與x軸不垂直，可設切線l的方程為y=k（x﹣2），根據(jù)直線l與圓相切，利用點到直線的距離公式建立關于k的等式，解出k，即可得所求切線方程．【解答】解：圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圓心為C（1，1），半徑r=1．①當直線l經過點P（2，0）與x軸垂直時，方程為x=2，∵圓心到直線x=2的距離等于1，∴直線l與圓相切，即x=2符合題意；②當直線l經過點P（2，0）與x軸不垂直時，設方程為y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0．∵直線l與圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑，即d==1，解之得k=0，因此直線l的方程為y=0，綜上所述，可得所求切線方程為x=2或y=0．故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.由曲線，直線，，圍成的曲邊四邊形的面積為

．參考答案：由題意，根據(jù)定積分的定義可得，由曲線和直線圍成的曲邊形的面積可表示為，

12.在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成角分別為α，β，則有cos2α+cos2β=1，類比到空間中的一個正確命題是：在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成角分別為α，β，γ，則有cos2α+cos2β+cos2γ=

．參考答案：2【考點】F3：類比推理；L2：棱柱的結構特征．【分析】由類比規(guī)則，點類比線，線類比面，可得出在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形證明其為真命題即可．【解答】解：我們將平面中的兩維性質，類比推斷到空間中的三維性質．由在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α+cos2β=1，我們根據(jù)長方體性質可以類比推斷出空間性質，∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，如圖對角線AC1與過A點的三個面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分別為α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一頂點出發(fā)的三個棱的長分別為a，b，c，則有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案為：cos2α+cos2β+cos2γ=2．13.在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC頂點A(－4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓上，則________.參考答案：14.圓上動點到直線距離的最小值為_______．參考答案：略15.在二項式的展開式中，系數(shù)最大項的項數(shù)為第________項.參考答案：7【分析】利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中數(shù)最大項的項數(shù).【詳解】二項式的展開式的通項公式為，各項的系數(shù)為，由于題目要求系數(shù)最大項的項數(shù)，所以為偶數(shù).故，對應的系數(shù)為，根據(jù)的單調性可知，或時，最大，故最大的項的系數(shù)為，對應為第項.故答案為：【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，屬于基礎題.16.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x＝10，則輸出y的值為________．參考答案：略17.讀程序，完成下面各題(1)輸出結果是

.

(2)輸出結果是

.參考答案：（1）2,3,2

(2）6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC，PC的中點．（1）證明：AE⊥平面PAD；（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）通過證明AE⊥BC．PA⊥AE．說明PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，利用直線與平面垂直的判定定理證明AE⊥平面PAD．（2）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連結AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．（法一）在Rt△ESO中，求出cos∠ESO的值即可．（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面AEF的一個法向量為，求出平面AFC的一個法向量，利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．∵E為BC的中點，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．（2）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連結AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴當AH最短時，∠EHA最大，即當AH⊥PD時，∠EHA最大．此時tan∠EHA===，因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=ADtan30°=．（8分）（法一）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連結ES，則∠ESO為二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=．又F是PC的中點，如圖，PC==，∴AF=PC=，sin∠SAO==，在Rt△ASO中，SO=AO?sin∠SAO=，∴SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值為．（12分）（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（，，），∴=（，0，0），=（，，）．設平面AEF的一個法向量為=（x1，y1，z1），則因此，取z1=﹣1，則m=（0，，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一個法向量．又=（﹣，3，0），∴cos＜，＞===．∵二面角E﹣AF﹣C為銳角，∴所求二面角的余弦值為．（12分）【點評】本題考查直線與平面垂直的判定定理，二面角的求法，解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，以便利用已知條件得到空間的線面關系，并且便于建立坐標系利用向量的有關運算解決空間角等問題．19.平頂山市公安局交警支隊依據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：所有主干道路凡機動車途經十字口或斑馬線，無論轉彎或者直行，遇有行人過馬路，必須禮讓行人，違反者將被處以100元罰款，記3分的行政處罰．如表是本市一主干路段監(jiān)控設備所抓拍的5個月內，機動車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085

（Ⅰ）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程；（Ⅱ）預測該路段7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)．參考公式：，．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）66人.【分析】（Ⅰ）計算出和，然后根據(jù)公式，求出和，得到回歸直線方程；（Ⅱ）根據(jù)回歸直線方程，代入【詳解】解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)，計算；，，，所以與之間的回歸直線方程為；（Ⅱ）時，，預測該路段月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為人．【點睛】本題考查最小二乘法求回歸直線方程，根據(jù)回歸方程進行預測，屬于簡單題.20.箱中裝有4個白球和個黑球.規(guī)定取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，現(xiàn)從箱中任取3個球，假設每個球被取出的可能性都相等.記隨機變量X為取出的3個球所得分數(shù)之和.（1）若，求m的值；（2）當時，求X的分布列.參考答案：（1）1；（2）分布列見解析.【分析】（1）通過分析可知時，取出的個球都是白球，根據(jù)超幾何分布的概率公式構造方程可求得結果；（2）首先確定所有可能的取值為：；利用超幾何分布的概率公式分別計算每個取值對應的概率，從而可得分布列.【詳解】（1）由題意得：取出的個球都是白球時，隨機變量，即：，解得：（2）由題意得：所有可能的取值為：則；；；.的分布列為：【點睛】本題考查服從超幾何分布的隨機變量的概率及分布列的求解問題，關鍵是能夠明確隨機變量所服從的分布類型，從而利用對應的公式來進行求解.21.（1）求用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)；（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有1個空盒的放法共有多少種？參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】（1）先選個位數(shù)，有種選法，再排另外三個位置，有種排法，由此能求出結果．（2）恰有一個空盒，說明恰有一個盒子中有2個小球，從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，由此能求出結果．【解答】解：（1）用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為：=48．（2）四個不同的